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高一下期数学半期考试


石室天府中学 2014—2015 学年度下期高 2014 级第二次月考 数学科试题
命题人:蒋奎 审题人:李艳 田苏妹 说明:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2、此试卷上不答题,所有题的答案请一律答在答题卷上。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 60 分).

1.在等差数列 3,7,11,…中,第 5 项为( A.15 B.18 C.19

) D.23

2. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC 的面积为() A.2 B. 2 C.1 3.已知 x ? 0 ,函数 y ? A.5 B.4
1 3

D. 3
4 ? x 的最小值是( ) x

C.8

D.6

4.?ABC中,∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c.若a = 3, b = 4, ∠C = 60°,则c的值 等于( A.5 ) B.13
1 1

C. 13
1

D. 37 )

5.在等比数列中,1 = 2,q = 2, = 32 ,则项数n为( A. 3 B.4 C. 5 D. 6 6.一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm) , 则此几何体的表面积是 () A. 80 ? 16 2 cm 2 B.96 cm 2 C.
2

? ? ?96 ? 16 2 ? cm

D.112 cm 2

7.数列{an}满足1 = 1, +1 = 2 + 1( ∈ ? ),那么4 的值为( A.4 B.8 C.15
-1-

)

D.31

8.△ABC 中,如果

a b c = = ,那么△ABC 是( tan A tan B tan C

)

A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 9、若实数 a、b 满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是() A.18 B.6C.2 3 D.2 3 )
4

10.一个等比数列 {an } 的前n项和为 48,前2n项和为 60,则前3n项和为( A.63B.108 C.75 D.83

11. f ( x) ? ax 2 ? ax ? 1在 R 上满足 f ( x ) ? 0 ,则 a 的取值范围是() A.a ≤ 0B.a < ?4 C.?4 < < 0 D.?4 < ≤ 0 2 12.对于使? + 2 ≤ 成立的所有常数M中,我们把M的最小值 1 叫做? 2 + 2 的上确界,若a, b ∈ +,且a + b = 1,则? 2 ? 的上确界为( A.?3B.?4C.? 4D.? 2
1 9 1 2

)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.不等式3 +1 ≥ 1的解集是
2?1



14. 在△ABC 中,a = 3 + 1,b = 3 ? 1,c = 10,则△ABC 中最大角的度数为 ___________. 15. 已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ___________. 16.在数列 中,其前n项和 = 3 ? 2 + ,若数列 是等比数列,则常数k的 值为. 三、解答题(本大题 6 个小题,共 74 分,把答案写在答题卡的相应位置,解答应 写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)?中, a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边, 如果a、b、c 3 ° 成等差数列,∠B = 30 ,?ABC的面积为2,求 b. 18.(本小题满分 12 分)某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为 4800 立方 米, 深度为 3 米. 池底每平方米的造价为 150 元, 池壁每平方米的造价为 120 元. 设 池底长方形长为x米. (1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
-2-

(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多? 19.(本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 的前n项和为 = ? 2 + 且1 = 3. (1)求a, b的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 = ,求 的前n项和 .




20.(本小题满分 12 分)已知?ABC的三边a, b, c和面积S满足S = 2 ? ( ? )2 ,且 b + c = 8. (1)求cosA; (2)求S的最大值. 21. (本小题满分 13 分) 若 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 S1 , S2 , S4 成等比数列。 (1)求等比数列 S1 , S2 , S4 的公比; (2)若 S2 ? 4 ,求 ?an ? 的通项公式; (3)设 bn ?
m 3 ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都 20 a n a n ?1

成立的最小正整数m。 22. (本小题满分 13 分)已知等差数列 的前n项的和记为 .如果4 = ?12, 8 = ?4. (1)求数列 的通项公式; (2)求 的最小值及其相应的n的值; (3)从数列 中依次取出1 ,2 ,4 ,8 ,…, a2n-1 ,…,构成一个新的数列 , 求 的前n项和 .

-3-

高 2014 级高一下期第二次月考数学试题答案
一、选择题 1.C2.B3.B 4.C 5. C6.A 7.C 8.B 二、填空题 13. ?2 ≤ < ? 3 45.1200 15. 3 16.-3. 三、解答题 17、 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c,平方得 a2+c2=4b2-2ac, 3 1 1 ac 3 又 S△ABC= 且∠B=30° .∴由 S△ABC= acsinB= acsin30° = = ,得 ac=6,…………6 分 2 2 2 4 2 2 2 2 ∴a +c =4b -12. a2+c2-b2 b2-4 3 由余弦定理 cosB= = = , 2ac 4 2 又 b>0 解得 b=1+ 3.…………………………………………………………………………………………12 分 18、 (1)设水池的底面积为 S1,池壁面积为 S2,则有 S1=
4800 3 1

9.B10.A

11.D12.D

=1 600(平方米).

池底长方形宽为

1600

米,则 S2=6x+6×

1600

=6(x+

1600

).……………………………6 分 )≥240000+57600=297 600.

(2)设总造价为 y,则 y=150×1 600+120×6(x+ 当且仅当 x=
1600

1600

,即 x=40 时取等号.所以 x=40 时,总造价最低为 297600 元.………12 分

答:当池底设计为边长 40 米的正方形时,总造价最低,其值为 297600 元. (未作答扣 1 分) 3=2a+b, ① ? ? 19、 (1)由已知,得?3+a2=4a+b,② ? ?3+a2+a3=8a+b,③

………………………………………………………………2 分

a3 a2 2a 解得 a2=2a,a3=4a,∴公比 q= =2. = =2, a2 3 3 - ∴a=3 代入①得 b=-3.∴an=3· 2n 1.…………………………………………………………………………6 分 n n 1 2 2 n (2)bn= = n-1,Tn= (1+ + 2+…+ n-1)④ an 3· 3 2 2 2 2 n-1 n 1 11 2 T = ( + +…+ n-1 + n)⑤……………………………………………………………………………………………………8 分 2 n 3 2 22 2 2 1 1- n 2 n 1 1 1 1 1 n 1 ④-⑤得: Tn= (1+ + 2+…+ n-1- n)= ( - ) 2 3 2 2 2 3 1 2n 2 1- 2 1 1 n 2 1 n = (2- n-1- n)= (1- n- n+1),……………………………………………………10 分 3 2 3 2 2 2 4 1 n ∴Tn= (1- n- n+1).………………………………………………………………………………………………………………12 分 3 2 2 1 20、(1)∵S=a2-(b-c)2∴ bcsinA=2bc(1-cosA) 2
-4-

3 ∴sinA=4(1-cosA),0<4(1-cosA)<1∴ <cosA<1 4 15 ∵sin2A=16(1-cosA)2∴17cos2A-32cosA+15=0,得 cosA= .……………………………………6 分 17 8 1 4 4 (2)∵sinA= 1-cos2A= ∴S= bcsinA= bc= b(8-b) 17 2 17 17 4 64 64 = [-(b-4)2+16]≤ (当 b=4 时取最大值).∴S 的最大值是 .………………………………12 分 17 17 17 21. 解:∵数列{an}为等差数列,∴ S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d , ∵S1,S2,S4 成等比数列,∴S1·S4 =S22∴ a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 ,∴ 2a1d ? d 2 ∵公差 d 不等于 0,∴ d ? 2a1 ……………………………………………………………………………4 分

(1) q ?

S2 4a1 ? ? 4 ………………………………………………………………………5 分 S1 a1

(2)∵S2 =4,∴ 2a1 ? d ? 4 ,又 d ? 2a1 ,∴ a1 ? 1, d ? 2 ,∴ an ? 2n ? 1。……………8 分

(3)∵ bn ?

3 3 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ?

3 1 1 1 1 1 3 1 3 [(1 ? ) ? ( ? ) ? … ?( ? )] ? (1 ? ) ? ………………11 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 m m 3 ? , m ? 30 , 对所有 n∈N*恒成立,∴ 20 20 2
………………………………………………………………………13 分

要使 Tn ?

∵m∈N*,∴m 的最小值为 30。

22.解: (1)设公差为 d,由题意,

? 12 ? a4=- ? a1+3d=-12 d=2 an=2n-20.…………………4 分 ? ? ? 解得 ? 所以 a + 7 d =- 4 a =- 4 1 a1=-18 ? 8 ? ?
(2)由数列{an}的通项公式可知,当 n≤9 时,an<0, 当 n=10 时,an=0,当 n≥11 时,an>0. 所以当 n=9 或 n=10 时,Sn 取得最小值为 S9=S10=-90.………………………………………8 分 (3)记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,由题意可知 bn= a 2n?1 =2×2n 1-20=2n-20. 所以 Tn=b1+b2+b3+…+bn=(21-20)+(22-20)+(23-20)+…+(2n-20) =(21+22+23+…+2n)-20n=


2 ? 2 n?1 -20n=2n+1-20n-2.………………………………13 分 1? 2
-5-


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