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2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)33

2015 年高考数学模拟预测试卷(新课标)

1. 若椭圆

y2 x2 x2 y2 + =1 与双曲线 - =1(m, n, p, q 均为正数)有共同的焦点 F1, n m q p
) D.m -p
2 2

F2,P 是两曲线的一个公共点,则 PF1 ? PF2 =( A.p -m
2 2

B.p-m

C.m-p

x2 y2 2.已知椭圆 + =1 的焦点是 F1,F2,如果椭圆上一点 P 满足 PF1⊥PF2,则下面结 25 16
论正确的是( ) A.P 点有两个 C.P 点不一定存在
2

B.P 点有四个 D.P 点一定不存在

3.设抛物线 x =4y 与椭圆 为( A.3 3 ) B.4 3

x2 y2 + =1 交于点 E,F,则△OEF(O 为坐标原点)的面积 48 12

C.6 3

D.12 3

x2 y2 2 4.若双曲线 2 - 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y = b a
2bx 的焦点分成 7∶5 的两段,则此双曲线的离心率为( A. )

9 8

B.

6 37 37

C.

3 2 4

D.

3 10 10

5.若双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)上不存在点 P,使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双 a2 b2
)

曲线的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( A.( 2 ,+∞) C.(1, 2 ]
2

B.[ 2 ,+∞) D.(1, 2 )

6.已知抛物线 y =4x 的准线与双曲线

x2 2 -y =1 交于 A、B 两点,点 F 是抛物线的焦 a2
)

点,若△FAB 为直角三角形,则该双曲线的离心率为( A. 2 B. 3
2

C.2

D. 6

7. 若直线 mx+ny=4 与⊙O: x +y =4 没有交点, 则过点 P(m, n)的直线与椭圆 =1 的交点个数是( ) A.至多为 1 B.2

2

x2 y2 + 4 9

C.1

D.0

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8.椭圆 x +ky =1 的一个焦点是(0,2),则 k 的值为________. 9. 设 P 为双曲线 x -
2

2

2

y2 =1 右支上的一点, F1、 F2 是该双曲线的左、 右焦点, 若|PF1|∶ 12

|PF2|=3∶2,则∠F1PF2 的大小为________. 2 10. 已知双曲线 C1 与抛物线 C2: y =8x 有相同的焦点 F, 它们在第一象限内的交点为 M, 若双曲线 C1 的焦距为实轴长的 2 倍,则|MF|=________. 11.若 C(- 3 ,0),D( 3 ,0),M 是椭圆 最小值为________. 12.已知曲线

1 1 x2 2 +y =1 上的动点,则 + 的 4 MD MC

x2 y2 - =1(a?b≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点, a2 b2
1 1 - 的值为________. a b

且 OP ? OQ =0(O 为原点),则

13.已知△ABC 的周长为 12,顶点 A,B 的坐标分别为(-2,0),(2,0),C 为动点. (1)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (2)过原点作两条关于 y 轴对称的直线(不与坐标轴重合),使它们分别与曲线 E 交于两 点,求四点所对应的四边形的面积的最大值. 14. 已知圆 C: (x-4) +(y-m) =16(m∈N ), 直线 4x-3y-16=0 过椭圆 E:
2 2 *

x2 y2 + a2 b2

=1(a>b>0)的右焦点,且被圆 C 所截得的弦长为 (1)求 m 的值及椭圆 E 的方程;

32 ,点 A(3,1)在椭圆 E 上. 5

(2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AC ? AQ 的取值范围. 15.椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,两焦点 F1,F2 之间的距离为 2 3 ,椭圆上 第一象限内的点 P 满足 PF1⊥PF2,且△PF1F2 的面积为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若椭圆 C 的右顶点为 A,直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N, 且满足 AM⊥AN.求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标. 评卷人 得分 四、新添加的题型

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参考答案 1.C 【解析】据题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上, 即 F1,F2 在 x 轴上,∴椭圆的长半轴长为 m ,双曲线的实半轴为 ∵P 既在椭圆上,又在双曲线上, ∴据椭圆和双曲线的定义知,

p.

? PF1 ? PF2 ? 2 m ? ? PF ? PF2 ? 2 p ? ? 1
两式平方相减得 4 PF1 ? PF2 =4(m-p), ∴ PF1 ? PF2 =m-p. 2.D 【解析】设椭圆的基本量为 a,b,c,则 a=5,b=4,c=3.以 F1F2 为直径构造圆,可知圆 的半径 r=c=3<4=b,即圆与椭圆不可能有交点. 3.C

? x2 ? 4 y ? x ? ?2 3 ? ? 【解析】由 ? x 2 y 2 解得 ? .结合图形的对称性可得,△ OEF 的面积为 y ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? 48 12
1 ?4 3 ?3=6 3 . 2
4.C

b ?c b b 7 2 【解析】 y =2bx 的焦点为( , 0), 线段 F1F2 被点( , 0)分成 7∶5 的两段, 得2 = , b 2 2 5 c? 2
可得双曲线的离心率为

3 2 ,故选 C. 4

5.C 【解析】 若存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上, 此时 直线 OP 的斜率应为±1,所以只要渐近线方程 y= 于-1,即

b b x 的斜率大于 1 或 y=- x 的斜率小 a a

b >1 即可,所以离心率 e> 2 ,又双曲线的离心率 e>1,所以满足题设条件的双 a

曲线的离心率的取值范围为(1, 2 ]. 6.D 2 【解析】抛物线 y =4x 的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,设直线 x=-1 与 x 轴的交点 为 C,则|FC|=2.因为△FAB 为直角三角形,所以根据对称性可知,|AC|=|FC|=2,则 A
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点的坐标为(-1,2),代入双曲线方程得

c2 1 1 6 1 2 2 2 - 4 = 1 ,所以 a = , c = + 1 = , e = 5 5 5 a2 a2

=6,所以离心率 e= 6 ,选 D. 7.B 【解析】由题意知:

4 m2 ? n2

>2,

即 m2 ? n2 <2, ∴点 P(m,n)在椭圆

x2 y2 + =1 的内部,故所求交点个数是 2.故选 B. 4 9

8.

1 5
2

【解析】 椭圆的方程可化为 x +

y2 1 =1, 由题意知椭圆的焦点在 y 轴上, 且 c=2, 所以有 1 k k

=1 +2 =5,则 k= 9.90°

2

2

1 . 5

【解析】 易知双曲线中 a=1, b=2 3 , c= 13 . 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=2, 结合|PF1|∶|PF2|=3∶2, 解得|PF1|=6, |PF2|=4. 又因为|F1F2|=2c=2 13 , 所以有|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,所以∠F1PF2=90°. 10.5
2 2 2

x2 y2 【解析】易知抛物线的焦点为(2,0),设双曲线为 2 - 2 =1(a>0,b>0),由题意知 c= b a
2,2c=4a.则 a=1,b =c -a =3,双曲线 C1 的方程为 x -
2 2 2 2

y2 2 =1.与 y =8x 联立可解得 3

x=3,或 x=- 11.1

1 (舍去).所以 xM=3.结合抛物线的定义可得|MF|=xM+2=5. 3

x2 2 2 【解析】由椭圆 +y =1 知 c =4-1=3,∴c= 3 , 4
∴C,D 是该椭圆的两焦点,令|MC|=r1,|MD|=r2, 则 r1+r2=2a=4,

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1 1 1 1 r ?r 4 + = + = 1 2 = , MD MC r1 r2 r1r2 r1r2
2

? r1 ? r2 ? 又∵r r ≤
1 2

4



1 1 16 4 =4,∴ + = ≥1. 4 MD MC r1r2

当且仅当 r1=r2 时,上式等号成立. 故

1 1 + 的最小值为 1. MD MC

12.2 【解析】将 y=1-x 代入
2

x2 y2 - =1, a2 b2

得(b-a)x +2ax-(a+ab)=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=

a ? ab 2a ,x1x2= . a?b a?b

∴ OP ? OQ =x1x2+y1y2 =x1x2+(1-x1)(1-x2) =2x1x2-(x1+x2)+1 =

2a ? 2ab 2a - +1=0, a ?b a?b
1 1 - =2. a b

即 2a+2ab-2a+a-b=0, 即 b-a=2ab,所以

13. (1)

x2 y2 + =1(x≠±4) 16 12

(2)16 3 【解析】(1)由题意知|CA|+|CB|=12-4=8>|AB|,所以 C 的轨迹 E 为椭圆的一部分. 2 由 a=4,c=2,可得 b =12. 故曲线 E 的方程为

x2 y2 + =1(x≠±4). 16 12

(2)设两直线的方程为 y=kx 与 y=-kx(k>0). 记 y=kx 与曲线 E 在第一象限内的交点为(x0,

? x2 y 2 48 ?1 ? ? 2 y0),由 ?16 12 ,可得 x0 = . 2 3 ? 4 k ? y ? kx ?
结合图形的对称性可知:四交点对应的四边形为矩形,且其面积 S = 2x0?2y0 = 4kx0 =
2

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192k . 3 ? 4k 2
因为 k>0,所以 S=

192 3 192 ≤ =16 3 (当且仅当 k= 时取等号).故四边形 3 2 3 ? 4 k 2 ? 4k k k

面积的最大值为 16 3 .

14. (1)m=4 (2)[-12,0]

x2 y2 + =1 2 18
32 ,所以圆心 C(4,m)到直线 5

【解析】(1)因为直线 4x-3y-16=0 被圆 C 所截得的弦长为

4x-3y-16=0 的距离为 4 ? ?
2

12 ? 16 ? ? = , 5 ? 5?

2



4 ? 4 ? 3 ? m ? 16 12 = ,解得 m=4 或 m=-4(舍去). 5 5

又直线 4x-3y-16=0 过椭圆 E 的右焦点,所以椭圆 E 的右焦点 F2 的坐标为(4,0),则其左 焦点 F1 的坐标为(-4,0). 因为椭圆 E 过 A 点,所以|AF1|+|AF2|=2a, 所以 2a=5 2 + 2 =6 2 ,所以 a=3 2 ,a =18,b =2,
2 2

故椭圆 E 的方程为

x2 y2 + =1. 2 18

(2)由(1)知 C(4,4),又 A(3,1),所以 AC =(1,3),设 Q(x,y),则 AQ =(x-3,y-1), 则 AC ? AQ =x+3y-6.令 x+3y=n,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 则由 ? 18 ,消去 x 得 18y -6ny+n -18=0. 2 ?x ? 3y ? n ?
因为直线 x+3y=n 与椭圆 E 有公共点, 2 2 所以 Δ =(-6n) -4?18?(n -18)≥0, 解得-6≤n≤6,故 AC ? AQ =x+3y-6 的取值范围为[-12,0].

15. (1)

x2 2 +y =1 4

(2)见解析

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【解析】(1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 + =1(a>b>0),因为|F1F2|=2 3 ,所以 c= 3 , a2 b2
2 2 2

由 S△PF1F2=1,得|PF1||PF2|=2,又由 PF1⊥PF2,得|PF1| +|PF2| =|F1F2| =12,即(|PF1| 2 2 2 2 2 +|PF2|) -2|PF1||PF2|=12,即 4a -4=12,a =4,b =a -3=1,所以椭圆 C 的标准方程 为

x2 2 +y =1. 4

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 (2)由方程组 ? 4 ,得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, ? y ? kx ? m ?
Δ =(8km) -4(1+4k )(4m -4)>0,整理得 4k -m +1>0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-
2 2 2 2 2

4m 2 ? 4 8km , x . 1x2= 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

由 AM⊥AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0),得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 2 2 因为 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m , 2 2 所以(1+k )x1x2+(km-2)(x1+x2)+m +4=0,

4m 2 ? 4 ?8km 2 即(1+k )? +(km-2)? +m +4=0, 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

整理得:5m +16mk+12k =0, 解得 m=-2k 或 m=-

2

2

6k 2 2 ,均满足 4k -m +1>0. 5

当 m=-2k 时,直线的 l 方程为 y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾,舍去;

6k 6 6 时,直线 l 的方程为 y=k(x- ),过定点( ,0),符合题意. 5 5 5 6 故直线 l 过定点,且定点的坐标为( ,0). 5
当 m=-

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