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《等差数列》教学设计1


《等差数列》教学设计
一.教材分析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》 (人民教育出版社 A 版教材) 高中数学必修五第二章第二节——等差数列,两课时内容,本节是第一课时。研 究等差数列的定义、通项公式的推导,借助生活中丰富的典型实例,让学生通过 分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通 过本节课的学习要求理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并且了解 等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是 本章的重点内容。 在高考中也是重点考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛 的应用,它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差 数列是学生探究特殊数列的开始,它对后续内容的学习,无论在知识上,还是在 方法上都具有积极的意义。 二.教学目标 知识目标: (1)理解并掌握等差数列的概念; (2)能用定义判断一个数列是否为等差数列; (3)了解等差数列的通项公式,等差中项公式的推导过程及思想,会求等差数 列的公差及通项公式,会应用等差中项公式,并能在解题中灵活应用它们; (4)初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 能力目标: (1)培养学生观察、分析、归纳、推理的能力; (2)在领会函数与数列关系的前提下,把研究函数的方法迁移来研究数列,培 养学生的知识、方法迁移能力; (3)通过阶梯性练习,提高学生分析问题和解决问题的能力。 情感目标: (1)通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神; (2)通过对等差数列的研究,使学生认识事物的变化形态,养成细心观察、认 真分析、善于总结的良好思维习惯。 三、教学重点、难点 重点:①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式,等差中项公式的推导过程及应用。 难点: ①理解等差数列"等差"的特点及通项公式的含义。 ②如何推导出等差数列的通项公式。 四.教学策略和手段

数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过 程,结合学生的实际情况,及本节内容的特点,我采用的是“问题教学法”,其 主导思想是以探究式教学思想为主导,由教师提出一系列精心设计的问题,在教 师的启发指导下,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结 论,从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 教学手段: 多媒体计算机和传统黑板相结合。多媒体的运用使学生获得感性 知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样做,可以使学生有兴趣地学习,注 意力也容易集中, 符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板 则能让学生更好的经历整个教学过程。 五.教学过程 环节 问题 1 教学内容 我们经常这样数数,从 0 开 师生互动 设计意图

始, 每隔 5 个数一次, 可以得到数列? (学生试着写出来) 教师出示引例, 并提

新 课 导 入

问题 2. 2008 年北京奥运会,女子举 出问题. 重共设臵 7 个级别,其中较轻 的 4 个级别体重组成数列(单 位:kg): 学生探究. 48,53,58,63 问题 3 水的管理员为了保证优质鱼类 有良好的生活环境,定期放水清 库的办法清理水库中的杂鱼。如 果一个水库的水位 18m, 自然放水 每天水位下降 2.5m, 最低降至 5m。 那么从开始放水算起,到可以进 行清理工作的那天,水库每天的 水位组成数列(单位:m) 18,15.5,13,10.5,8,5.5 问题 3 我国现行储蓄制度规定银行支 付存款利息的方式为单利,即不 把利息加入本金计算下一期的利 息。按照单利计算本利和的公式 是: 本利和=本金 (1+利率*存期) 例如,按活期存入 10000 元,年利率 是 0.72%, 那么按照单利,5 年内 各年末本利和分别是: 如下表(假设 5

希望学生能 通过对日常生活 中的实际问题的 分析对比,建立等 差数列模型,进行 探究、解答问题, 体验数学发现和 创造的过程.

时间

第1年 第2年 第3年 第4年 第5年

年初本 年末本 金(元) 利和 (元) 10000 10072 10000 10144 10000 10216 10000 10288 10000 10360

年既 不加 存款 也不 取款, 且不 扣利 息税)

各年末本利和(单位:元)组成了 数列: 10072,10144,10216,10288,10360

从上述四个问题中我们得到了四个数 列 (1)0,5,10,15,20,25,…

师:请同学们仔细 观察,看看这几个数列 有什么共同特点?

由特殊到一 般, 发挥学生的自 主性, 培养学生的 归纳能力.

新 课

(2)48,53,58,63 学生观察、回答. (3)18,15.5,13,10.5,8,5. (4)10072,10144,10216,10288, 教师总结特征: 10360 从第二项起,每一 项与它前面一项的差等 于同一个常数(即等 差) . 我们给具有这种特 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项 起,每一项与它前一项的差等于同一 个常数,这个数列就叫做等差数列, 征的数列一个名字—— 等差数列. 教师板书定义. 师:等差数列的例

在学生自主 探究的基础上得 出定义和公式, 更 有利于学生理解 和运用.

这个常数就叫做等差数列的公差(常 子,在生活中有很多, 用字母“d”表示) . 即 a n ? an?1 ? d (常数) 口答练习: 判断下列数列是否为等差数列? 1,2,4,6,8,10,12,…; 0,1,2,3,4,5,6,…; 3,3,3,3,3,3,3,…; 2,4,7,11,16,…; -8,-6,-4,0,2,4,…; 注意:求公差 d 一定要用后项减 前项,而不能用前项减后项. 2.等差中项 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以 看成最简单的等差数列, 这是 A 叫做 a 新 课 探 究 与 b 的等差中项 且 A ? 3.常数列 特别地,数列 3,3,3,3,3,3,3,… 也是等差数列, 它的公差为 0.公差为 0 的数列叫做常数列. 4.等差数列的通项公式 首项是 a 1 ,公差是 d 的等差数列 师:已知一个等差数列
a ?b 2

谁能再举几个? 强化学生对等 教师出示题目. 学生思考、抢答. 师:你能说出练习 中各等差数列的公差 吗? 学生说出各题的公 差 d. 教师订正并强调求 公差应注意的问题. 学生思考回答:你能 用 a 与 b 表示 A 吗? 差数列“等差”特 征的理解, 把握和 应用

引导学生观 察、归纳、猜想, 培养学生合理的 推理能力. 学生在分组 合作探究过程中, 可能会找到多种 不同的解决办法, 教师要逐一点评, 并及时肯定、 赞扬 勇 + d 学生善于动脑、 于创新的品质, 激 发学生的创造意

?a n ?的首项是 a1 ,公差
是 d, 如何求出它的任意 项 a n 呢? 学生分组探究,填 空,归纳总结通项公式

?a n ?的通项公式可以表示为
a n ? a1 ? (n ? 1)d
推导方法主要有:归纳法,累加法 等。

a 2 = a 1 + d,

a3 =
= a1 +

+ d=

d,

a4 =

+ d=

+ d 识.

= a1 + ……

d,,

鼓励学生自 主解答, 培养学生 运算能力.

a n = a1 +

d.

师:一个等差数列 5.通项公式的应用 的各项,已知 和 就

根据这个通项公式,只要已知首 可以确定下来? 项 a 1 和公差 d, 便可求得等差数列的任 意项 a n . 事实上,等差数列的通项公式中 共有四个变量,知道其中三个,便可 求出第四个. 例1 求等差数列 8,5,2,…的 教师引导学生分析 本题,已知什么?求什 通过例题, 强 化学生对等差数 列通项公式的理 解, 强化学生学以 致用的意识. 量? 师:等差数列的通 项公式中共有几个变

通项公式和第 20 项. 解 举 例 应 用

因为 a 1 = 8,d = 5-8=-3, 么?怎么求? 学生思考、说出已 知、所求,代入通项公 式. 强调:通项公式是 用含有 n 的式子表示

所以这个数列的通项公式是

a n = 8+(n-1)×(-3),
即 a n = -3n + 11.所以

a 20 = -3×20 + 11 = -49.

an .
例2 等差数列-5, -9, -13, … 学生尝试解答后, 师生共同板书解题过 程. 仿照例 1,教师引 导、点拨. 学生解答. 由特殊到一

的第多少项是-401? 解 因为 a 1 = -5,而且

d = -9-(-5)=-4,
a n = -401,
所以

反 馈 练 习

-401= -5+ (n-1)×(-4). 解得 n=100. 即这个数列的第 100 项是-401. 程.

多媒体出示解题过

般, 发挥学生的自 主性, 培养学生的

学生核对、订正. 教师强调解题过程 要规范、严谨.

归纳能力.

学生练习. 练习一 (1)求等差数列 3,7,11,…的 题. 第 4,7,10 项. (2)求等差数列 10,8,6,…的 第 20 项. 练习二 在等差数列 ?a n ?中: (1)d =- 1 , a 7 = 8,求 a 1 ; 3 引导学生观 教师出示例题. 学生同桌之间合作 探究. 学生分析解题思 路. 察、归纳、猜想, 培养学生合理的 推理能力. 教师巡视指导. 师生共同订正. 在学生自主 探究的基础上得 出定义和公式, 更 有利于学生理解 和运用. 请学生在黑板上做

(2) a 1 = 12, a 6 = 27,求 d. 例 3 已知一个等差数列的公差为 d,第 m 项是 a m ,试求第 n 项 a n 解: 因为 a n = a 1 +(n-1)d,

a m = a 1 + (m-1)d, 两式相减得

a n - a m =(n-m)d
所以

教师出示答案,订 正. 鼓励学生自

a n = a m +(n-m)d

强调:已知等差数列的任意项 a m 和公差 d, 也可求得等差数列的任意项

主解答, 培养学生 运算能力.

an .
练习三 (1)已知等差数列 ?a n ?中, a 5 = 6, a 7 = 16,求 a 1 和公差 d (2)已知等差数列 ?a n ?中, a 5 = 20, a 10 = -1,求 a 15 例 4. 已 知 数 列 的 通 项 公 式 为 教师出示例题让学生 分析题意? 学生做练习. 学生回答各题结 果,统一订正答案.

那么这个 学生回答: a n ? pn ? q 其中 p,q 为常数, 要判定 ?a n ?是不是等差 数列一定是等差数列吗? 数列,可以利用等差数 解:取数列 ?a n ?中的任意相邻两项 a n n 列的定义,也就是看 加深学生对 a n ? an?1 (n≥2)是 -1 与 a n ?1 (n≥2)求差得 等差数列与一次 不是一个与 n 无关的常 函数的联系和理 a n - a n?1 1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+ 数就行了。 解。 q)-(pn-q+q)=p, 它是一个与 n 无关的常数, 所以 ?a n ? (学生叙述,教师板书) 提出问题: 是等差数列,且公差为 p。 在通项公式中,令 n=1 得 a1=p+q, 数列的通项公式给出 所以这个等差数列的首项是 p+q, 的是 a n 与 n 之间的一种 关系,一个 n 都对应着 公差是 p。 一个 a n ,这与我们以前 学过的什么内容类似? 探究:在直角坐标系中作通项公式为 由本例得到什么结论? (引发学生联想、 a n =3n-5 的数列的图像,并观察图像 归纳,学生很自然会想 到一次函数) 有什么特点? 学生:与一次函数内容 (用几何画板作图显示) 类似,即 a n 与 n 之间的 由学生总结:该数列的图象是一 关系是一次函数的系; 群孤立的点。且都落在直线 y=3x-5 的 图象上。 结论: 公差不为零的等差数列 a n ? pn ? q 的图象是直线 y=px+q 上的均匀排开 由本例的结论可知, 如果 a n 是关于 n 的一次 函数, 那么数列{an}是等 差数列。

的一群孤立的点。 (注:当 p=0 时,a n =q,等差数列为 常数列,此时数列的图象是平行 x 轴 (或 x 轴上)的均匀分布的一群孤立 点。)

学 生 阅 读 课 本

教师鼓励学

P36 ~ P38 ,畅谈本节课 生积极回答, 答不 小 结 1.等差数列的定义及通项公式. 2.等差数列通项公式的应用. 的收获. 完整没有关系, 其

教师引导梳理,总 它同学补充. 以此 结本节课的知识点和解 培 养 学 生 的 口 头 题方法. 表达能力, 归纳概 括能力.

a n ? a1 ? (n ? 1)d 会知三求一

教材 P40,习题 2.2

A 第 1,2,4 题.

变式1: 若数列 ?a n ? 是等差数列,若 b n = k an , (k为常数)试证明:数列{ b n } 作 业 是等差数列 变式2:已知等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 = -24,从第10项开始为正数,求公差 d 学生课后独立思考成. 的取值范围。 巩固拓展. 此题是 课堂作业 对学生进行数列 问题提高训练, 学 习如何用定义证 明数列问题同时 强化了等差数列 的概念。 六.板书设计 等差数列

一.概念 1.等差数列 2.等差中项 二.通项公式与性质 公式推导过程

三.例题 例 1. 例 2. 例 3. 例 4. 四.小结 练习

七.教学反思 本节内容可以说是一个承前启后的内容,本身是比较简单的知识,但也是一 个重点知识, 我觉得对于这部分的讲解主要还是抓住教材,让简单的东西更直白 化,用简单的方式让学生抓住重点。主要采用启发式、讨论式以及讲练结合的教 学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考 和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题,从而使学生形成自 主学习的能力,让学生懂得去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各 抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。 通过以往的教学经验发现,学生对这部分的知识是比较容易掌握的,但问 题是学生遇到问题举一反三的能力教弱, 对于这类知识的变迁或者将它融入到其 他知识中后,学生就开始犯难,这主要还是基础不过关,所以在开始讲解这部分 知识时就要抓好基础知识,不要看它简单,以为只要记住公式就可以了,就掉以 轻心,老师的角色就是要时刻提醒学生认真对待。


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