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四川省德阳市高考数学难点41 应用性问题

难点 41

应用性问题

数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成 熟,大体是三道左右的小题和一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境 的能力要求. ●难点磁场 1.(★★★★★)一只小船以 10 m/s 的速度 由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高 20 米的桥上, 一辆汽车由西向东以 20 m/s 的速度前进(如图) , 现在小船在水平 P 点以南的 40 米处,汽车在桥上 以西 Q 点 30 米处(其中 PQ⊥水面) ,则小船与汽车间的最短距离为 与小船本身的大小). 2.(★★★★★)小宁中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序: (1)洗锅盛水 2 分钟; (2)洗菜 6 分钟; (3)准备面条及佐料 2 分钟; (4)用锅把水烧开 10 分钟; (5)煮 面条和菜共 3 分钟.以上各道工序除(4)之外,一次只能进行一道工序,小宁要将面条煮 好,最少用分钟. 3.(★★★★★)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计 规律:每生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生 产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本 = 固定成本 + 生产成本) ,销售收入 R(x) 满足 .(不考虑汽车

R(x)= ?
律.

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8 ?10.2

(0 ? x ? 5) .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规 ( x ? 5)

(1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少? ●案例探究 [例 1]为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱(如图) ,污水从 A 孔流入,经沉淀后从

B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水
中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B

孔的面积忽略不计)? 命题意图:本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数 学知识、思想与方法解决实际问题能力,属★★★★级题目. 知识依托:重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析:不能理解题意而导致关系式列不出来,或 a 与 b 间的等量关系找不到. 技巧与方法:关键在于如何求出函数最小值,条件最值可应用重要不等式或利用导数 解决. 解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y,则由条件 y= 系数)其中 a、b 满足 2a+4b+2ab=60 ①

k (k>0 为比例 ab

要求 y 的最小值,只须求 ab 的最大值. 由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且 ab=30–(a+2b) 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ 2 (a ? 2)(2b ? 2) ? 4 ? 12 ∴ab≤18,当且仅当 a=2b 时等号成立 将 a=2b 代入①得 a=6,b=3. 故当且仅当 a=6, b=3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:由 2a+4b+2ab=60,得 b ? 记 u ? ab ? 由 u? ?

30 ? a , 2?a

(30 ? a)a (0<a<30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值. 2?a

64 ? (a ? 2) 2 ,令 u′=0 得 a=6 (a ? 2) 2

且当 0<a<6 时,u′>0,当 6<u<30 时 u′<0,

(30 ? a )a 在 a=6 时取最大值,此时 b=3. 2?a k 从而当且仅当 a=6,b=3 时,y= 取最小值. ab
∴u ? [例 2]某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有 量的 6%,并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 命题意图:本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数 学知识解决实际问题的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:数列极限、等比数列、解不等式.

错解分析:①不能读懂题意,找不到解题的突破口;②写出 bn+1 与 x 的关系后,不能进 一步转化为极限问题;③运算出错,得不到准确结果. 技巧与方法:建立第 n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、 尽管本题入手容易,但解题过程中的准确性要求较高. 解:设 2001 年末的汽车保有量为 b1 万辆,以后各年汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万 辆,……每年新增汽车 x 万辆,则

b1=30,b2=b1×0.94+x,…
对于 n>1,有 bn+1=bn×0.94+x=bn–1×0.94 +(1+0.94)x,… 所以 bn+1=b1×0.94 +x(1+0.94+0.94 +…+0.94 =b1×0.94 + 当 30 ?
n n
2 2

n–1

)

1 ? 0.94n x x ?x ? ? (30 ? ) ? 0.94n . 0.06 0.06 0.06

x ≥0,即 x≤1.8 时,bn+1≤bn≤…≤b1=30 0.06 x x x x ? (30 ? ) ? 0.94 n?1 ] ? 当 30 ? <0,即 x>1.8 时, lim[ n ? ? 0.06 0.06 0.06 0.06 x 并且数列{bn}逐项递增,可以任意靠近 . 0.06
因此如果要求汽车保有量不超过 60 万辆, 即 bn≤60(n=1,2,…)则有

x ≤60,所以 x≤3.6 0.06

综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. ●锦囊妙计 1.解应用题的一般思路可表示如下

2.解应用题的一般程序 (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础. (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型 .熟悉基 本数学模型,正确进行建“模”是关键的一关. (3)解:求解数学模型,得到数学结论 .一要充分注意数学模型中元素的实际意义,

更要注意巧思妙作,优化过程. (4)答:将数学结论还原给实际问题的结果. 3.中学数学中常见应用问题与数学模型 (1)优化问题.实际问题中的“优选” “控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线 性规划”问题解决. (2)预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决. (3)最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模 型” ,转化为求函数的最值. (4)等量关系问题:建立“方程模型”解决 (5)测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不 超过 200 元,则不予优惠,②如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠, ③如果超过 500 元,其 500 元按②条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠.某人两次 去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次购买上述同样的商品,则应付款( A.413.7 元 B.513.7 元 C.546.6 元 D.548.7 元 )

2.(★★★★)某体育彩票规定:从 01 到 36 共 36 个号码中抽出 7 个号码为一注,每 注 2 元.某人想先选定吉利号 18,然后再从 01 到 17 中选 3 个连续的号,从 19 到 29 中选 2 个连续的号, 从 30 到 36 中选 1 个号组成一注, 则此人把这种要求的号买全, 至少要花( A.1050 元 二、填空题 3.(★★★★)一个球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再 落下, 当它最后静止在地面上时, 共经过了 米. B.1052 元 C.2100 元 D.2102 元 )

4.(★★★★)有一广告气球直径为 6 米,放在公 司大楼上空(如图) ,当某行人在 A 地观测气球时,其 中心仰角为∠BAC=30°,并测得气球的视角β =2°,若 θ 很小时,可取 sinθ =θ ,试估计气球的高 BC 的值约 为 三、解答题 米.

5.(★★★★★)运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们 的速度分别为 v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米/小时,每千米的运费分别为 a 元、b 元、c 元.且 b<a<c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为 m 元/小时,若使用三种运输工具 分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最 省.(题中字母均为正的已知量) 6.(★★★★)已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时) 的函数,记作 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据

t(时)

0

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.49

15 1

18 0.51

21 0.99

24 1.5

y(米) 1.5

经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成函数 y=Acosω t+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动. 7.(★★★★★)某外商到一开放区投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种 经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元. (1)若扣除投资及各种经费,则从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 48 万 美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案最合算? 8.(★★★★★)某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q,该厂的生产能力是月产

P 产品最多有 2500 件,月产 Q 产品最多有 1200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个 A、2 个 B,
组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个;B 零件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元, Q 产品每件 2000 元, 欲使月利润最大, 需要组装 P、

Q 产品各多少件?最大利润多少万元.

参 考 答 案

●难点磁场 1.解析: 设经过时间 t 汽车在 A 点, 船在 B 点, (如图) , 则 AQ=30

–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有 AQ⊥BP,PQ⊥AQ,PQ⊥PB,设小船所在平面为α ,AQ,QP 确 定平面为β ,记α ∩β =l,由 AQ∥α ,AQ ? β 得 AQ∥l,又 AQ⊥PQ,得 PQ⊥l,又 PQ⊥PB,及 l ∩PB=P 得 PQ⊥α .作 AC∥PQ,则 AC⊥α .连 CB,则 AC⊥CB,进而 AQ⊥BP,CP∥AQ 得 CP⊥

BP,∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+(40–10t)2+(30–20t)2=100[5(t–2)2+9],t=2 时 AB
最短,最短距离为 30 m. 答案:30 m 2.解析:按以下工序操作所需时间最少,①、④(并在此时完成②、③、⑤)所用时 间为 2+10+3=15 分钟. 答案:15 3.解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则

?? 0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8 f ( x) ? ? ?8.2 ? x

(0 ? x ? 5) ( x ? 5)

(1)要使工厂有赢利,则有 f(x)>0. 当 0≤x≤5 时,有–0.4x +3.2x–2.8>0,得 1<x<7,∴1<x≤5. 当 x>5 时,有 8.2–x>0,得 x<8.2,∴5<x<8.2. 综上,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2.即产品应控制在大于 100 台小于 820 台的范围 内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=–0.4(x–4) +3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时 f(x)<8.2–5=3.2 所以当工厂生产 400 台产品时,赢利最大,此时只须求 x=4 时,每台产品售价为
2 2

R ( 4) =2.4(万元/百台)=240(元/台). 4
●歼灭难点训练 一、1.解析:此人购买的商品原价为 168+423÷90%=638 元,若一次购买同样商品应付 款为 500×90%+(638–500)×70%=450+96.5=546.6 元. 答案:C 2.解析:从 01 到 17 中选连续 3 个号有 15 种方法,从 19 到 29 中选连续 2 个号有 10 种选法,从 30 到 36 中选 1 个有 7 种选法,故购买注数为 1050 注至少花 1050×2=2100 元.

答案:C 二、3.解析:小球经过的路程为:

1 1 1 1 s ? 100? 2 ? ?100? 2 ? ?100? 2( ) 3 ?100? ?? ? 100? 2 ? 200 ? 300m. 1 2 4 2 1? 2
答案:300 4.提示:sin2°= 答案:86 m 三、5.解:设运输路程为 S(千米) ,使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自 的 总 费 用 分 别 为

? 90

y1( 元 ) 、 y2( 元 ) 、 y3( 元 ). 则 由 题 意 ,

S m m m ? (a ? ) S . y 2 ? (b ? ) S , v v 2v m m y 3 ? (c ? ) S . y1 ? y 2 ? [( a ? b) ? ]S ,由 a>b,各字母均为正值, 所以 y1–y2>0, 即 y2<y1. 10v 2v 2m 2m 由 y3–y2=[(c–b)– ]S.令 y3–y2>0,由 c>b 及每字母都是正值,得 c>b+ .所以, 5v 5v 2m 2m 当 c>b+ 时 y2<y3,由 y2<y1 即 y2 最小,当 b<a<c<b+ 时,y3<y2<y1,y3 最小. 5v 5v 2? ? ? . 6.解: (1)由表中数据,知 T=12,ω = T 6 y1 ? aS ?
由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.所以,A=0.5,b=1.振幅 A= ∴y=

1 ? cos t ? 1 2 6

1 , 2

(2)由题意知,当 y>1 时,才可对冲浪者开放.∴

?
2

?

?
6

t ? 2k? ?

?
2

1 ? ? cos t ? 1 >1, cos t >0.∴2kπ – 6 2 6

,即有 12k–3<t<13k+3.

由 0≤t≤24,故可令 k=0,1,2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间内有 6 个小时可供冲浪者运动即上午 9:00 至下午 15:00. 7.解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,设纯利润与年数 的关系为 f(n),则 f(n)=50n–[12n+

n( n ? 1) 2 ×4]–72=–2n +40n–72 2
2

(1)获纯利润就是要求 f(n)>0,∴–2n +40n–72>0, 解得 2<n<18.由 n∈N 知从第三年开 始获利.

(2)①年平均利润=

f (n) 36 =40–2(n+ )≤16.当且仅当 n=6 时取等号.故此方案先获 n n
2

利 6×16+48=144(万美元) ,此时 n=6,②f(n)=–2(n–10) +128. 当 n=10 时,f(n)|max=128.故第②种方案共获利 128+16=144(万美元). 故比较两种方案,获利都是 144 万美元,但第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选择第①种方案. 8.解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,则有

?0 ? x ? 2500 ?4 x ? 6 y ? 14000 ?2 x ? 3 y ? 7000 依题意有? 则有? ? ?0 ? y ? 1200 ?2 x ? 8 y ? 12000 ? x ? 4 y ? 6000
设利润 S=1000x+2000y=1000(x+2y) 要使利润 S 最大,只需求 x+2y 的最大值.

x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n)

?2m ? n ? 1 ∴? ?3m ? 4n ? 2

2 ? m? ? ? 5 ∴? ?n ? 1 ? 5 ?

有 x+2y=

2 1 2 1 (2x+3y)+ (x+4y)≤ ×7000+ ×6000. 5 5 5 5

当且仅当 ?

?2 x ? 3 y ? 7000 ? x ? 2000 解得 ? 时取等号,此时最大利润 Smax=1000(x+2y) ?x ? 4 y ? 6000 ? y ? 1000

=4000000=400(万元). 另外此题可运用“线性规划模型”解决.


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