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数学选修2-1人教: 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法


§ 3.2 立体几何中的向量方法 (一) —— 平行与垂直关系的向量证法 知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一 个法向量. 解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), → AB =(1,-2,-4),AC=(1,-2,-4), 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z). → 依题意,应有 n· AB = 0, n· AC = 0. ? ? ?x-2y-4z=0 ?x=2y 即? ,解得? .令 y=1,则 x=2. 2x - 4y - 3z = 0 z = 0 ? ? ? ? ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共 线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即可. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证: 是平面 A1D1F 的法向量. 证明 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 的法向量. 证明 AE AE 是平面 A1D1F 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 1 1,1, ?, A(1,0,0),E? 2? ? 1 1? AE =? ?0,1,2?. .D1=(0,0,1), 1 0, ,0?,A1(1,0,1). F? ? 2 ? 1 ? → D1F =? ?0,2,-1?,A1D1=(-1,0,0). 1? ? 1 ? 1 1 ∵ AE · D1F =? ?0,1,2?· ?0,2,-1?=2-2=0, A1D1=0,∴ AE ⊥A1D1.又 A1D1∩D1F=D1, AE · ∴AE⊥平面 A1D1F,∴ AE 是平面 A1D1F 的法向量. 知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1. 证明 方法一 ∵ → → B1C = A1D , ∴ B ? A1D ∴B1C∥A1D,又 A1D ∴B 1C∥面 ODC1. 方法二 ∵ = ∴ ? 面 ODC1, B1C1 + B1B B1C = B1O + OC1 + D1O + OD = OC1 + OD . B1C , OC1 , OD 共面. ODC1,∴B1C∥面 ODC1. 又 B1C ? 方法三 建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0), 1 1 ? O? ?2,2,1?,C1(0,1,1), B1C =(-1,0,-1), 2 1 1 ? OD =? ?-2,-2,-1?, 1 1 - , ,0?. OC1 =? ? 2 2 ? 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0), ? ?n ? OD ? 0, 则? ? ?n ? OC1 ? 0, ?-2x -2y -z =0 得? 1 1 ?-2x +2y =0 ② 0 0 0 0 0 1 1 ① 令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又 B1C · n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, ∴ B1C ⊥n,∴B1C∥平面 ODC1. 【反思感悟】 证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在平面 ODC1 内找一向量与 B1C 共线;二是说明 B1C 能利用平面 ODC1 内的两不共线向量线性 表示,三是证明 B1C 与平面的法

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