当前位置:首页 >> 数学 >>

高中立体几何精选练习1


立体几何练习
1.在正方体,ABCD- A1 B1C1 D1 中,E,F,G,H,M,N 分别是 CC1 ,BC,AB, AA1 ,

A1 D1 , D1C1 的中点,求证:这些中点共面.
2. 在四面体 ABCD 中, AC⊥BD, AH⊥面 BCD, 为垂足, H CK⊥面 ABD, 为垂足. K 求 证:AH 与 CK 必相交. 3.ABCD 是空间四边形,H,F 分别是 AC,BD,过 H,F 且平行于 AD 的平面分别交 AB,CD 于 E,G.求证:BC∥面 EFGH. 4.AB 是 Rt△ABC 的斜边,P 是平面 ABC 外的一点,且 P 到△ABC 的三个顶点的距离 相等.求证:平面 PAB⊥平面 ABC. 5.已知四棱锥 P-ABCD,它的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,且∠ABC=120°,PC ⊥面 ABCD.又 PC=a,E 为 PA 的中点. (1)求证:面 EBD⊥面 ABCD; (2)求点 E 到平面 PBC 的距离; (3)求二面角 A-BE-D 的大小. 6.正三棱锥 P-ABC 的高和底面边长都等于 a,EF 是 PA 与 BC 的公垂线,E,F 分别 为垂足.

(1)求证:侧棱 PA⊥截面 BEC; (2)求截面 BEC 的面积; (3)求截面 BEC 与底面 ABC 所成二面角的大小. 7.如图,△ABC 与△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC= 120°.求:

(1)直线 AD 与面 BCD 所成的角; (2)直线 AD 与 BC 所成的角; (3)二面角 A-BD-C 的大小. 8.如图△ABC 是等腰直角三角形,AB=BC=4,△BCD 是等边三角形,将它们折成直 二面角 A-BC-D.

1

(1)取 BC 的中点 O,证明:DO⊥面 ABC; (2)求二面角 D-AB-C 的大小; (3)求 AD 与平面 ABC 所成角的正切; (4)求 AD 与 BC 所成角的余弦. 9.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PC,∠APC=∠ACB=90°,∠BAC=30°,平 面 PAC⊥平面 ABC.

(1)求证:平面 PAB⊥平面 PBC; (2)求二面角 P-AB-C 的大小; (3)若 PA=2,求三棱锥 P-ABC 的体积. 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥底面 ABCD,且 PA =AD=2a,AB=a,AC= 3 a.

(1)求证:平面 PDC⊥平面 PAC; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值; (3)设二面角 A-PC-B 的大小为 θ ,求 tg θ . 11.如图,斜三棱柱 ABC- A1 B1C1 中, A1C1 ⊥ BC1 ,AB⊥AC,AB=3,AC=2,侧 棱与底面成 60°角.

2

(1)求证:AC⊥面 ABC1 ; (2)求证: C1 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上; (3)求此三棱柱体积的最小值. 12.设半径为 R 的地球面上有 A,B 两地,A 地位于东经 20°、南纬 30°,B 地位于 东经 80°、北纬 60°,求 A,B 两地的球面距离. 13.如图,在四棱锥 A-BCDE 中,AD⊥底面 BCDE,AC⊥BC,AE⊥BE.

(1)求证:A、B、C、D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上; (2)若∠CBE=90°,CE= 3 ,AD=1,求 B,D 两点的球面距离. 14.有四个半径均为 R 的球,每个球都和其他三个球相切,求和这四个球都相切的球 的半径. 15.如图,斜三棱柱 A1 B1C1 -ABC 的底面是边长为 2 的正三角形,顶点 A1 在底面上的 射影是△ABC 的中心, A1 A 与 AB 的夹角是 45°.

3

(1)求证: AA1 ⊥平面 A1 BC ; (2)求此棱柱的侧面积. 16.如图(1) ,在正方形 ABCD 的四边,AB,AD,CD,BC 上分别取点 E,F,G,H, 使 AE︰EB=AF︰FD=CG︰GD=CH︰HB=1︰2,把正方形沿 BD 折起得图(2) .

(1)求证:EFGH 是矩形; (2)当二面角 A-BD-C 是多少时,EFGH 为正方形? (3)当正方形 ABCD 的边长为 3,且 EFGH 为正方形时,求三棱锥 A-BCD 的体积. 参考答案 1.连结 D1C ,MF,∵ NE∥ D1C , D1C ∥MF,∴ NE∥MF,设 NE,MF 确定平 面为 α ,同理连结 NG,EF∥NG.设 EF,NG 确定平面为 β ,则 EF、NE 同在平面 α , β 内.又 EF,NE 为两条相交直线,∴

α 与 β 重合,即 M,N,E,F,G 共面.同理可证 H

也在这个平面内.∴ E,F,G,H,M,N 六点共面

4

2.

AH ⊥ 平面BCD ? AH ⊥ BD ? BD ⊥ 面CAH ? ?? ?? ?? BD ? 面BCD ? AC ⊥ BD ? BD ? ABD ?
CK ? 面CAH .

平面CAH ⊥ 平面ABD ? ?? CK ⊥ 面ABD ?

设 BD 与平面 CAH 交于 R,则 AH⊥CR,CK⊥AR.又 CK,AH 在同一平面内,因此 AH 与 CK 必相交

3.∵ AD∥面 EFGH,AD ? 平面 ACD,而平面 EFGH I 平面 ACD=HG,∴ AD∥ HG.在△ACD 中,H 是 AC 的中点,故 G 是 CD 的中点.同理可证 E 是 AB 的中点.于是 BC∥FG.又∵是 FG ? 平面 EFGH,∴ BC∥平面 EFGH

5

4.如图,设 D 为 AB 的中点,连结 PD,CD,则 PD⊥AB.∵ AP=CP,AD=CD, ∴ △PCD≌△PAD.∴ PD⊥CD.∴ PD⊥面 ABC.又 PD ? 面 PAB,∴ 面 PAB⊥面 ABC

5. (1)连结 AC,BD 交于 F,∴ EF∥PC.∵ PC⊥面 ABCD,∴ EF⊥面 ABCD, EF ? 面 EBD.∴ 面 EBD⊥面 ABCD(2)∵ EF∥PC,∴ EF∥面 PBC.∴ E 到面 PBC 的距离是 EF 到面 PBC 的距离.∵ 面 PBC⊥面 ABCD,且交线为 BC,过 F 作 FH⊥

CF = BC 于 H, FH⊥面 PBC. 则 ∴ FH 为 E 到面 PBC 的距离. ∵ ∠FCH=30°,

3 a, 2



1 3 FH = CF = a (3)取 BC 的中点 G,连结 FG,AG.∵ 面 BDE⊥面 ABCD, 2 4
AF⊥面 BDE.∵ BF=EF=

AF⊥BD,∴

AE = AB = a . ∴

a ,∴ 2

FG⊥BE.∵

AP = 2a ,∴

AG ⊥ BE . 则 ∠ FGA 为 二 面 角 D - BE - A 的 平 面 角 . ∵

FG =

a 2 2 3 ? = a, AF = a .在 Rt△GFA 中,∴ 2 2 4 2

3 a AF tg∠FGA = = 2 = 6 BE 2 a 4

6. ∵ PB=PC, (1) ∠BPE=∠CPE, PE=PE, ∴ △BPE≌△CPE. ∴ BE=CE. ∵ EF⊥BC, ∴ F 为 BC 的中点, PO⊥底面 ABC 于 O. 作 连结 AF, AF⊥BC, O ∈ AF. 则 且 由 三 垂 线 定 理 得 PA ⊥ BC . 又 PA ⊥ EF , ∴ PA ⊥ 面 EBC ( 2 ) 在 Rt △ PAO 中 ,

6

PA = PO 2 + AO 2 =

2 3 a .∵ PA⊥截面 EBC,∴ VP ? ABC = VP ? EBC + VA? EBC .解得 3

3 1 3 3 S ?EBC = a 2 ( 3 ) ∵ S ?EBC = ? EF ? BC = a 2 , 而 BC = a , ∴ EF = a . ∵ 8 2 8 4 BC ⊥ EF , BC ⊥ AF , ∴ ∠ AFE 就 是 所 求 二 面 角 的 平 面 角 . 在 Rt △ AEF 中 , cos ∠AFE =
EF 3 = ,∴ AF 2 ∠AFE =

π
6

7. (1)如图,连结 AD,过 A 在面 ABC 内作 BC 的垂线交 CB 的延长线于 H,连结 DH, ∵ 面 ACB⊥面 BCD,∴ AH⊥面 BCD.故∠ADH 为 AD 与面 BCD 所成的角.由∠ABC =∠DBC=120°,AB=BC=DB,可得 AH=HD.∴ ∠ADH=45°(2)∵ HD 为 AD 在面 BCD 上的射影,又 BC⊥HD,∴ AD⊥BC.∴ AD 与 BC 成 90°角(3)在面 BCD 内 HR⊥BD 于 R, 连结 AR. AR⊥BD, 则 即∠ARH 为二面角 A-BD-C 的平面角的补角. 设 HB=a,则 tg 60° =

AH .∴ a

DH=AH= 3a .又∠HDB=30°,∠DHB=90°,∴

BD = 2a .又 HD ? HB = BD ? HR ,∴
A-BD-C 为 π ? arctg 2

HR =

3 AH x , tg∠ARH = = 2 .∴ 二面角 2 HR

7

8. (1) ∵ DO⊥BC, 又面 BCD⊥面 ABC, ∴ DO⊥面 ABC (2) 由已知∠ABC=90°, AB=BC=4,∴ AB⊥BC,又 DO⊥面 ABC,OB 为 DB 在面 ABC 内的射影,由三垂线定 理知 AB⊥BD,则∠DBC 为二面角的平面角.∵ ∠DBC=60°,∴ 二面角 D-AB-C 为 60°(3)连结 AO,则∠DAO 为 AD 与平面 ABC 所成的角. DO =

3 ×4 = 2 3 , 2

OA = 4 2 + 2 2 = 2 5 , tg∠DAO =
四 边形 ABCE 为正 方形. ∴

15 (4)在平面 ABC 内所 AE 5

BC,连结 CE,则

AB= AE =BC =4, DE= DA=

DO 2 + OA2 = 4 2 ,

cos ∠DAE =

2 4 2

=

2 4

9. ∵ 面 PAC⊥面 ABC, (1) BC⊥AC, ∴ BC⊥面 PAC, BC⊥PA. PA⊥PC, 又 ∴ PA ⊥面 PBC.∴ PAB⊥面 PBC.∴ 面 PAB⊥PBC(2)作 PD⊥AC 于 D,则 PD⊥面 ABC, 作 DE⊥AB 于 E,连结 PE,则∠PED 为二面角 P-AB-C 的平面角,设 PA=PC=a,则

AC = 2a , = PD

2 1 2 a . Rt△ABC 中, = AD = 在 DE a, ∴ 2 2 4
PA=2,则 PD =

tg∠PED = 2∠PED
3 2 6 ×2 2 = .∴ 3 3

= arctg 2 (3)∵

2 , AC = 2 2 , BC =

S ?ABC =

4 1 4 3 6 , VP ? ABC = × 2 × = 3 9 3 3

8

10. (1)∵

AC 2 + CD 2 = AD 2 ,∴ AC⊥CD,又 PA⊥底面 ABCD,∴ PA⊥CD,

则 CD⊥面 PAC.∴ 面 PAC⊥面 PBC(2)连结 AC、BD 相交于 O,则 O 为 AC 的中点, 取 PA 的中点 E,连结 OE,则 OE∥PC.∴ ∠BOE 为异面直线 PC 与 BD 所成的角,

PC = PA2 + AC 2 = 7a .∴ OE =

7 a , BE = AB 2 + AE 2 = 2a , 2

OB = OA 2 + AB 2 =

7 3 a .由余弦定理得 cos ∠BOE = (3)∵ AB⊥面 PAC.过 A 2 7

AG = 作 AG⊥PC 于 G, 连结 BG, 则∠AGB 为所求二面角的平面角, AB 21 = AG 6

PA ? AC 2 21 = a. 在 PC 7

Rt△BAG 中, tg∠AGB =

11. ∵ (1)

A1C1 ∥AC,A1C1 ⊥ BC1 . ∴ AC⊥ BC1 . AC⊥AB, 又 ∴ AC⊥面 ABC1

(2)由(1)知,AC⊥面 ABC1 ,∴ 面 ABC⊥面 ABC1 .在面 ABC1 内,过 C1 作 C1 H ⊥ AB 于 H,则 C1 H ⊥面 ABC(3) V = S ?ABC ? C1 H =

1 1 AB ? AC ? C1 H = ? 3 ? 2 ? 3CH = 2 2

3 3CH .∵ CA⊥AB,∴ CH≥AC=2.∴ Vmin = 6 3 .
9

12.仿例 22,

= R arccos(?

3 ) 8

13. (1)取 AB 的中点 M,则 ME,MD,MC 分别为直角△ABE、直角△ABD、直角△ ABC 的斜边上的中线,则 EM=BM=DM=CM=AM,即,A,B,C,D,E 五点在以 AB 为 直径的球面上 (2) ∵ AD⊥底面, 是 AC 在底面上的射影. BC⊥AC, DC 而 ∴ BC⊥CD. 同 理 BE⊥ED.又∠EBC=90°,∴ 四边形 BCDE 为矩形,则 BD=CE= 3 .又 AD=1, ∴ AB=2,即球半径为 1.∴ MB=MD=1,由余弦定理, cos ∠BMD = ? =2R= π

1 ,∴ 2

2 ∠BMD = π .∴ B,D 两点的球面距离为 3

2 3

14.如图,设这四个球的球心分别是 O1 , O2 , O3 , O4 ,因每个球都和其他三个球相 切, 所以 O4 ? O1O2O3 为正四面体. A 为 O2O3 的中点, B 分别是△ O1O2O3 和△ O4O2O3 设 C, 的中心.连结 O1 B 、 O4C ,其交点为 O,则 O 是与这四个球都相切的球的球心, OO4 + R 是与它们都相内切的球的半径. OO4 ? R 是与它们都相外切的球的半径.

10



O1O2 = 2 R , ∴

2 O1 A = 3R , O4C = AO4 ? AC 2 =

2 6 R .∵ 3

CO BC AC 1 3 6 6 = = = ,∴ OO4 = O4C = R .∴ 所求的球的半径为( ±1) 4 2 2 OO4 O1O4 AO1 3
R. 15. (1)∵ △ABC 是正三角形, A1 在底面的射影是△ABC 的中心,∴ 三棱锥

A1 ? ABC 是正三棱锥, A1 A = A1 B = A1C .在等腰△ AA1 B 中,∵ AA1 B =90°,即 AA1 ⊥ A1 B .同理 AA1 ⊥ A1C ,∴ AA1 ⊥ BC .∵ BB1 ∥ AA1 ,∴

A1 AB =45°,∴ ∠

AA1 ⊥ 面 A1 BC (2)由(1)知

BB1 ⊥ BC ,即四边形 BB1CC1 是矩形.在△ AA1 B 中,
S AA1BB1 = 2 S ?AA1B = 2 .S BB1CC1 = BB1 ? BC = 2 2

AA1 = A1 B = 2 = BB1 . BC = 2 , 又 ∴
. S AA1CC1 = S AA1BB1 = 2 .∴

S侧 = 4 + 2 2

16. (1)∵ EF∥BD,HG∥BD,且 EF=HG,∴ 四边形 EFHG 为平行四边形.设 在图 (1) FG 与 BD 交于 M, EF⊥FG, 中 则 HG⊥MG, ∴ EF⊥MG. ∴ EF⊥面 FMG. ∴

11

EF⊥FG, EFGH 为矩形 即 (2) EFGH 为正方形, EF=FG, 若 则 在△ABD 中,EF = 在图 (2) 中,FG =

1 BD , 3

2 AC , BD=2AC, BD=2BO=2AO=2CO, OA=CO=AC. ∴ 又 ∴ ∴ 3 9 ∠AOC=60°, 即二面角 A-BD-C 为 60° (3) 当正方形 ABCD 的边长为 3 时, ?BCD = , S 2

当 EFHG 为正方形时,由于△AOC 为正三角形,BD⊥面 AOC,连结 A 与 OC 的中点,即三 棱锥 A-BCD 的高,可求得高 h =

3 6 1 9 .∴ V A? BCD = S ?BCD h = 6 4 3 8

12


相关文章:
高一立体几何证明专题练习一.doc
高一立体几何证明专题练习一 - 高一立体几何证明专题练习一 1.如图,在三棱柱
高中数学立体几何练习1_图文.doc
高中数学立体几何练习1 - 空间几何体的结构、三视图和直观图 1. 下列四个几何
高二数学立体几何练习1.doc
高二数学立体几何练习1 - 高二数学立体几何练习一 1.已知直线 a、b、l 及
高一数学立体几何练习题1.pdf
高一数学立体几何练习题1 - 高一数学立体几何练习题 一、选择题(下列各题中只有
立体几何练习题1.doc
立体几何练习题1 - 《立体几何练习题 1 (满分 100 分,时间:90 分
立体几何练习题1.doc
立体几何练习题1 - 立体几何练习题 1 1.(本小题满分 12 分) D 在
立体几何练习(1).doc
立体几何练习(1) - 基本概念: 1.(2009 年广东卷文)给定下列四个命题: ①若个平面内的两条直线与另个平面都平行,那么这两个平面相互平 行; ②若个...
高三数学立体几何巩固练习1.doc
高三数学立体几何巩固练习1 - 平面的性质与直线的位置关系 姓 班级: 1.角
高一立体几何大题练习.doc
高一立体几何大题练习 - 高一立体几何大题练习 1.如图,平面 α∩β=CD,E
高一数学立体几何练习题.pdf
高一数学立体几何练习题 - 高一数学立体几何练习题 一、选择题(下列各题中只有一
高一数学立体几何练习题.pdf
高一数学立体几何练习题 - 高一数学立体几何练习题 一、选择题(下列各题中只有一
高二数学立体几何练习题1.doc
高二数学立体几何练习题1 - 高二数学立体几何练习(二) 1.设 m, n 是两
立体几何练习题1_图文.ppt
立体几何练习题1 - 1. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形 ,AB=2,B
立体几何练习题1.doc
立体几何练习题1 - 立体几何练习题 1.直线和平面平行是指该直线与平面内的(
最新发区高级中学苏教版高中数学一轮复习立体几何练习1....doc
最新发区高级中学苏教版高中数学一轮复习立体几何练习1(无答案) (1) - 立体几何练习(1) 班级: 姓名: 1.如图所示,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,...
高一数学立体几何练习题及部分答案汇编.doc
高一数学立体几何练习题及部分答案汇编 - 立体几何试题 一.选择题(每题 4 分
空间立体几何练习题1.doc
空间立体几何练习题1 - 戴氏教育簇桥校区 立体几何练习题 授课老师:唐老师 空
高一必修二立体几何练习题(含答案).doc
高一必修二立体几何练习题(含答案) - 《立体几何初步》练习题 一、选择题 1、
高中数学 立体几何练习题(1) 新人教A版必修2.doc
高中数学 立体几何练习题(1) 新人教A版必修2 - 立体几何测试题 1.以下关
高一拓展训练五:空间立体几何(解析版).doc
高一拓展训练五:空间立体几何(解析版) - 高一拓展训练五:空间立体几何 .知识再现 问题 1:回忆平面基本性质的四个公理及推论?它们各有什么作用? 问题 2:空间...
更多相关标签: