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九年级数学同步培优竞赛详附答案 05第五讲 一元二次方程的整数整数解


明师讲义:
在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数 理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注,解含参数的一元二 次方程的整数解问题的基本策略有: 从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解; 从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△= k 2 ),通过穷举,逼近求解; 从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式 分解求解; 从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解. 注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、 奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例 1 】若关于 x 的方程 (6 ? k )(9 ? k ) x 2 ? (117?15k ) x ? 54 ? 0 的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个. 思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种 情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确.

注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件, 看是否要分类讨论. 【例 2】 已知 a 、 b 为质数且是方程 x 2 ? 13x ? c ? 0 的根,那么 A.
127 22
b a ? 的值是( a b

)

B.

125 22

C.

123 22

D.

121 22

思路点拨 由韦达定理 a 、 b 的关系式,结合整数性质求出 a 、 b 、 c 的值.

【例 3】 试确定一切有理数 r ,使得关于 x 的方程 rx2 ? (r ? 2) x ? r ?1 ? 0 有根且只有整数根.

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思路点拨 由于方 程的类型未确定,所以应分类 讨论.当 r ? 0 时,由根与系数关系得到关于 r 的两个等 式,消去 r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根.

【例4】

当 m 为整数时,关于 x 的方程 (2m ? 1) x 2 ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 是否有有理根?如果有,求出 m 的值; 如果没有,请说明理由.

思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数. 设△= (2m ? 1) 2 ? 4(2m ?1) ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? (2m ?1) 2 ? 4 ? n 2 ( n 为整数)解不定方程,讨论 m 的存在性.

注:一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△= b 2 ? 4ac 为完全平方数 是方程的 根为有理数的充要条件. 【例 5】 若关于 x 的方程 ax2 ? 2(a ? 3) x ? (a ?13) ? 0 至少有一个整数根,求非负整数 a 的值. 思路点拨 因根的表示式复杂, 从韦达定理得出的 a 的两个关系式中消去 a 也较困难, 又因 a 的次数低于 x 的次数,故可将原方程变形为关于 a 的一次方程.

学历训练 1.已知关于 x 的方程 (a ? 1) x 2 ? 2x ? a ?1 ? 0 的根都是整数,那么符合条件的整数 a 有
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2.已知方程 x 2 ? 1999x ? m ? 0 有两个质数解,则 m=



3.给出四个命题:①整系数方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)中,若△为一个完全平方数,则方程必有有理根; ②整系数方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ≠ 0) 中,若方程有有理数根,则△为完全平方数 ;③无理数系数方程
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)的根只能是无理数;④若 a 、 b 、 c 均 为奇数,则方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 没有有理数根,

其中真命题是

. 、
x2

4.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 0 ( a 为整数)的两个实数根是 x 1
x1 ? x2 =







5. 设 rn 为整数, 且 4< m<40, 方程 x 2 ? 2(2m ? 3) x ? 4m 2 ? 14m ? 8 ? 0 有两个整数根, 求 m 的值及方程的根. (山 西省竞赛题) 6.已知方程 ax2 ? (3a 2 ? 8a) x ? 2a 2 ?13a ? 15 ? 0 (a≠0)至少有一个整数根,求 a 的值. 7.求使关于 x 的方程 kx 2 ? (k ? 1) x ? k ?1 ? 0 的根都是整数的 k 值. 8.当 n 为正 整数时,关于 x 的方程 2 x 2 ? 8nx ? 10x ? n 2 ? 35n ? 76 ? 0 的两根均为质数,试解此方程. 9. 设关于 x 的二次方程 (k 2 ? 6k ? 8) x 2 ? (2k 2 ? 6k ? 4) x ? k 2 ? 4 的两根都是整数, 试求满足条件的所有实数 k 的值. 10.试求所有这样的正整数 a ,使得方程 ax2 ? 2(2a ?1) x ? 4(a ? 3) ? 0 至少有一个整数解.

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参考答案

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