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2018年河北省唐山市高考数学三模试卷(文科)

2018 年河北省唐山市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合

A.

B.

C.

D.





,则集合

2. 复数 满足

( 为虚数单位),则

A.

B.

C.

D.

3. 如图反映了全国从 正确的是( )

年到

年快递业务量及其增长速度的变化情况,以下结论

A.快递业务量逐年减少,增长速度呈现上升趋势 B.快递业务量逐年减少,增长速度呈现下降趋势 C.快递业务量逐年增加,增长速度呈现上升趋势 D.快递业务量逐年增加,增长速度呈现下降趋势

4. 已知

,则

A.

B.

C.

D.

5. 已知双曲线

的两条渐近线分别为 , ,若 的一个焦点

关于 的对称点 在 上,则 的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

试卷第 1 页,总 20 页

A.

B.

C.

D.

7. 已知函数
A. C.

的图象与 轴相切,则
B. D.

8. 已知 , 是两个平面, , 是两条直线,下列命题中正确的是( ) A.若 , , ,则 B.若 , , ,则 C.若 , , ,则 D.若 , , ,则

9. 利用随机模拟的方法可以估计圆周率 的值,为此设计如图所示的程序框图,其中 表示产生区间 上的均匀随机数(实数),若输出的结果为 ,则由此可估
计 的近似值为( )

A. 10. 已知

B.

C.

D.

,则 , , 的大小关系是( )

试卷第 2 页,总 20 页

A.

B.

C.

D.

11. 设 的内角 , , 的对边分别为 , , ,

于点 ,且

,则

A.

B.

C.

,角 的内角平分线交 D.

12. 设函数
() A. B.
C.

,则使得

成立的 的取值范围是

D.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 已知函数

,若

,则 ________.

14. 设 , 满足约束条件



,则 的最小值为________.

15. 已知 是抛物线 最小值为________.

上任意一点, 是圆

上任意一点,则 的

16. 在 中,点 满足

.若存在点 ,使得

,且

,则 的取值范围是________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知数列 是等差数列, 是等比数列,









(1)求 和 的通项公式;

(2)若

为奇数 ,求数列 的前 项和 .
为偶数

18. 某球迷为了解 , 两支球队的攻击能力,从本赛季常规赛中随机调查了 场与这两 支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下:
球队:

球队:

试卷第 3 页,总 20 页

(1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图,并通过茎叶图比较两支球队所得分数 的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);

(2)现将球队的攻击能力从低到高分为三个等级:

球队所得分数 攻击能力等级

低于 分 较弱

分到 分 较强

不低于 分 很强

根据两支球队所得分数,估计哪一支球队的攻击能力等级为较弱的概率更大一些,并 说明理由.

19. 如图,四棱锥

的底面 是平行四边形,



(1)求证:平面 平面 ;

(2)若 距离.



, 为棱 上的点,若 平面 ,求点 到平面 的

20. 已知点 , 分别是 轴, 轴上的动点,且
为曲线 Γ, 为坐标原点. (1)求 Γ 的方程;

,点 满足

,点 的轨迹

(2)设点 在第一象限,直线 与 Γ 的另一个交点为 ,当 的面积最大时,求 .

21. 已知 (1)若

,函数 的图象与 轴相切于

. ,求 的值;

(2)若

有三个不同的零点,求 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:

坐标系与参数方程]

22. 已知点 在椭圆

上,将射线 绕原点 逆时针旋转 ,所得射线 交直

线

于点 .

以 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求椭圆 和直线 的极坐标方程;

试卷第 4 页,总 20 页

(2)证明::

中,斜边 上的高 为定值,并求该定值.

[选修 4-5:不等式选讲]

23. 已知函数 (1)求不等式
(2)设

. 的解集;
,求 的最大值.

试卷第 5 页,总 20 页

参考答案与试题解析 2018 年河北省唐山市高考数学三模试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.

【答案】

A

【考点】

交、并、补集的混合运算

【解析】

推导出

,由此能求出集合



【解答】

∵ 集合









集合



2.

【答案】

A

【考点】

复数的模

【解析】

根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简求解即可.

【解答】







3. 【答案】 D 【考点】 进行简单的合情推理 【解析】 全国从 年到 年快递业务量逐年增加,增长速度呈现下降趋势. 【解答】 由条形图得到: 全国从 年到 年快递业务量逐年增加, 增长速度呈现下降趋势. 4. 【答案】 D 【考点】 两角和与差的三角函数 【解析】

试卷第 6 页,总 20 页

由题意利用两角和差的正切公式求得 式子的值. 【解答】
∵ 已知

的值,再利用两角和差的正切公式求得要求 ,









5. 【答案】 B 【考点】 双曲线的特性 【解析】

不妨设 为

,为

,设出对称点的坐标,根据中点坐标公式和斜率公式

即可求出 与 的关系,再根据离心率公式即可求出. 【解答】

, 分别为双曲线

的两条渐近线,

不妨设 为

,为



若右焦点 关于 的对称点 在上,

设右焦点 关于 的对称点为



右焦点 坐标为 ,

中点坐标为



可得



解得



即有



可得 的斜率为



即有



可得











可得



6. 【答案】
B 【考点】

试卷第 7 页,总 20 页

由三视图求体积 【解析】 利用三视图判断几何体的形状,然后求解几何体的体积即可. 【解答】 由题意可知几何体是以正视图为底面,底面是正方形截去一个三角形的 边形,高为 的棱柱,

所以几何体的体积为:



7.

【答案】

B

【考点】

三角函数的最值

【解析】

根据 的最大值为 计算 ,得出 的解析式,再计算 .

【解答】



,且 的图象与 轴相切,



.即 .









8.

【答案】

D

【考点】

平面与平面之间的位置关系

【解析】

举反例判断.

【解答】

对于 ,不妨令 , 在 内的射影为 ,则当 时,有 ,但 , 不垂直,故

错误;

对于 ,若 , , ,则 , 没有公共点,故而 与 平行或异面,故 错误;

对于 ,当

时,不妨令 , ,则 ,故 错误;

对于 ,显然结论成立.

9.

【答案】

C

【考点】

程序框图

【解析】

由试验结果知在以边长为 的正方形中随机取点 次,所取之点在以正方形中心为圆

心, 为半径的圆中的次数为 次,得出所取的点在圆内的概率是什么,由几何概型

概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等即

可估计 的值.

【解答】

根据题意,共产生了



内的随机数 ,其中能使

的有

试卷第 8 页,总 20 页

对; 即在以边长为 的正方形中随机取点 径的圆中的次数为 次; 设

次,所取之点在以正方形中心为圆心, 为半

在以边长为 的正方形中随机取点 所取之点在以正方形中心为圆心







正方形

为半径的圆中 ,

又∵ 试验结果











10. 【答案】

C 【考点】

对数值大小的比较

【解析】



出. 【解答】

,由

,可得



.即可得



,∴

,∴





11.

【答案】

A

【考点】

三角形求面积

【解析】

由角平分线性质定理可得





,则

,两边平方可得答案.

【解答】

由角平分线性质定理可得













解得



试卷第 9 页,总 20 页

12. 【答案】

C 【考点】

利用导数研究函数的单调性

【解析】

先求出函数的导数,在

上单调递增,在

等价于

,解之即可求出使得

【解答】

是减函数,故 成立的 的取值范围.

,显然 递增,

当 时, ∵在 ∴ 整理,得

, 上单调递增,在
等价于 ,

是减函数, ,

解得 或



∴ 使得

成立的 的取值范围是



二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 【答案】

【考点】 函数的求值 【解析】
推导出
【解答】
∵ 函数







,从而















解得 .

故答案为: .
14. 【答案】

【考点】 简单线性规划 【解析】

试卷第 10 页,总 20 页

,由此能求出 .

作出不等式组对应的平面区域,利用 的几何意义即可得到结论. 【解答】 作出不等式组对应的平面区域,



,得

,平移直线

,由图象可知当直线经过点 时,

直线

的截距最小,此时 最小,


15. 【答案】

,得

是最优解,代入目标函数得 .

【考点】 圆锥曲线问题的解决方法 【解析】

设点 的坐标为

,圆

即可得到 的最小值. 【解答】

设点 的坐标为

,圆

的圆心坐标

,求出 的最小值,

的圆心坐标











∵ 是圆

∴ 的最小值为

16.

【答案】

上任意一点, ,

【考点】 平面向量的基本定理 【解析】



,得

, 的取值范围. 【解答】

,利用



,可得

,结合条件

,得到

.可求出实数 的取值范围,由此可计算出

,所以,

则 由于

, ,则

, ,即

,解得

, ,



,所以,





试卷第 11 页,总 20 页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.

【答案】

数列 是等差数列,

由于:





是等比数列,设公差为 ,公比为 .





则:



解得: 故:

,. .

由于:

为奇数 , 为偶数

则:

为奇数 .
为偶数

故:







【考点】

数列的求和

等差数列与等比数列的综合

【解析】

(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式.

(2)利用(1)的通项公式,直接利用分组法求出数列的和.

【解答】

数列 是等差数列, 是等比数列,设公差为 ,公比为 .

由于:









则:



解得: 故:

,. .

由于:
则: 故:

为奇数 ,
为偶数 为奇数 .
为偶数 ,
, .
试卷第 12 页,总 20 页

18. 【答案】 两队所得分数的茎叶图如下:
球队

球队

通过茎叶图可以看出, 球队所得分数的平均值高于 球队所得分数的平均值; 球队所得分数比较集中, 球队所得分数比较分散.
记 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较强”, 表示事件:“ 球队攻击能力等级为很强”; 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较弱”, 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较弱或较强”,
则 与 独立, 与 独立, 与 互斥,
由所给数据得 , , , 发生的频率分别为 , , , ,











故 球队的攻击能力等级为较弱的概率更大一些. 【考点】 独立性检验 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】 (1)先作出两队所得分数的茎叶图,通过茎叶图可以看出, 球队所得分数的平均值 高于 球队所得分数的平均值,从而 球队所得分数比较集中, 球队所得分数比较分散. (2)记 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较强”, 表示事件:“ 球队攻击能力等 级为很强”; 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较弱”, 表示事件:“ 球队攻击能 力等级为较弱或较强”,则 与 独立, 与 独立, 与 互斥,
.由此能求出结果. 【解答】 两队所得分数的茎叶图如下:

球队

球队

通过茎叶图可以看出, 球队所得分数的平均值高于 球队所得分数的平均值; 球队所得分数比较集中, 球队所得分数比较分散.
记 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较强”, 表示事件:“ 球队攻击能力等级为很强”; 表示事件:“ 球队攻击能力等级为较弱”,
试卷第 13 页,总 20 页

表示事件:“ 球队攻击能力等级为较弱或较强”, 则 与 独立, 与 独立, 与 互斥,
由所给数据得 , , , 发生的频率分别为 , , , ,











故 球队的攻击能力等级为较弱的概率更大一些.

19.

【答案】

证明:∵ 底面 是平行四边形,











,∴

平面 ,则









则 平面 ,



平面 ,

∴ 平面 平面

连接 交 于 ,连接 ,

则 是 的中点,



平面 ,平面







∵ 是 的中点,∴ 是 的中点,

建立以 为坐标原点, , , 分别为 , , 轴的空间直角坐标系如图:

























设平面 的法向量为





,则

,令 ,则









则点 到平面 的距离



【考点】 平面与平面垂直 点、线、面间的距离计算

试卷第 14 页,总 20 页

【解析】

(1)根据面面垂直的判定定理证明 平面 即可,

(2)建立空间坐标系,求出平面 的法向量,利用向量法进行求解即可.

【解答】

证明:∵ 底面 是平行四边形,











,∴

平面 ,则









则 平面 ,



平面 ,

∴ 平面 平面

连接 交 于 ,连接 ,

则 是 的中点,



平面 ,平面







∵ 是 的中点,∴ 是 的中点,

建立以 为坐标原点, , , 分别为 , , 轴的空间直角坐标系如图:

























设平面 的法向量为





,则

,令 ,则









则点 到平面 的距离



20.

【答案】

















, ,

试卷第 15 页,总 20 页





























当点 在第一象限时,设 的坐标为 , , .



,即



由(1)知,点 的坐标为



则 的面积



当且仅当

,即



时,取等号,

此时 的面积取得最大值 ,

此时 的坐标为

, 的坐标为



则 的方程为

,代入









,则 的坐标为







【考点】

直线与抛物线的位置关系

【解析】

(1)设





,根据向量关系利用消参法进行求解即可.

(2)设 的坐标,结合点 在椭圆上求出 的坐标,利用基本不等式求出三角形面积的

最值,求出 , 的坐标即可得到结论.

【解答】















































试卷第 16 页,总 20 页





当点 在第一象限时,设 的坐标为 , , .



,即



由(1)知,点 的坐标为



则 的面积



当且仅当

,即



时,取等号,

此时 的面积取得最大值 ,

此时 的坐标为

, 的坐标为



则 的方程为

,代入









,则 的坐标为







21. 【答案】

由函数

,得 ,



,得



解得 .

,,



有三个不同的零点,

∴ 有两个大于 的极值点.

因此方程

,即

有两个不同正根,









解得: 由

. ,











可知:函数 在

内单调递增;在

内单调递减;在

内单调递增.

时,



时,



∴ 函数 的极大值点为 ,极小值点为 .











∴ 函数 在

内有一个零点, 为一个零点,在

内有一个零点.

因此

有三个不同的零点,







∴ 的取值范围是 .

试卷第 17 页,总 20 页

【考点】 利用导数研究函数的极值 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】

(1)由函数

,得 ,由

,得

,解

得.

(2)

, ,由

有三个不同的零点,可知 有

两个大于 的极值点.因此方程

,即

有两个不

同正根,可得: ,

, ,解得:

.由

,可得
内单调递增;在 时,
【解答】
由函数



,因此

内单调递减;在

.而

,可得

,可知:函数 在

内单调递增. 时,





,即可得出.

,得 ,



,得



解得 .

,,



有三个不同的零点,

∴ 有两个大于 的极值点.

因此方程

,即







有两个不同正根, ,

解得: 由

. ,











可知:函数 在

内单调递增;在

内单调递减;在

内单调递增.

时,



时,



∴ 函数 的极大值点为 ,极小值点为 .











∴ 函数 在

内有一个零点, 为一个零点,在

内有一个零点.

因此

有三个不同的零点,







∴ 的取值范围是 .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:

坐标系与参数方程] 22.

试卷第 18 页,总 20 页

【答案】







椭圆 极坐标方程为







直线



转换为极坐标方程为







证明:设







由(1)得







可得,



故 为定值,且



【考点】

圆的极坐标方程

【解析】

(1)直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.

(2)利用三角形的面积公式建立等量关系求出 .

【解答】







椭圆 极坐标方程为







直线



转换为极坐标方程为







证明:设







由(1)得







可得,

故 为定值,且



[选修 4-5:不等式选讲] 23.


试卷第 19 页,总 20 页

【答案】 由题意得 所以
整理可得



,解得



故原不等式的解集为



显然

为偶函数,

所以只研究 时 的最大值.



所以 时,



所以当 时, 取得最大值 ,



时, 取得最大值 .

【考点】

函数的最值及其几何意义

绝对值不等式的解法与证明

【解析】

(1)利用绝对值不等式的等价形式,转化求解即可.

(2)通过函数的奇偶性,化简函数的解析式为分段函数的形式,然后求解函数的最大

值即可.

【解答】

由题意得



所以

整理可得

,解得



故原不等式的解集为



显然

为偶函数,

所以只研究 时 的最大值.



所以 时,



所以当 时, 取得最大值 ,



时, 取得最大值 .

试卷第 20 页,总 20 页


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