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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积课件 理_图文

第五章 平面向量

§5.3 平面向量的数量积

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 易错警示系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.向量的夹角 → =a,OB → =b,则∠AOB 就是向量 a 已知两个非零向量 a 和 b,作OA 与 b 的夹角,向量夹角的范围是 [0,π] 2.平面向量的数量积 .

定义

cosθ θ叫做a 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量 |a||b|· 与b的数量积(或内积),记作a· b

答案

投影

|a|cos θ
|b|cos θ

叫做向量a在b方向上的射影, 叫做向量b在a方向上的射影

几何意义

数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影

|b|cos θ

的乘积

答案

3.平面向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则

(1)e· a=a· e=|a|cos θ.
b=0 . (2)a⊥b? a·

(3)当a与b同向时,a· b=|a||b|;
当a与b反向时,a· b=-|a||b|.
特别地,a· a=|a|2 或|a|=

a· a

.

a· b (4)cos θ= . |a||b|
答案

(5)|a· b|≤ |a||b| .

4.平面向量数量积满足的运算律 a ; (1)a· b= b· (2)(λa)· b= a?(λb) = λ(a?= b) (λ为实数 λa ? b ) ;
c+b· c (3)(a+b)· c=.a· 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

y1y2 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+ ,由此得到
答案

(1)若 a=(x,y),则|a| =
2

x2+y2

或|a|=

x +y
2

2

.

→ (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离|AB|=|AB|=

?x2-x1?2+?y2-y1. ?2

(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b? x1x2+y1y2= . 0

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(√ 结果是向量.( √ ) ) (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算

→ =DC → 且AC →· → =0,则四边形 ABCD 为矩形.( × ) (3)在四边形 ABCD 中,AB BD π (4)两个向量的夹角的范围是[0,2].( × )
(5)由a· b=0可得a=0或b=0.( × ) (6)(a· b)c=a(b· c).( × )
答案

2

考点自测

1.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则向量a与向量a + 30° 2b的夹角等于________.

解析

设向量a与向量a+2b的夹角为θ.

∵|a+2b|2=4+4+4a· b=8+8cos 60°=12,

∴|a+2b|=2 3,
a· (a+2b)=|a|· |a+2b|· cos θ=2×2 3 cos θ=4 3cos θ,

又a· (a+2b)=a2+2a· b=4+4cos 60°=6, 3 ∴4 3cos θ=6,cos θ= 2 ,∵θ∈[0° ,180° ] ,∴θ=30° .
1 2 3 4 5
解析答案

3 2 a → → 2 2.已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则BD· CD=________.
解析 如图所示,
? 1? ? ? 2 -2a· a×?-2?=3a , ? ?

由题意,得BC=a,CD=a,∠BCD=120°.

BD =BC +CD -2BC· CD· cos 120° =a +a
2 2 2 2

2

∴BD= 3a.
3 3 2 2 → → → → ∴BD· CD=|BD||CD|cos 30° = 3a × 2 =2a .
1 2 3 4 5
解析答案

1 3.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α,且 cos α=3,若向量 a=3e1-2e2, 3 则|a|=________.

解析

∵|a|2=a· a=(3e1-2e2)· (3e1-2e2)

=9|e1|2-12e1· e2+4|e2|2

1 =9-12×1×1×3+4=9.∴|a|=3.

1 2 3 4 5

解析答案

1 → → → → 与AC →的 4.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO=2(AB+AC),则AB 90° 夹角为________.
解析 1 → → → 由AO=2(AB+AC)可知点 O 为 BC 的中点,

即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,
→ 与AC → 的夹角为 90° 所以∠BAC=90° ,所以AB .

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解析答案

5.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的

投影为________. -2
解析 由数量积的定义知,

b在a方向上的投影为|b|cos θ=4×cos 120°=-2.

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

平面向量数量积的运算
→ |=6,|AD → |=4, (1)(2015· 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB

例1

→ =3MC → ,DN → =2NC → ,则AM →· → =________. 9 若点 M,N 满足BM NM

3→ → → 解析 AM=AB+4AD, 1 → 1→ → → → NM=CM-CN=- AD+ AB, 4 3 1 → 1 → → → → →) ∴AM· NM=4(4AB+3AD)· (4 AB - 3 AD 12

1 1 2 2 → → =48(16AB -9AD )=48(16×62-9×42)=9.
解析答案

→· → 的值为 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE CB →· → 的最大值为________. ________;DE DC

思维升华

解析答案

(1)如图,在平行四边形 ABCD 中, → =3PD → ,AP →· → =2, 已知 AB=8,AD=5,CP BP

跟踪训练1

→· → =________. 22 则AB AD 1 → 1→ → → → 解析 由CP=3PD,得DP= DC= AB, 4 4 1→ → → → → 1→ → → 3→ → → → → AP=AD+DP=AD+ AB,BP=AP-AB=AD+ AB-AB=AD- AB. 4 4 4 1→ → 3→ → → → 因为AP· BP=2,所以(AD+4AB)· (AD-4AB)=2, 1 → → 3 →2 2 → 即AD -2AD· AB-16AB =2. 2 2 → → →· → =22. 又因为AD =25,AB =64,所以AB AD
解析答案

→· → =________. 2 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则AE BD
解析 →· → =(AD → +DE → )· → -AB →) 由题意知:AE BD (AD

1→ → → → =(AD+2AB)· (AD-AB)

1 → → 1→2 2 → =AD -2AD· AB-2AB =4-0-2=2.

解析答案

题型二

用数量积求向量的模、夹角

命题点1 求向量的模
π 3 例 2 (1)已知向量 a, b 均为单位向量, 它们的夹角为 , 则|a+b|=________. 3 π 解析 因为向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 , 3
所以|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2
= π 1+2cos 3+1= 3.

解析答案

(2)(2014· 湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3), → |=1,则|OA → +OB → +OD → |的最大值是________. 7+1 C(3,0),动点 D 满足|CD
解析 → =(x-3,y)及|CD → |=1 设 D(x,y),由CD

知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.
→ +OD → =(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3), 又 O→ A +OB
→ +OB → +OD → |= ?x-1?2+?y+ 3?2. ∴|OA

问题转化为圆(x-3) +y =1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值.
2 2

∵圆心 C(3,0)与点 P(1, - 3)之间的距离为 ?3-1?2+?0+ 3?2= 7, 故 ?x-1?2+?y+ 3?2的最大值为 7+1.
解析答案

命题点2 求向量的夹角
2 2 例 3 (1)(2015· 重庆)若非零向量 a, b 满足|a|= |b|, 且(a-b)⊥(3a+2b), 3 π 则 a 与 b 的夹角为________. 4
解析 由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)· (3a+2b)=0,即3a2-a· b-2b2=0.

2 2 又∵|a|= 3 |b|,设〈a,b〉=θ,

即3|a|2-|a|· |b|· cos θ-2|b|2=0,

8 2 2 2 2 2 π 2 ∴3|b| - 3 |b| · cos θ-2|b| =0,∴cos θ= 2 .又∵0≤θ≤π,∴θ=4.
解析答案

(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角, 则k的取值范围是________.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
1 (1)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α=3,向量 a=3e1-2e2 与 b =3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β=________.

解析答案

→· → =-1,则|BC → |的最小值是________. 6 (2)在△ABC 中,若 A=120° ,AB AC

解析

→· → =-1, ∵AB AC

→ |· → |· ∴|AB |AC cos 120° =-1,
→ |· → |=2, 即|AB |AC

→ |2=|AC → -AB → |2=AC → 2-2AB →· → +AB →2 ∴|BC AC

→ |· → |-2AB →· → =6, ≥2|AB |AC AC
→ | = 6. ∴|BC min
解析答案

题型三

平面向量与三角函数
? m=? ? ?

例 4 (2015· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =(sin x,cos
? π? ? ? 0 , x),x∈? 2?. ? ?

2 2? ? ,- ?,n 2 2?

(1)若m⊥n,求tan x的值;
? m=? ? ?

2 2? ? 解 因为 ,- ?,n=(sin x,cos x),m⊥n. 2 2? 2 2 所以 m· n=0,即 2 sin x- 2 cos x=0,

所以 sin x=cos x,所以 tan x=1.
解析答案

π (2)若 m 与 n 的夹角为3,求 x 的值.



π 1 因为|m|=|n|=1,所以 m· n=cos3=2,

? π? 2 2 1 1 ? ? 即 sin x- cos x= ,所以 sin?x-4?= , 2 2 2 2 ? ?

π π π π 因为 0<x< ,所以- <x- < , 2 4 4 4 π π 5π 所以 x- = ,即 x= . 4 6 12

思维升华

解析答案

跟踪训练3
→ =(3sin α,cos α),OB → =(2sin α,5sin α-4cos 已知 O 为坐标原点,向量OA 4 ?3π ? - ? ? → → 3 α),α∈? 2 ,2π?,且OA⊥OB,则 tan α 的值为________.
? ?

解析

由题意知6sin2α+cos α· (5sin α-4cos α)=0,

即6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,
上述等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan α-4=0,

由于

?3π ? ? α∈? 2 ,2π? ?,则 ? ?

4 tan α<0,解得 tan α=- . 3

解析答案

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易错警示系列

易错警示系列

6.向量夹角范围不清致误

典例 范围.

(14 分 ) 若两向量 e1 , e2 满足 |e1| = 2 , |e2| = 1 , e1 , e2 所成的角为

60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2所成的角为钝角,求实数t的取值

易错分析 两个向量所成角的范围是[0,π],两个向量所成的角为
钝角,容易误认为所成角π为钝角,导致所求的结果范围扩大.

易错分析

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.计算数量积的三种方法:定义法、坐标运算、数量积的几何意义, 解题要灵活选用恰当的方法,和图形有关的不要忽略数量积几何意 义的应用. 2.求向量模的常用方法:利用公式 |a|2 = a2 ,将模的运算转化为向量 的数量积的运算. 3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题 常用的方法与技巧.

失误与防范

1. 数量积运算律要准确理解、应用,例如, a· b = a· c(a≠0) 不能得 出b=c,两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a· b>0,反之不成立;两个向量夹 角为钝角,则有a· b<0,反之不成立.

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练出高分

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2 3 1.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|=________.
解析 1 |a+b| =|a| +|b| +2|a||b|cos 60° =4+4+2×2×2×2=12,|a+
2 2 2

b|=2 3.

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π 2.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m).若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m= 6

3 ________.
解析 ∵a· b=(1, 3)· (3,m)=3+ 3m,
2 2 2 2

π a· b= 1 +? 3? × 3 +m ×cos 6,
π ∴3+ 3m= 1 +? 3? × 3 +m ×cos 6,
2 2 2 2

∴m= 3.
解析答案

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1 3.设 e1,e2,e3 为单位向量,且 e3=2e1+ke2(k>0),若以向量 e1,e2 为邻边 3 1 2 的三角形的面积为2,则 k 的值为_________. 1 解析 设 e1, e2 的夹角为 θ, 则由以向量 e1, e2 为邻边的三角形的面积为2, 1 1 得 ×1×1×sin θ= , 2 2 得sin θ=1,所以θ=90°,所以e1· e2=0. 1 1 2 从而对 e3=2e1+ke2 两边同时平方得 1=4+k , 3 3 解得 k= 2 或- 2 (舍去).
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→ +AC → |=|AB → -AC → |,AB=2, 4.如图,在△ABC 中,若|AB →· → =________. AC=1,E,F 为 BC 边的三等分点,则AE AF

解析答案

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5.已知向量 a,b 是单位向量,若 a· b=0,且|c-a|+|c-2b|= 5,则|c+ 2a|的取值范围是__________.

解析答案

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→ =2PM →, 6.在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=3, 点 P 在 AM 上, 且满足AP →· → +PC → )的值为________. 则PA (PB -4

解析

由题意得,AP=2,PM=1,

→· → +PC → )=PA →· → 所以PA (PB 2PM

=2×2×1×cos 180°=-4.

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→ ,AC → 〉= 7.如图,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB=1,AC=3, 〈AB 13 → |=________. 60° ,则|OA 2
解析 → ,AC → 〉=60° 因为〈AB ,

1 3 → → → → 所以AB· AC=|AB|· |AC|cos 60° =1×3×2=2, 1 → → 1 → → 2 1 →2 2 → → →· → +AC → 2), 又AO=2(AB+AC),所以AO =4(AB+AC) =4(AB +2AB AC

1 13 13 2 → → 所以AO = (1+3+9)= ,所以|OA|= . 4 4 2
解析答案

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→· → = OB →· → = OC →· → , 则 点 O 是 △ABC 的 8. 在 △ABC 中 , 若 OA OB OC OA 垂心 ________( 填“重心”“垂心”“内心”或“外心”).

解析

→· → =OB →· →, ∵OA OB OC

→· → -OC → )=0, ∴OB (OA

→· → =0, ∴OB CA
∴OB⊥CA,即OB为△ABC底边CA上的高所在直线.
→· → =0,OC →· → =0,故 O 是△ABC 的垂心. 同理OA BC AB
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9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ; 解 ∵(2a-3b)· (2a+b)=61,

∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61.
又∵|a|=4,|b|=3,

∴64-4a· b-27=61,∴a· b=-6. a· b -6 1 ∴cos θ= = =- , |a||b| 4×3 2 2π 又∵0≤θ≤π,∴θ= 3 .
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(2)求|a+b|; 解 |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2

=42+2×(-6)+32=13,

∴|a+b|= 13.

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→ =a,BC → =b,求△ABC 的面积. (3)若AB
2π → → 解 ∵AB与BC的夹角 θ= , 3 2π π ∴∠ABC=π- 3 =3. → |=|a|=4,|BC → |=|b|=3, 又|AB
1→ → ∴S△ABC=2|AB||BC|sin∠ABC

1 3 =2×4×3× 2 =3 3.
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10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos(A- 3 B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且 m· n=- . 5 (1)求sin A的值;

3 3 解 由 m· n=-5,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-5, 3 所以 cos A=- . 5 ? 3? 4 ? ?2 2 因为 0<A<π,所以 sin A= 1-cos A= 1-?-5? =5. ? ?
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→ 在BC → 方向上的投影. (2)若 a=4 2,b=5,求角 B 的大小及向量BA
解 a b 由正弦定理,得sin A=sin B,

4 5×5 bsin A 2 则 sin B= a = =2, 4 2

π 因为 a>b,所以 A>B,则 B=4.
由余弦定理得(4 2) =5 +c
2 2 2

? 3? ? -2×5c×?-5? ?,解得 ? ?

c=1,

2 2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=ccos B=1× 2 = 2 .
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11.已知点 A, B, C 在圆 x2+y2=1 上运动, 且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0), → +PB → +PC → |的最大值为________. 则|PA

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→ =λAB → ,AQ →= 12.在△ABC 中,A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足AP 2 → ,λ∈R.若BQ →· → =-2,则 λ=________. (1-λ)AC CP 3
解析 → =AQ → -AB → =(1-λ)AC → -AB →, BQ

→ =AP → -AC → =λAB → -AC →, CP
→· → =(λ-1)AC → 2-λAB →2 BQ CP
2 =4(λ-1)-λ=3λ-4=-2,即 λ= . 3
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13.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E →· → = 2, 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若AB AF →· → 的值是________. 2 则AE BF

解析

→· → =(AB → +BE → )· → -AB →) 依题意得AE BF (AF

→· → -AB → 2+BE →· → -BE →· → =AB AF AF AB

= 2-2+1×2-0= 2.
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14.设向量 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 定义一种向量积 a?b=(a1b1, a2b2), 1 π 已知向量 m=(2,2),n=(3,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动, → =m?OP → +n(其中 O 为坐标原 Q 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足OQ 点),则函数 y=f(x)的值域是________.

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→· → =BA →· → =1. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若AB AC BC
(1)判断△ABC的形状;



→· → =BA →· → =1, 由AB AC BC

得bc· cos A=ac· cos B,由正弦定理, 即sin Bcos A=sin Acos B, ∴sin(A-B)=0, ∴A=B,即△ABC是等腰三角形.
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(2)求边长c的值;
解 →· → =1,得 bc· 由AB AC cos A=1,

b2+c2-a2 又 bc· =1,则 b2+c2-a2=2, 2bc
又 a=b,∴c2=2,即 c= 2.

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→ +AC → |=2 2,求△ABC 的面积. (3)若|AB

2 → → 由|AB+AC|=2 2,得 2+b +2=8,

∴b=2,又 c= 2,
2 14 ∴cos A= 4 ,sin A= 4 ,

1 1 14 7 ∴S△ABC= bc· sin A= ×2× 2× = . 2 2 4 2

解析答案

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