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高中数学2.1.1指数与指数幂的运算


2.1.1 指数

问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14 会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰 减为原来的一半. 根据此规律,人们获得了生 物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系

?1? P ?? ? ? 2?

t 5730

(*)

考古学家根据(*)式可以知道,生物死亡t 年后,体内的碳14含量P的值。

一、根式

定义1:如果xn=a(n>1,且n?N*),则称x是a的n次方根. 定义2:式子n a 叫做根式,n叫做根指数, 叫做 被开方数

a

填空: (1)25的平方根等于_________________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)16的四次方根等于_______________ (5)a6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________

性质: (1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数. (2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,它们 互为相反数. (3)负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)

(
5

n

a)

n

?a
4

?32 ? _______ 81 _______ 2 ? ________ 3 _______
10 3 12

探究
n

a ?a
n

一定成立吗?
(a ? 0) ?? a (a ? 0)

n n n a ?a 1、当 是奇数时, ?a n n 2、当 n 是偶数时, a ?| a |? ?

例1、求下列各式的值(式子中字母都大于零)

(1) (?8)
3 4

3 4

(2) (?10)

2 2

(3) (3 ? ? )

(4) (a - b) (a ? b).

定义: a

m n

二、分数指数
? n a m (a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1)

注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示; (2)根式与分式指数幂可以互化.
a 规定:(1)
?
m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1)

(2)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指 数幂没意义.

性质:(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用)

(a ? 0, r , s ? Q) a a ?a r s rs (a ? 0, r , s ? Q) (a ) ? a r r s (ab) ? a a (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r s

r ?s

例2、求值
8
2 3

;

25

1 ? 2

;

?1? ? ? ? 2?

?5

? 16? ; ? ? ? 8 1?

?

3 4

例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

(1) a ?

3

a ( 2) a ?

2

3

a

2

(3) a a

3

例4、计算下列各式(式中字母都是正数)
2
3 1 2 1

1

1

6 6 2 3 ? ? ? (1)(2a b )( 6a b ) ( 3a b

1
4

(2)(m n )

?

3 8 8

例5、计算下列各式

(1)( 25- 125) ? 25
3 4

(2)

a

2 2

a a

3

(a ? 0)

三、无理数指数幂

一般地,无理数指数幂 a ( ? >0, ? 是 无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.

?

小结
1、根式和分数指数幂的意义.

2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质

1、已知 x

?3

? 1 ? a ,求 a 2 ? 2ax ?3 ? x ?6 的值

2、计算下列各式

(1)

a ?b

1 2

1 2 1 2

a ?b
2

1 2

?

a ?b

1 2

1 2 1 2
?2

a ?b
?2

1 2

(2)(a ? 2 ? a ) ? (a ? a )
2

3、已知 x ? x
1 2

?1

? 3,求下列各式的值
? 1 2

(1) x ? x
1 2

( 2) x ? x
4、化简

?

1 2
9 4 6 3
4

(

3 6

a ) ?(
8

a )

9

4 的结果是(
2

C)

A.a

16

B. a

C. a

D. a

5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1)

D.2

6、 (|

x | ?1)

?

1 2 有意义,则 x

(

的取值范围是 (-?,1)?(1,+?)
3 x? y 2

)

7、若10x=2,10y=3,则10

2 6 ? 3 。

B 8、a , b ? ,下列各式总能成立的是( R
A .( a ?
6 6 6



2 2 8 2 2 8 ? ? ? ? ? b) a b B. ( a b ) a b

C.

4

a

4

?
?

4
1 32

b

4

? a ? b D. 10 ( a ? b ) 10 ? a ? b
? 1 16

9、化简 (1 ? 2

)(1 ? 2

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )的结果 ( A)
?

?

1 8

?

1 4

?

1 2

1 A. (1 ? 2 2
C.1 ? 2
? 1 32

?

1 32

)

?1

B.(1 ? 2

1 32

)
?

?1

1 D.1 (1 ? 2 2

1 32

)


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