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2012新课标北师大版数学同步导学课件:3.4《反证法》(选修1-2)_图文

§4 反证法

第三章 推理与证明

1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.

第三章 推理与证明

1.反证法的概念及思考过程和特点.(重点) 2.用反证法解答问题.(重点、难点)

第三章 推理与证明

1.综合法 定义 出发,利用 、 公理 、定理 及 运算法则 ,通过 演绎推理 一 步 一 步 地 接 近 要 证 明 的 结论 ,直到完成命题的证明,这种思维方法称为 综合法 . 从命题的 条件

第三章 推理与证明

2.分析法
定义:一般地,从要证明的 结论 出发,逐步寻求使它

成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个
明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理等 这种证明方法叫做 3. 综合法 分析法 和 . )为止,

分析法 称为直接证明法.

第三章 推理与证明

1.反证法 在证明数学命题时,先 假定命题结论的反面 成 立 , 定义 在这个前提下,若推出的结果与

、 公理



定理 相矛盾,或与命题中的 已知条件 相矛盾,或与假定 相矛 盾,从而说明 命题结论的反面 不 可 能 成 立 , 由 此 断 定 命题的结论 成立,这种证明方法叫作反证法. 2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以 是与已知条件、假设、定义、公理、定理、事实等矛盾.
第三章 推理与证明

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条 件使用( 原结论. A.①② C.①②③ B.②③ D.①②④ )

①结论的否定;②已知条件;③公理、定理、定义等;④

解析: 考查反证法的基本思想.

答案: C

第三章 推理与证明

1 1 1 2.设 x,y,z∈R ,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a, y z x


b,c 三数(

)

A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2

解析: 假设若 a,b,c 都小于 2,则 a+b+c<6,而 a 1 1 1 ? 1? ? 1? ? 1? +b+c=x+ +y+ +z+ =?x+x ?+?y+y? +?z+ z ?≥2+2 ? ? ? ? ? y z x ? ? ? ? ? ? ? +2=6,矛盾.∴a,b,c 都小于 2 错误, ∴a,b,c 中至少有一个不小于 2.
答案: C
第三章 推理与证明

3.用反证法证明命题“x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”

时应假设为________.
解析: =a或x=b. 答案: x=a或x=b 否定结论时,一定要全面否定x≠a且x≠b的否定为x

第三章 推理与证明

4.在不等边△ABC中,A是最小角,求证:A<60°.
证明: 假设A≥60°,

∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角),
∴B≥A≥60°,C>A≥60°,

∴A+B+C>180°,与三角形内角和等于180°矛盾,
∴假设错误,原结论成立,即A<60°.

第三章 推理与证明

第三章 推理与证明

π π 2 若 a、b、c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ , 2 3
2

π c=z -2x+ .求证:a,b,c 中至少有一个大于 0. 6
2

第三章 推理与证明

由题目可获取以下主要信息: ①a、b、c 是含有 x,y,z 的代数式; ②含有“至少”的命题需要用反证法. 解答本题可先假设命题的反面成立,再利用正确的推理 得到矛盾.

第三章 推理与证明

[证明过程] 假设 a、b、c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0, c≤0, 所以 a+b+c≤0. 而
? π? ? 2 π? ? 2 π? ? 2 ? ? ? ? a+b+c=?x -2y+2?+?y -2z+3?+?z -2x+6? ? ? ? ? ? ? ?

=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3. 所以 a+b+c>0,这与 a+b+c≤0 矛盾,故 a、b、c 中至少有一个大于 0.

第三章 推理与证明

1.已知 x,y>0,且 x+y>2. 1+x 1+y 求证: , 中至少有一个小于 2. y x

1+x 1+y 证明: 假设 , 都不小于 2. y x 1+x 1+y 即 ≥2, ≥2. y x ∵x>0,y>0,

第三章 推理与证明

∴1+x≥2y,1+y≥2x. ∴2+x+y≥2(x+y), 即 x+y≤2,与已知 x+y>2 矛盾. 1+x 1+y ∴ , 中至少有一个小于 2. y x

第三章 推理与证明

已知:一点A和平面α.
求证:经过点A只能有一条直线和平面α垂直.

第三章 推理与证明

[证明过程]

根据点A和平面α的位置关系,分两种情况证

明.
(1)如图①,点A在平面α内,假设经过点A至少有平面α的两

条垂线AB、AC,那么AB、AC是两条相交直线,它们确定一个
平面β,平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.

图①
第三章 推理与证明

因为AB⊥平面α,AC⊥平面α,a?α,所以AB⊥a,AC⊥a,

在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直,这与平面几何中
经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾. (2)如图②,点A在平面α外,假设经过点A至少有平面α的两 条垂线AB和AC(B、C为垂足),那么AB、AC是两条相交直线,它 们确定一个平面β,平面β和平面α相交于直线BC, 因为AB⊥平面α,AC⊥平面α,BC?α, 所以AB⊥BC,AC⊥BC.

第三章 推理与证明

图② 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直,这与平面几何 中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.

综上,经过一点A只能有平面α的一条垂线.

第三章 推理与证明

2.求证:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.

证明: ∵点P在直线外,
∴点P和直线a确定一个平面,设该平面为α.

在平面α内,过点P作直线b,使得b∥a,则过点P有一条直
线与a平行.

第三章 推理与证明

假设过点P还有一条直线c与a平行.

∵a∥b,a∥c,∴b∥c.
这与b、c相交于一点P矛盾,

故假设不成立,原命题正确.

第三章 推理与证明

设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2

+ab+cd≠1.

由条件不能正面证明结论,采用反证法假设结论不成立,
将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾.

第三章 推理与证明

[证明过程] 假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,

因为ad-bc=1,所以a2 +b2 +c2 +d2 +ab+cd+bc-ad=0,
即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0,

所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0,
所以a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾.

故假设不成立,所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.

第三章 推理与证明

3.已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列, 求证: a, b, c不成等差数列.

证明: 假设 a, b, c成等差数列, 则 a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b, 而 b2=ac,即 b= ac, ∴a+c+2 ac=4 ac, ∴( a- c)2=0. 即 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列.
第三章 推理与证明

1.间接证明不是从正面论证命题的真实性,而是通过证明 它的等价命题,间接地达到证明的目的,最常见的间接证明是 反证法.

第三章 推理与证明

2.间接论证的应用,有一定困难.因为在间接证明过程中,

不得不暂时离开所讨论的论题,引进许多补充的材料(如结论的
反面等),致使全部过程复杂化.但这种方法我们务必学会,因 为在学习中,时常会遇到这样的命题,当时并无直接证明它的 论据,必须用间接法来证明它的真实性.

第三章 推理与证明

1.反证法的原理 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.

反证法的主要依据是逻辑中的排中律.排中律的一般表现
形式是:或者是A,或者是非A,即在同一讨论过程中,A和非A 有一个且仅有一个是对的.不能有第三种情形出现.

第三章 推理与证明

2.反证法证题的一般步骤
(1)假设:假设所要证明的结论不成立,即假设结论的反面

成立;
(2)归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾,这是反 证法的核心,在推理论证的过程中要有意识地制造矛盾和发现 矛盾.

第三章 推理与证明

用反证法证明问题时一般叙述过程是: ①否定结论?A?B?C; ?与课本公理抵触 ? ?与已学定理不相容 ?与本题题设冲突 ②而 C 不合理? ?与临时假定违背 ?自相矛盾 ? ?与事实矛盾 ③因为结论不能与事实矛盾,故结论成立.

第三章 推理与证明

反证法可以证明的命题范围相当广泛.如:唯一性问题,
无限性问题,肯定性问题,否定性问题,存在性问题,不等式 问题,等式问题,函数问题,整除问题,几何问题等.常见的 基本题型是: (1)一些基本定理;

(2)“否定性”命题;
(3)“唯一性”命题;

(4)“必然性”命题;
(5)“至少”、“至多”命题.
第三章 推理与证明

常见的“结论词”与“反设词”归纳如下: 原结 至少有一个 至多有一个 至少有n个 论词

至多有n个

至多有(n- 至少有(n 反设 一个也没有 +1)个 至少有两个) 1)个 (不存在 词

第三章 推理与证明

原结论词 反设词

只有一个

对任意x成立 存在某个x不成立

对任意x不成立 存在某个x成立

没有或至 少有两个

原结论词 反设词

都是 不都是

一定是 不一定是

p或q 綈p且綈q

p且q 綈p或綈q

第三章 推理与证明

1.如果待证命题的相反判断有多种不同情况,需对各种不

同情况一一导出矛盾,加以否定,才能使原判断得到充分肯
定. 2.有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况,但在证明 过程中有必要进行分类,首先要求分类必须详尽无遗漏,并且 就各类一一导出矛盾.

第三章 推理与证明

3.有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内

恒有某种属性,对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛
盾,即可予以否定,从而达到证明的目的. 4.用直接法证明几何问题时,所画的图形应力求准确,但 反证法恰好相反,我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在 的图形,才便于探索导出矛盾的途径. 5.有些命题在证明过程中,可以连续运用反证法,即反证 法中套反证法.

第三章 推理与证明

◎已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明: 关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.

【错解】 证明:假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 由已知实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 1 解得-2<p<- ,而关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 的 2 根的判别式 Δ=4(p2-4). 1 1 2 ∵-2<p<- ,∴ <p <4,∴Δ<0, 2 4 即关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实根.
第三章 推理与证明

【错因】 利用反证法进行证明时,首先对所要证明的结

论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则
原命题成立.即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的 步骤进行.错解在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不 是反证法.

第三章 推理与证明

【正解】 证明:假设方程 x2-2x+5-p2=0 有实根, 则该方程根的判别式 Δ=4-4(5-p2)≥0, 解得 p≥2 或 p≤-2, 而由已知条件实数 p 满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 1 解得-2<p<- ,二者无公共部分,所以假设不成立, 2 故关于 x 的方程 x2-2x+5-p2=0 无实根.

第三章 推理与证明


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