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数学选修2-1人教: 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法

§ 3.2 立体几何中的向量方法 (一) —— 平行与垂直关系的向量证法 知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一 个法向量. 解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), → AB =(1,-2,-4),AC=(1,-2,-4), 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z). → 依题意,应有 n· AB = 0, n· AC = 0. ? ? ?x-2y-4z=0 ?x=2y 即? ,解得? .令 y=1,则 x=2. 2x - 4y - 3z = 0 z = 0 ? ? ? ? ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共 线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即可. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证: 是平面 A1D1F 的法向量. 证明 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 的法向量. 证明 AE AE 是平面 A1D1F 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 1 1,1, ?, A(1,0,0),E? 2? ? 1 1? AE =? ?0,1,2?. .D1=(0,0,1), 1 0, ,0?,A1(1,0,1). F? ? 2 ? 1 ? → D1F =? ?0,2,-1?,A1D1=(-1,0,0). 1? ? 1 ? 1 1 ∵ AE · D1F =? ?0,1,2?· ?0,2,-1?=2-2=0, A1D1=0,∴ AE ⊥A1D1.又 A1D1∩D1F=D1, AE · ∴AE⊥平面 A1D1F,∴ AE 是平面 A1D1F 的法向量. 知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1. 证明 方法一 ∵ → → B1C = A1D , ∴ B ? A1D ∴B1C∥A1D,又 A1D ∴B 1C∥面 ODC1. 方法二 ∵ = ∴ ? 面 ODC1, B1C1 + B1B B1C = B1O + OC1 + D1O + OD = OC1 + OD . B1C , OC1 , OD 共面. ODC1,∴B1C∥面 ODC1. 又 B1C ? 方法三 建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0), 1 1 ? O? ?2,2,1?,C1(0,1,1), B1C =(-1,0,-1), 2 1 1 ? OD =? ?-2,-2,-1?, 1 1 - , ,0?. OC1 =? ? 2 2 ? 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0), ? ?n ? OD ? 0, 则? ? ?n ? OC1 ? 0, ?-2x -2y -z =0 得? 1 1 ?-2x +2y =0 ② 0 0 0 0 0 1 1 ① 令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又 B1C · n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, ∴ B1C ⊥n,∴B1C∥平面 ODC1. 【反思感悟】 证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在平面 ODC1 内找一向量与 B1C 共线;二是说明 B1C 能利用平面 ODC1 内的两不共线向量线性 表示,三是证明 B1C 与平面的法向量垂直. 如图所示,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF= 90° ,AD= 3,EF=2. 求证:AE∥平面 DCF. 证明 如图所示,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴、y 轴 和 z 轴,建立空间直角坐标系 C—xyz. 设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C(0,0,0),A( 3,0,a), 3 B( 3,0,0),E( 3,b,0),F(0,c,0). → AE=(0,b,-a), CB =( 3,0,0), BE =(0,b,0), 所以 → CB · AE = 0, CB · BE = 0,从而 CB⊥AE,CB⊥BE. 所以 CB⊥平面 ABE.因为 CB⊥平面 DCF, 所以平面 ABE∥平面 DCF.故 AE∥平面 DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1. 解 建立空间直角坐标系 D—xyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2), B1(2,2,2). 设 M(2,2,m) ,则 EF =( ? 1,1,0) , B1E=(0, ? 1, ? 2) , → D1M =(2,2,m ? 2). ∵ D 1M ⊥平面 EFB1, ∴ D 1M ⊥EF, D 1M ⊥B1E, ∴ D1M · EF = 0 且 → D1M · B 1E = 0, 于是 ? ?-2+2=0, ?-2-2(m-2)=0, ∴m=1, 4 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法:(1)用直线与平面垂直的 判定定理;(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C⊥A1B. 求证:AC1⊥A1B. 证明 建立空间直角坐标系 C1—xyz, 设 AB=a,CC1=b. 则 A1? 3 a ? ? 3a,1a,b?, a, ,0 ,B(0,a,b),B1(0,a,0),C(0,0,b),A 2 ? 2 ?2 ?2 ? C1(0,0,0). 于是 3

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