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天津市高二数学必修5导学案:3.1.1 不等关系与不等式

复习 2: 用不等式表示, 某地规定本地最低生活保障金 x 不低于 400 元_________ 二、新课导学 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不 同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的, 而相等则是局部的、 相对的研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不 等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系, 这种关系是本章内容的 基础, 也是证明不等式与解不等式的主要依据因此,本节课我们有必要来研究探 讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0),若再加 m(m>0)克糖,则 糖水更甜了,为什么? 1.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥(≮) 、≤(≯) 、≠. 文 字语言 大 于 小 于 数 学符号 文 字语言 至 多 至 少 数 学符号 大 于等于 小 于等于 多于 少于 不 不 (2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R. 2.判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a= b,a<b 三种关系中有且仅有一种成 立.判断两个实数大小的充要条件是: a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 ◆ 典型例题 例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小 例 2 已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小 例 3 已知 a>b>0,m>0,试比较 b?m b 与 的大小 a a?m 例4 比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小. 例5 已知 x>y,且 y≠0,比较 x 与 1 的大小 y ◆ 动手试试 练 1 在以下各题的横线处适当的不等号: (1) ( 3 ? 2)2 (2) ( 3 ? 2)2 (3) 1 5?2 6? 2 6 ; 2 ( 6? 1 ); 1 6? 5 2 ; (4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b . 2 练 2. 下列不等式中不成立的是( A. ?1 ? 2 C. ?1 ? ?1 B. ?1 ? 2 D. ?1 ? 2 ). 练 3. 用不等式表示,某厂最低月生活费 a 不低于 300 元( A. a ? 300 C. a ? 300 B. a ? 300 D. a ? 300 ). 练 4. 已知 a ? b ? 0 , b ? 0 ,那么 a, b, ?a, ?b 的大小关系是( A. a ? b ? ? b ? ? a C. a ? ?b ? b ? ? a 练 5 比较大小: (1)(x+5) (x+7)与(x+6)2; B. a ? ? b ? ? a ? b D. a ? b ? ? a ? ?b ). (2)log 1 2 1 1 与 log 1 3 2 3 练 6 如果 x>0,比较( x -1)2 与 ( x +1)2 的大小 三、学习小结 本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系,并以此关系为依据,研 究了如何比较两个实数的大小,其具体解题步骤可归纳为: 第一步: 作差并化简, 其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论 第三步:得出结论 在某些特殊情况下(如两数均为正,且作商后易于化简)还可考虑运用作商法 比较大小它与作差法的区别在于第二步,作商法是判断商值与 1 的大小关系

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