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三角函数练习题(含答案)


三角函数练习题及答案
(一)选择题 1、在直角三角形中,各边都扩大 2 倍,则锐角 A 的正弦值与余弦值都( A、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变 D、不能确定 ) )

12、在 Rt△ABC 中,∠C=900,BC=4,sinA= ,则 AC=( A、3 B、 4


C、5 )

D、6

3、若∠A 是锐角,且 sinA=,则( A、00<∠A<300


B、300<∠A<450

C、450<∠A<600 )

D、600<∠A<900

3 sin A ? tan A 4、若 cosA= ,则 4 sin A ? 2 tan A =(

A、

B、



C、



D、0 ) D、1:1: ) D、cosA=tanB )


5、在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则 a:b:c=( A、1:1:2 B、1:1:√ C、1:1:√

6、在 Rt△ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是( A、sinA=sinB B、sinA=cosB C、tanA=tanB

7.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是( A.sinB=


B.cosB=



C.tanB=



D.tanB= )



8.点(-sin60°,cos60°)关于 y 轴对称的点的坐标是(

1 3 A.( 2 , 2 )

1 3 B.(- 2 , 2 )

1 3 C.(- 2 ,- 2 )

1 3 D.(- 2 ,- 2 )

9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.某同学站在离旗 杆 12 米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为 30°,若这位同学的目 高 1.6 米,则旗杆的高度约为( A.6.9 米 B.8.5 米 ) D.12.0 米

C.10.3 米

10.王英同学从 A 地沿北偏西 60? 方向走 100m 到 B 地,再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地,此时王英同学离 A 地 ( (A) 50 3 m ) (D) 100 3 m

(B)100 m (C)150m

11、如图 1,在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 300,向高楼前进 60 米到 C 点,又测得仰角 为 450,则该高楼的高度大约为( A.82 米 B.163 米 C.52 米 ) D.70 米

12、一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40? 的方向行驶 40 海里 到达 B 地,再由 B 地向北偏西 10? 的方向行驶 40 海里到达 C 地,则 A、C 两地相距( (A)30 海里 (二)填空题 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则 sinB=_____. 2.在△ABC 中,若 BC= 2 ,AB= 7 ,AC=3,则 cosA=________. 3.在△ABC 中,AB=2,AC= 2 ,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______. 4. 如图, 如果△APB 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A' P' B,且 BP=2,那么 PP'的长为________. (不取近似值. 以下数
6? 2 4 据供解题使用:sin15°=,cos15°= )

) . (B)40 海里 (C)50 海里 (D)60 海里

5.如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的 走向是北偏东 48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接 通,则乙地所修公路的走向是南偏西___________度. 6.如图,机器人从 A 点,沿着西南方向,行了个 4 2单位,到达 B 点后观察到原点 O 在它的南偏东 60°的方向上,则原来 A 的坐标为 ___________结果保留根号) . 7.求值:sin260°+cos260°=___________. 8.在直角三角形 ABC 中,∠A= 90 ,BC=13,AB=12,那么 tan B ?
0

___________. 9.根据图中所给的数据,求得避雷针 CD 的长约为_______m(结果精 确的到 0.01m) . (可用计算器求,也可用下列参考数据 求:sin43°≈0.6802,sin40°≈0.6428,cos43°≈ 0.7341, cos40°≈0.7660, tan43°≈0.9325, tan40° ≈0.8391)

10.如图,自动扶梯 AB 段的长度为 20 米,倾斜 角 A 为α,高度 BC 为___________米(结果用含 α的三角比表示) .

11.如图 2 所示,太阳光线与地面成 60°角,一 棵倾斜的大树与地面成 30°角,这时测得大树在 地面上的影子约为 10 米,则大树的高约为________米. (保 留两个有效数字, 2 ≈1.41, 3 ≈1.73) 三、简答题: 1,计算: sin 30?? cos 60?? cot 45?? tan 60?? tan 30? 分析:可利用特殊角的三角函数值代入直接计算;
?1 2 计算: 2 (2 cos 45?? sin 90? ) ? (4 ? 4? )??( 2 ? 1)

分析:利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化,
tan B ? cos ?DAC 。 3 如图 1, 在 ?ABC 中, AD 是 BC 边上的高,

(1)求证:AC=BD
sin C ? 12 ,BC ? 12 13 ,求 AD 的长。

(2)若 图1

分析:由于 AD 是 BC 边上的高,则有 Rt?ADB 和 Rt?ADC , 这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。 4 如图 2,已知 ?ABC 中 ?C ? Rt? , AC ? m,?BAC ? ? ,求 ?ABC 的面积(用 ? 的三角 函数及 m 表示)

分析:要求 ?ABC 的面积,由图只需求出 BC。 解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.



2

5. 甲、 乙两楼相距 45 米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为 30°,观测乙楼的底部的俯角 为 45°,试求两楼的高. 6. 从 A 处观测铁塔顶部的仰角是 30°,向前走 100 米到达 B 处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.
D

分析:求 CD,可解 RtΔBCD 或 RtΔACD. 但由条件 RtΔBCD 和 RtΔACD 不可解,但 AB=100 若设 CD 为 x,我们将 AC 和 BC 都用含 x 的代数式表示再解方程即可. 30
A
0

45 B
0

7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形 ABCD ,斜坡 BC 的坡度为 ? ? 2 : 3 ,路基高 AE 为
3 m,底 CD 宽 12 m,求路基顶 AB 的宽

C

8.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高 度,已知标杆高度 CD ? 3m ,标杆与旗杆的水平距离
BD ? 15 m ,人的眼睛与地面的高度 EF ? 1.6 m ,人与标杆 CD 的水平距离 DF ? 2 m ,求旗杆 AB 的高度.

9.如图 3,沿 AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小 山的另一边同时施工。从 AC 上的一点 B,取 ?ABD ? 145? ,BD ? 500 米, ?D ? 55? 。要使 A、C、E 成一直 S 线,那么开挖点 E 离点 D 的距离是多少? 分析:在 Rt?BED 中可用三角函数求得 DE 长。

图3 10 如图 8-5, 一条渔船某时刻在位置 A 观测灯塔 B、 C(灯塔

B 距离 A 处较近), 两个灯塔恰好在北偏东 65°45′的方向上, 渔船向正东方向航行 l 小时 45 分钟之后到达 D 点, 观测到灯 塔 B 恰好在正北方向上, 已知两个灯塔之间的距离是 12 海里, 渔船的速度是 16 海里/时,又知在灯塔 C 周围 18.6 海里内 有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险?

分析:本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的 直角三角形帮助解题. 11、如图,A 城气象台测得台风中心在 A 城的正西方 300 千米处,以每小时 10 7 千米的 速度向北偏东 60? 的 BF 方向移动,距台风中心 200 千米的范围 内是受这次台风影响的区域。 问 A 城是否会受到这次台风的影响?为什么? 若 A 城受到这次台风的影响,那么 A 城遭受这次台风影响的时间 有多长?

12. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物 ABCD,且建 筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都 可直接测得,从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H,可供 使用的测量工具有皮尺、测倾器。 (1) 请你根据现有条件, 充分利用矩形建筑物, 设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案。 具体要 求如下:测量数据尽可能少,在所给图形上,画出 你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间距离,用 m 表示;如果 测 D、C 间距离,用 n 表示;如果测角,用α、β、γ 表示) 。 (2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高 度 HG(用字母表示,测倾器高度忽略不计) 。

13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务 时,发现在其所处位置 O 点的正北方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/ 小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以 26 海里/小时的速 度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问(1)需要几小时才能追上?(点 B 为追上时的位置) (2)确定巡逻艇的追赶方向(精确到 0.1? ) (如图 4)

sin 66.8? ? 0.9191, cos 66.8? ? 0.3939 sin 67.4? ? 0.9231, cos 67.4? ? 0.3846 sin 68.4? ? 0.9298, cos 68.4? ? 0.3681
参考数据: sin 70.6? ? 0.9432 , cos 70.6? ? 0.3322 图4

分析: (1)由图可知 ?ABO 是直角三角形,于是由勾股定理 可求。 (2)利用三角函数的概念即求。 14. 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且∠QPN=300,点 A 处有一所中学,AP=160m,一辆 拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶, 假 设拖拉机行驶时,周围 100m 以内会受噪声影响,那么, 学校是否会受到噪声影响?如果不受影响,请说明理由; 如果受影响,会受影响几分钟?

15、如图,在某建筑物 AC 上,挂着“多彩云南”的宣传 条幅 BC, 小明站在点 F 处, 看条幅顶端 B, 测的仰角为 30 ? , 再往条幅方向前行 20 米到达点 E 处,看到条幅顶端 B, 测的仰角为 60 ? , 求宣传条幅 BC 的长, (小明的身高不计, 结果精确到 0.1 米) 16、一艘轮船自西向东航行,在 A 处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C,继续向东航行 60 海里到达 B 处,测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方向上.之后,轮船继续向东航
9 2


5 , sin63.5° 行多少海里, 距离小岛 C 最近? (参考数据: sin21.3°≈ 25 , tan21.3°≈ C 9


≈ 10 ,tan63.5°≈2)
A
?

B

17、如图,一条小船从港口 A 出发,沿北偏东 40 方向航行 20 海里后到达 B 处,然后又沿 北偏西 30 方向航行 10 海里后到达 C 处.问此时小船距港口 A 多少海里?(结果精确到 1
?



P

C

Q
30?

B
40
?

sin 40? ≈ 0.6428 , cos 40? ≈ 0.7660 , tan 40? ≈ 0.8391 , 海里) 友情提示: 以下数据可以选用:

3 ≈1.732 .

18、如图 10,一枚运载火箭从地面 O 处发射,当火箭到达 A 点时,从地面 C 处的雷达站测 得 AC 的距离是 6km ,仰角是 43 . 1s 后,火箭到达 B 点,此时测得 BC 的距离是 6.13km , 仰角为 45.54 ,解答下列问题: (1)火箭到达 B 点时距离发射点有多远(精确到 0.01km)?
O C
图 10
? ?

B A

(2)火箭从 A 点到 B 点的平均速度是多少(精确到 0.1km/s)?

19、 经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度. 如图①,一测量员在江岸边的 A 处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向,测量员从 A 点开始沿岸边向正东方向前进 100 米到达点 C 处,测得 ?ACB ? 68 .
?

? ? ? (1)求所测之处江的宽度( sin 68 ? 0.93, cos68 ? 0.37, tan68 ? 2.48. ) ;

(2)除(1)的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.

B
图② 图① 20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示, 看台有四级高度相等的小台阶. 已知看台

高为 l.6 米,现要做一个不锈钢的扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 l 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的底端分别为 D,C),且∠DAB=66. 5°. (1)求点 D 与点 C 的高度差 DH; (2)求所用不锈钢材料的总长度 l (即 AD+AB+BC, 结果精确 到 0.1 米).(参考数据:sin66.5°≈0.92, cos66.5°≈0.40,tan66.5°≈2.30)

A

C

答案 一、选择题 1、C 7、C 二、填空题
3 1,5

2、 A 8、 A

3、 A 9、 B

4、 D 10、D

5、B 11、A

6、 B 12、B、

7 2, 3

3, 30° (4. 6 ? 2 11.35

5. 48

4 4? 3 6. (0, 3 )7. 1

5 8.12 9. 4.86

10. 20sin ?

三,解答题可求得 1. ?1; 2. 4
AD AD , Rt?ADC 中,有 cos ?DAC ? BD AC

3.解:(1)在 Rt?ABD 中,有 tan B ?

? tan B ? cos ?DAC AD AD ? ,故AC ? BD BD AC AD 12 ? (2)由 sin C ? ;可设 AD ? 12x,AC ? BD ? 13x AC 13 ?
由勾股定理求得 DC ? 5x , 即x ?
2 3 ? AD ? 12 ? BC AC
? BC ? 12 ? BD ? DC ? 18x ? 12

2 ?8 3
A 30
0

4.解:由 tan ?BAC ?

? BC ? AC tan ?BAC ? AC ? m,?BAC ? ? ? BC ? m tan ? ? S ?ABC ? 1 1 1 AC ? BC ? m ? m tan ? ? m 2 tan ? 2 2 2
BC=45
AB ? AB ? BC ? tg 45? ? 45(米) BC
E r B

450

D C

5 解过 D 做 DE⊥AB 于 E∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° 在 RtΔACB 中, tgACB ?

在 RtΔADE 中,∠ADE=30° tgADE ?

AE DE

? AE ? DE ? tg 30? ? 45 ?

3 ? 15 3 3

?CD ? AB ? AE ? 45 ? 15 3(米)

答:甲楼高 45 米,乙楼高 45 ? 15 3 米.
BC CD

6

解:设 CD=x

在 RtΔBCD 中, ctgDBC ?
AC CD

∴BC=x(用 x 表示 BC)

在 RtΔACD 中, ctgDAC ? ∵AC-BC=100 ∴ x ? 50( 3 ? 1)

? AC ? CD ? ctgDAC ? 3x
( 3 ? 1) x ? 100

3x ? x ? 100

答:铁塔高 50( 3 ? 1) 米.
? AE ? BF 在等腰梯形 ABCD 中

7、解:过 B 作 BF ? CD,垂足为 F AD=BC
?C ? ?D ? iBC ? 2 : 3

? AE=3m

? DE=4.5m ? ? BCF ? ? ADE ? CF=DE=4.5m

? AD=BC, ?C ? ?D , ?CFB ? ?DEA ? 90? ? EF=3m ? ?BFE ? ?AEF ? 90? ? BF//CD

? 四边形 ABFE 为平行四边形 ? AB=EF=3m

8 解:? CD ⊥ FB , AB ⊥ FB ,? CD ∥ AB
CG EG ?△CGE ∽△ AHE ? ? ,即: AH EH CD ? EF FD ? AH FD ? BD 3 ? 1.6 2 ? ? ,? AH ? 11.9 AH 2 ? 15
? AB ? AH ? HB ? AH ? EF ? 11.9 ? 1.6 ? 13.5(m)

A

C
E

H

9

解:?A、C、E 成一直线

F

D

B

?ABD ? 145? ,?D ? 55? , ??BED ? 90?
在 Rt?BED 中,? cos D ?
? DE ? 500 cos 55? 米,
DE , ? DE ? BD ?cos D BD

?BD ? 500米, ?D ? 55?

所以 E 离点 D 的距离是 500cos55 o 10 解:在 Rt△ABD 中, AD ? 16 ?
7 ? 28 (海里), 4

∠BAD=90°-65°45′=24°15′. ∵cos24°15′=
AD , AB

∴ AB ?

AD 28 ? ? 30.71 (海里). cos 24?15? 0.9118

AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里). 在 Rt△ACE 中,sin24°15′=
CE , AC

∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里). ∵17.54<18.6,∴有触礁危险。 【答案】有触礁危险,不能继续航行。 11、 (1)过 A 作 AC ? BF,垂足为 C 在 RT ? ABC 中 AB=300km ∠ABC=300 ∵∠1=600 ∠∴ABC=300

∴AC=150Km

A 城会受到这次台风的影响。 (2) 在 BF 上取 D,使 AD=200km.在 BF 上取 E,使 AE=AD ∵AC=150km,AD=200km √7km/h 小时。 12 解: (1)在 A 处放置测倾器,测得点 H 的仰角为α 在 B 处放置测倾器,测得点 H 的仰角为β
(2 )在Rt?HAI中,AI ? HI tan ? DI ? HI tan ? AI ? DI ? m HI ? tan ? tan ?m tan ? ? tan ?

,∴CD=50√7km =10h

∴DE=100√7km ∴v=10

∴t=

√ √

答:A 城遭遇这次台风影响 10 个

HG ? HI ? IG ?

tan ? tan ?m ?n tan ? ? tan ?

13 解:设需要 t 小时才能追上。则 AB ? 24t,OB ? 26t (1)在 Rt?AOB 中,? OB2 ? OA 2 ? AB2 ,? (26t ) 2 ? 102 ? (24t) 2 则 t ? 1(负值舍去)故 需要 1 小时才能追上。 (2)在 Rt?AOB 中? sin ?AOB ?
AB 24 t ? ? 0.9231 OB 26t
? ?AOB ? 67.4?

即巡逻艇沿北偏东 67.4? 方向追赶。 14
( 1 )在Rt?APB中,AP ? AP sin 30? ? 80 ? 100 解:

? 会影响

( 2 )在Rt?ABD中 BD ? 100 2 ? 80 2 ? 60(米)
60 ? 2 ? 2 (分钟) 1000 3.6 ? 60 ? 2 分钟

15

解: ∵∠BFC = 30 ? ,∠BEC = 60 ? ,∠BCF =

90 ?

∴∠EBF =∠EBC = 30 ?

∴BE = EF = 20

在 Rt⊿BCE 中,

BC ? BE ? sin 60? ? 20 ?

3 ? 17.3(m) 2

答:宣传条幅 BC 的长是 17.3 米。 16 解:过 C 作 AB 的垂线,交直线 AB 于点 D,得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD.
CD BD

设 BD=x 海里,在 Rt△BCD 中,tan∠CBD=

,∴CD=x ·tan63.5°.

在 Rt△ACD 中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tan∠A= ,∴CD=( 60+x ) ·tan21.3°.

∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°, 即 2 x ? ? 60 ? x ? .解得,x=15.
5 2

答:轮船继续向东航行 15 海里,距离小岛 C 最近 17 解:过 B 点作 BE ? AP ,垂足为点 E ;过 C 点分别作 CD ? AP ,

CF ? BE ,垂足分别为点 D,F ,则四边形 CDEF 为矩形. ? CD ? EF,DE ? CF , ??QBC ? 30? ,
??CBF ? 60? .? AB ? 20,?BAD ? 40? , ? AE ? AB? cos 40? ≈ 20 ? 0.7660 ≈15.3 ; BE ? AB? sin 40? ≈ 20 ? 0.6428 ? 12.856 ≈12.9 . ? BC ? 10,?CBF ? 60? , ?CF ? BC ? sin 60? ≈10 ? 0.866 ? 8.66 ≈ 8.7 ; BF ? BC ? cos 60? ? 10 ? 0.5 ? 5 .

? CD ? EF ? BE ? BF ? 12.9 ? 5 ? 7.9 . ? DE ? CF ≈ 8.7 , ? AD ? DE ? AE ≈ 15.3 ? 8.7 ? 24.0 .
? 由勾股定理,得 AC ? AD2 ? CD2 ≈ 24.02 ? 7.92 ? 638.41 ≈ 25 .

即此时小船距港口 A 约 25 海里 18 解(1)在 Rt△OCB 中, sin 45.54? ? 达 B 点时距发射点约 4.38km (2)在 Rt△OCA 中, sin 43? ?
OA CA OB OB ? 6.13 ? sin 45.54? ≈ 4.375 (km) CB

火箭到

OA ? 6 ? sin 43? ? 4.09(km)
答:火箭从 A 点到 B 点的平均速度约

v ? (OB ? OA) ? t ? (4.38 ? 4.09) ?1≈ 0.3(km / s)

为 0.3km / s 19 解:(1)在 Rt ?BAC 中, ?ACB ? 68? ,∴ AB ? AC ? tan68? ? 100? 2.48 ? 248(米)

答:所测之处江的宽度约为 248 米 (2)从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识 来解决问题的,只要正确即可得分 20 解:(1)DH=1.6×
3 =l.2(米).(2)过 B 作 BM 4

⊥AH 于 M,则四边形 BCHM 是矩形. MH=BC=1 ∴AM=AH-MH=1+1.2 一 l=l.2.

在 RtAMB 中,∵∠A=66.5° ∴AB=
AM 1.2 ? ? 3.0 cos 66.5? 0.40

(米).∴S=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米). 答:点 D 与点 C 的高度差 DH 为 l.2 米;所用不锈钢材料的总长度约为 5.0 米


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