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高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案(DOC)


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数列求通项公式的方法

一、叠加法 1.适用于: an +1 = an + f (n ) ----------这是广义的等差数列 本的两个方法之一。 2.若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) , 累加法是最基

a2 ? a1 ? f (1)


a3 ? a2 ? f (2) an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an?1 ? a1 ? ? f (k )
k ?1

n

例1

已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

例 2.已知数列

{an } 中, an ? 0 且

Sn ?

1 n (a n ? ) 2 a n ,求数列 {an } 的通项公式.

Sn ?

解:由已知

1 n 1 n (a n ? ) S n ? ( S n ? S n ?1 ? ) 2 an 得 2 S n ? S n ?1 ,

2 2 2 2 化简有 S n ? S n?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

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又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以
2 Sn ?

n(n ? 1) sn ? 2 ,又 an ? 0 ,

2n(n ? 1) 2 ,



an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

* a a 练习 1,已知数列 ? n ? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N ) 写出数列 ? n ? 的通项

公式.
2 答案: n ? n ? 1

练习 2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , 式.
an ? 4 ? 1 n

a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) n(n ? 1) ,求此数列的通项公

答案:裂项求和

练习 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 n ?n 2

解:由条件知: a n?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n

评注:已知 a1 ? a , a n?1 ? a n ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次 函数、指数函数、分式函数,求通项
an

.

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
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②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。

二、叠乘法 1.适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2.若
an ?1 a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), an a1 a2
n an ?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

a ,n ?1 ? f (n) an

两边分别相乘得,

例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解: 由条件知

n 2 a n ,求 an 。 , a n ?1 ? n ?1 3

an?1 n ? , 分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代入上式得 (n ? 1) an n ?1

个等式累乘之,即
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? n ? ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? n a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4

又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

练习 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
an ? an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2 ? a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

n ?1

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

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2 2 练习 2.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an?1 ? nan ? an?1an ? 0 ( n =1,2,

3,…) ,则它的通项公式是 a n =________. 解:已知等式可化为: (an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0
* ? a n ? 0 ( n ? N )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 ,

a n ?1 n ? n ?1 即 an

an n ?1 ? n ? n ? 2 时, a n ?1

?

an ?

a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 n ? 1 ? n ? 2 ? ? 1 ? 1 1 a n ?1 a n ?2 a1 n ?1 2 =n. = n

评注:本题是关于 a n 和 a n ?1 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求 根公式)得到 a n 与 a n ?1 的更为明显的关系式,从而求出 a n .

练习.已知 an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式.

?(a1 ? 1) -1. 答案: a n ? (n ? 1)!

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 a n?1 ? nan ? n ? 1, 转化为

a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 若令 bn ? a n ? 1,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式,进而应
用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法

适用于 an?1 ? qan ? f (n)

基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是 自然数集的一个函数。 1.形如 an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型 (1)若 c=1 时,数列{ (2)若 d=0 时,数列{
an an

}为等差数列; }为等比数列;
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(3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构 造辅助数列来求.

待定系数法:设 an?1 ? ? ? c(a n ? ? ) , 得 an?1 ? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得
(c ? 1)? ? d ,所以

??

d d d , (c ? 0) an ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1 所以有:

d ? ? d a1 ? ?a n ? ? c ? 1 ? 构成以 c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ?
an ? d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1 a n ? (a1 ? d d ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1.

所以

即:

规律:将递推关系 a n?1 ? can ? d 化为
{a n ?

a n ?1 ?

d d ? c( a n ? ) c ?1 c ? 1 ,构造成公比为 c

的等比数列

d d d } a n ?1 ? ? c n ?1 (a1 ? ) c ? 1 从而求得通项公式 1? c c ?1

例 4.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解: an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)
又 a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1
四.逐项相减法(逐差法 1) :有时我们从递推关系 a n?1 ? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 a n ? can?1 ? d ,两式相减有 an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数
n 列 {an?1 ? an } ,进而求得通项公式. an?1 ? an ? c (a2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求

得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

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例 5 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解: an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

?an?1 ? 2an ? 1
两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 )(n ? 2) ,故数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,再用累加法的…… 练习.已知数列 {an } 中,
1 a n ? ( ) n ?1 ? 1 2 答案:
n 2.形如: a n?1 ? p ? an ? q

a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 an ? , 2 2 求通项 a n 。

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

n ①若 p=1 时,即: a n?1 ? an ? q ,累加即可. n ②若 p ? 1 时,即: a n?1 ? p ? an ? q ,

求通项方法有以下三种方向: i. 两边同除以 p 数列

n ?1

.目的是把所求数列构造成等差

a n ?1
即:

p n ?1

?

an qn

?

an 1 p n 1 p bn ?1 ? bn ? ? ( ) n ?( ) bn ? n p q ,然后类型 1,累 p q ,令 p ,则

加求通项. ii.两边同除以 q
n ?1

. 目的是把所求数列构造成等差数列。

a n ?1
即:

q

n ?1

?

p an 1 ? ? q qn q ,
bn ?1 ? p 1 ? bn ? q q .然后转化为类型 5 来解,

bn ?


an q ,则可化为
n

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设 a n?1 ?? ? q
n ?1

? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数, 求出 ? , 转化为等比数列求通项.

注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。 例 6 已知数列
{an }
n?1 a 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3 ,a1 ? 1,求数列 ? n ? 的通项公式。

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n n?1 解法一 (待定系数法) : 设 an?1 ? ?13 ? ?2 (an ? ? ? 3 ), 比较系数得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 ,

则数列

?a

n

? 4 ? 3n ?1?
n?1

是首项为 a1 ? 4 ? 3

1?1

? ?5 ,公比为 2 的等比数列,

所以 an ? 4 ? 3

? ?5 ? 2n?1 ,即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1

an ?1 2 an 4 ? ? n? 2 n ?1 n ?1 n ?1 q 3 3 3 ,下面解法 解法二(两边同除以 ) : 两边同时除以 3 得: 3

略 解法三(两边同除以 p 法略
1 1 5 , a n?1 ? a n ? ( ) n ?1 ,求 an 。 3 2 6 1 1 n ?1 2 解:在 a n?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) n 3 3 b 1 1 ? 3( ) n ? 2( ) n 所以 a n ? n n 2 3 2
n ?1
n ?1

) : 两边同时除以 2

a n ?1 a n 4 3 n ? n ? ?( ) n ?1 3 2 ,下面解 2 得: 2

练习. 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

3.形如 a n?1 ? pan ? kn ? b 方法 1:逐项相减法(逐差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤: 1、确定 f (n) =kn+b

(其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ;

2、设等比数列 bn ? (an ? xn ? y) ,公比为 p 3、列出关系式 (an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ,即 bn ? pbn?1 4、比较系数求 x,y 5、解得数列 (an ? xn ? y) 的通项公式

a 6、解得数列 ? n ? 的通项公式
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例7 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n, 求通项 a n .(逐项相减法) ①

解:? , a n?1 ? 3a n ? 2n,
? n ? 2 时, a n ? 3a n?1 ? 2(n ? 1) ,

两式相减得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 .令 bn ? a n?1 ? a n ,则 bn ? 3bn?1 ? 2
n ?1 利用类型 5 的方法知 bn ? 5 ? 3 ? 2



an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ? 1



再由累加法可得
an ?

an ?

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

亦可联立



②解出

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

练习. 在数列

{ an }

中,

a1 ?

3 ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 a 2 ,求通项 n .(待定系数法)

解:原递推式可化为 2(an ? xn ? y) ? an?1 ? x(n ? 1) ? ? y 比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2bn ? bn?1
b1 ? a1 ? 6n ? 9 ? ?b ? 2 ,公比为 2 . 所以 n 是一个等比数列,首项 1 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) n 2 即: 1 a n ? 9 ? ( ) n ? 6n ? 9 2 故 . 9

1

? bn ?

9 1 n ?1 ( ) 2 2

5.形如 an?2 ? pan?1 ? qan 时将 an 作为 f (n) 求解 分析:原递推式可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( p ? ? )(an?1 ? ?an ) 的形式,比较系数可求 得 ? ,数列 ?an?1 ? ?an ? 为等比数列。 例8 已知数列
{an } {a } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 , 求数列 n 的通项公式。

解:设 an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )

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比较系数得 ? ? ?3 或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 , (取-3 结果形式可能不同,但本质 相同)

a ? 2an ? 则 an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ,则 ? n?1 是首项为 4,公比为 3 的等比数列
? an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,所以 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1
练习 1.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a2 ? 2 ,且满足 an? 2 ? 4a n?1 ? 3a n ? 0 ,求 an .
n 答案: an ? 11 ? 3 .

, 且满足 : 练习 2.已知数列 {an }的各项都是正数
求数列 {an } 的通项公式 an.
a n ?1 ?

a 0 ? 1, a n ?1 ?

1 a n (4 ? a n ), n ? N 2 ,

解:

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2 ??? 2 n ?1 2 n 22 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ( ? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 又

1 n 1 n bn ? ?( ) 2 ?1 , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 2 bn=-1,所以 .

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c n ? ?bn ,则
n

c

?

1 2 c n ?1 2 ,转化为上面类型(1)来解

五、倒数变换法

适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

例 9 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

解: 求倒数得

1 1 1 1 1 1 ? 1 1? 1 ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 , an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ? a1
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1 1 2 1 公差为 ,? ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1 2

六、对数变换法 例 10. 式.

r 适用于 a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

p>0, a n ? 0

2 ? ? ? ? 设正项数列 a n 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n?1 (n≥2).求数列 a n 的通项公

an ? 1 an ? 1 n n o g loga loga ? 1) , 2 ? 1 ? 2 log2 2 ? 1 ? 2(log 2 解: 两边取对数得: , 设 bn ? l

an 2

?1,

则 bn ? 2bn?1

?bn ? 是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ? 1 ? 1
n ?1

2 an n?1 n?1 n bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 , loga 2 ?1? 2 , log2 ? 2 ? 1 ,∴ an ? 2

?1

a ? 2 an?1 ? ? ? ? 练习 数列 a n 中, a1 ? 1 , n (n≥2) ,求数列 a n 的通项公式.
2? 2 答案: an ? 2
2?n

5 例 11 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。

两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) 比较系数得, x ? (同类型四)

lg 3 lg 3 lg 2 ,y? ? 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 ,得 由 lg a1 ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? ? 0, 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? n? ? } 是以 lg 7 ? 所以数列 {lg an ? 为首项,以 5 为公比 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 的等比数列,则 lg an ? 4 16 4 4 16 4

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lg an ? (lg 7 ? lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 4 1 16 1 4 n ?1

? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5 ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 ) ? lg(7
5 n ?1 1 4 1 16 1 n?1 4 5

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 1 1

n 4

1 16

1 4

? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) )

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4

则 an ? 7

5n?1

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



七、换元法

适用于含根式的递推关系
1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项 16
1 2 (bn ? 1) 24

例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 公式。 解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 代入 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 16 1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24

2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,
1 3 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? bn ? , 2 2 1 可化为 bn ?1 ? 3 ? (bn ? 3) , 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 为公比的等
1 1 1 1 比数列,因此 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ?3 ,即 1 ? 24 an ?( ) 2 2 2 2
n?2

1 2

? 3 ,


an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

八、逐差法 2(逐项相减法) 1、递推公式中既有 Sn ,又有 an

?S , n ? 1 分析:把已知关系通过 an ? ? 1 转化为数列 ?an ? 或 Sn 的递推关系,然 S ? S , n ? 2 n ?1 ? n
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后采用相应的方法求解。 例 13
1 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 S n ? (an ? 1)(an ? 2) , 6

且 a2 , a4 , a9 成等比数列,求数列 {an } 的通项公式。
1 解:∵对任意 n ? N ? 有 S n ? (an ? 1)(an ? 2) ⑴ 6 1 ∴当 n=1 时, S1 ? a1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6 1 当 n≥2 时, Sn ?1 ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ⑵ 6

⑴-⑵整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ∵ {an } 各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 3
2 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2 a9 成立 2 当 a1 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2 a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去

所以 an ? 3n ? 2 练习。已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ? 答案: S n ? S n?1 ? an 2、对无穷递推数列 例 14 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 的通项公式。 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
1 (a n ? 1) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 2

(an ? 1) 2 ? (an?1 ? 1) 2

an ? 2n ? 1

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an }

? (n ?1)an?1 (n ? 2)




? (n ?1)an?1 ? nan

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)
an an?1 ? ? an?1 an?2



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

?

a3 ? a2 ? [n(n ? 1) ? a2

? 4 ? 3]a2 ?

n! a2 . 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又
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知 a1 ? 1 ,则 a2 ? 1,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ? 所以, {an } 的通项公式为 an ?
n! . 2

?n ?

n! 。 2

数列的通项公式与求和
练习 1

1 数列{an }的前n项为Sn , 且a1 ? 1,an ?1 ? Sn (n ? 1, 2,3, ) 3 (1)求a2 , a3 , a4的值及数列{an }的通项公式. (2)求a2 ? a4 ? ? a2 n

练习 2

数列{an }的前n项和记为S n ,已知a1 ? 1,an ?1 ?

n?2 S n (n ? 1, 2, ).证明 : n

Sn }是等比数列; n (2) S n ?1 ? 4an (1)数列{

练习 3

1 已知数列{an }的前n项为Sn,Sn ? (an ? 1)(n ? N * ) 3 (1)求a1 , a2 ; (2)求证 : 数列{an }是等比数列.

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学生教案
1 1 已知数列{an }满足a1 ? , an ?1 ? an ? 2 , 求an . 2 n ?n

练习 4

已知数列{an }满足, a1 ? 练习 5

2 n , an ?1 ? an , 求an . 3 n ?1

5 1 1 已知数列{an }中, a1 ? , an ?1 ? an ? ( ) n ?1 ,求an . 6 3 2 练 习6

练习 7

已知数列{an }满足 : an ?

an?1 ,a1 ? 1, 求数列{an }的通项公式. 3 ? an?1 ? 1

练 8

若等比数列

{an } 的前 n 项和 S



=2n-1,则

2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an

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学生教案
练习 9
5 n (10 ? 1) 求和:5,55,555,5555,…, 9 ,…;

练习 10

1 1 ? ? 求和: 1? 4 4 ? 7

?

1 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

练习 11

已知求和:

1?

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?

练 习 12



{an }

是等差数列,

{bn }

是各项都为正数的等比数列,且

a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求

{an }



{bn }

的通项公式;

? an ? ? ? b S (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 n .
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学生教案

答案
1 4 16 a2 ? , a3 ? , a4 ? 练习 1 答案: 3 9 27 ?1    n ? 1 ? an ? ? 1 4 n ? 2 ( )  n ? 2 ? ?3 3
3 4 2n [( ) ? 1] 7 3

练习 2 证明: (1) 注意到:a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得: S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2) 由(1)知, {S(n)/n}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。 所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)=S(n)*(n+2)/n 得
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学生教案
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N 且 n>1) 又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N) 由(*)式得: S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n

练习 3 答案: 1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减: 3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以{an}为等比数列!
an ? 3 1 ? 2 n 2 3n

练习 4

累加法,答案:
an ?

练习 5

累乘法,答案:
1 1 an ? 3( ) n ? 2( ) n 2 3 待定系数法,答案: 1 an ? 3n ? 2 倒数法,答案:

练习 6

练习 7

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学生教案
4n ? 1 3

练习 8

公式法,答案:
n个

S ? 5 ? 55 ? 555 ? ? 55 练习 9 答案: n 5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? (10n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n 9 81 9 .

5 5 ? 9 (9 ? 99 ? 999 ?

n个

? 99

9)

n 练习 10 ,列项相消法,答案 3n ? 1

练习 11,,列项相消法 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1)

练习 12 答案:解: (Ⅰ)设

(错位相减法)

?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,

4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, ? 2 q ? 0 ?1 ? 4d ? q ? 13, 则依题意有 且?

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,
bn ? q
Sn ? 1 ?
n ?1

?2

n ?1

an 2n ? 1 ? n?1 2 . (Ⅱ) bn
? 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 2n ? 2 2 , ? 2n ? 3 2n ? 1 ? n?2 2 n ?3 2 ,②



3 5 ? ? 21 22



2Sn ? 2 ? 3 ?

5 ? 2

②-①得
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学生教案
Sn ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? 2 22 ? 2 2
n?2

?

2n ? 1 2n ?1 ,

? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

?

1 ? 2n ? 1 ?? 2 ? 2n?1
n?2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 2n ? 3 1 2 ? 6 ? n ?1 1? 2 2 . 1?

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