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2012高中数学圆锥曲线总结


数学圆锥曲线总结 一.椭圆 1.定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为常数(大于 F1F2 )的动点的轨迹叫椭圆 即 MF1 ? MF2 ? 2a
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当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆;

当 2 a =2 c 时,轨迹是一条线段 F1 F2 ; 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在

x2 y2 y2 x2 2.标准方程: 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b a b
注:是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 3.常数 a,b,c 关系: a ? c ? b
2 2 2

4.椭圆的性质:由椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 为例 a2 b2

(1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ? a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性: 两条对称轴 ,一个对称中心(0,0),四个顶点 ,两焦 F1 (?c,0), F2 (c,0) 其

中长轴长为 2 ,短轴长为 2 ; a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长,焦距 2c,半焦距 c (3)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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b c ? e ? 1 ? ( ) 2 0 ? e ? 1 (e 小圆,e 大扁) a a
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S?F1PF2 ? c | yP |? b2 tan (4)焦点三角形(椭圆一点与两焦点所构成的三角形)

?F1PF 2

2b (5)过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: a
(6)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

2

x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a2 b a 2 b2

点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a2 b a 2 b2

(7)椭圆的参数方程 ?

? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

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二.双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点的轨迹叫双曲线

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pF ? pF ? 2a
1 2

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这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距

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当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线;当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线当;2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在. 2.标准方程: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2
1

焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为: 根据项的正负来判断焦点所在的位置

y2 x2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) a2 b2

(2) a , b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0
2 2 2

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其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b

3.渐近线:令方程右边的“1”为 0 得渐进线方程焦点在 x 轴上时:

y??

bx a

焦点在 y 轴上时:

y??

ax b

4.双曲线的性质(以 ①范围: 或

( ;

)为例):

②焦点:两个焦点

;顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b?
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实轴: A1 A2 长为 2 a , a 叫做半实轴长 虚轴: B1 B2 长为 2b , b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 ③对称性:两条对称轴
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,一个对称中心(0,0),两个顶点

,其中实轴长为 2 ,虚轴长为 2 , ; (1)渐近线方程

特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ?

2

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④离心率:

,双曲线

, 越小,开口越小, 越大,开口越大;⑤两条渐近线:



5.双曲线的重要结论:

2b (1)过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: a
2 (3)两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b cot

2

?F1 PF 2 .

(3)焦点到渐近线的距离总是 b . 三.抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛 物线的准线 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原
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点对称

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它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

2p p 1 ? ,即 4 2 4

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2

y

y
y

y l O

x
F
O F

x

F

O

x

F O l

x

l

l

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
( 0, ? p ) 2 p y? 2

p ( ,0) 2 p x?? 2

(?

p (0, ) 2 p y?? 2

(1) 抛物线(以

为例):

① 范围:

; 焦点:一个焦点

,其中

的几何意义是:焦点到准线的距离;

② 对称性:一条对称轴

,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

③ 准线:一条准线



④ 离心率:

,抛物线



⑤ 抛物线的焦半径公式: (画图即可) 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?
2

p p ? ? x0 2 2
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焦点弦公式: AB ? p ? ( x1 ? x2 )

⑧通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦

通径: d ? 2 p

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通径是所有焦点弦(经过焦点的弦简称焦点弦)中最短的弦。 若 已 知 过 焦 点 的 直 线 倾 斜 角 ?



















p ? ? y ? k(x ? ) ? 2 ? y 2 ? 2 px ?

2p ?y ? y ? p2 ? 0 k
2

2p ? ? y1 ? y 2 ? ?? k ? y1 y 2 ? ? p 2 ?
p2 2 sin ?

? y1 ? y 2 ?

4 p2 2p ? 4 p2 ? 2 sin ? k

结论1. AB ? y1 ? y2

1 2p ? sin ? sin 2 ?

结论2.S?AOB ?

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) ? y2 ? y ? p 2 ? 0 和 k 2 x 2 ? (k 2 p ? 2 p) x ? ?0 (6)常用结论: ? 2 k 4 2 ? y ? 2 px ?
3

? 结论3. y1 y2 ? ? p2 和 x1 x 2 ?

p 4

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(7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0) (8)过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,则

1 1 2 ? ? 。 PF FQ p

(9)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的参数方程: ? 四.直线与圆锥曲线的位置关系: (1) 相交: 直线与椭圆相交;

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t 为参数)

直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有

,当

直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点, 故 件,但不是必要条件;

是直线与双曲线相交的充分条 ,当直线与抛物

直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有

线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故

也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但

不是必要条件。 (2) 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近 线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有

一个交点;(3)过双曲线

=1 外一点

的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P

点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两 条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双 曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的 直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线;过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个 公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 (3) 弦长公式:若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 分别为 A、B 的横坐标,则 =

,若

分别为 A、B 的纵坐标,则





(4) 圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

中,



为中点的弦所在直线的斜率 k=-

;在双曲线

中,以

为中点的弦所

在直线的斜率 k=

;在抛物线

中,以

为中点的弦所在直线的斜率 k=



4


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