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指对幂函数知识点总结


〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x
n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,

a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方
根用符号 ?
n

a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.
a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当

②式子

n

n 为偶数时, a ? 0 .
③根式的性质:

( n a )n ? a


;当

n

为奇数时,

n

an ? a

;当

n

为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念
m

①正数的正分数指数幂的意义是: a n 幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a 的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数
m n

?

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a a

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)
r

② (a

r s

) ? ars (a ? 0, r, s ? R)

③ (ab)

? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 图象 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1

a ?1

y

y ? ax

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O

1
x 0

O

1
x 0

定义域 值域

R
(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

过定点 奇偶性 单调性

? 0 时, y ? 1 .

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数,

N

叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga

N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)几个重要的对数恒等式

log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 ①加法: loga 如果 a . N (其中 e ? 2.71828 …)

N ;自然对数: ln N

,即 log e

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

M ? loga N ? loga (MN )
M ? loga M n (n ? R)

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n loga

?N

⑤ log

ab

Mn ?

n log a M (b ? 0, n ? R ) b

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 函数 对数函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1
x?1

a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 1 0) 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念 设函数 果对于

y ? f ( x) 的定义域为 A , 值域为 C , 从式子 y ? f ( x) 中解出 x , 得式子 x ? ? ( y ) . 如

y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式

子x

? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,

习惯上改写成

y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;

? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶

函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? 如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.

? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.

④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ?

?

q (其中 p, q 互 p
q

q

质, p 和 q ? Z ) ,若 是偶函数,若

p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p
q p

p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数

y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若

x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,
其图象在直线

y ? x 下方.


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