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河北省衡水中学2012—2013学年高二下学期一调考试数学理


2012—2013 学年度第二学期第一次调研考试 高二年级数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

A. ? log 2012 2011

B.1

C. (log 2012 2011) ? 1

D. ? 1 ( )

7.设 a ? R ,若函数 y ? e ax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则 A. a ? ?

1 3

B. a ? ?

1 3

C. a ? ?3

D. a ? ?3

8. 若 a , b , c 均 为 实 数 , 则 下 面 四 个 结 论 均 是 正 确 的 : ① ab ? ba ; ② ?ab ?c ? a?bc ? ; ③ 若

ab ? bc , b ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;④若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 。
对向量 a, b , c ,用类比的思想可得到以下四个结论:① a ? b ? b ? a ;② a ? b c ? a b ? c ;③若

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

? ? ? ?

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1.在复平面上复数 ? 1 ? i ,0,3 ? 2i 所对应的点分别是 A , B ,C ,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的长为 A.5 个 B. 13
2 2

a ? b ? b ? c , b ? 0 ,则 a ? c ;④若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 。其中结论正确的有(
A.0 个 9.若 0 ? x ? B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ( C. 2x ? 3sin x D.与 x 的取值有关



?
2

,则 2 x 与 3sin x 的大小关系 B. 2x ? 3sin x



A. 2x ? 3sin x

( C. 15 D. 17 (



10.已知函数 f (x )( x ? R ) 的图像上任一点 (x 0 , y 0 ) 处的切线方程为
2 y ? y 0 ? (x 0 ? 2)( x 0 ? 1)( x ? x 0 ) ,那么函数 f (x ) 的单调增区间是

( D. ( 2,??)



2.设 a , b ? R ,那么“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? a ? b ? 1 ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件



A. [ ?1,??)

B. ( ?1,1) 和 ( 2,??)

C. ( ??,?1) 和 (1,2)

D.既不充分也不必要条件

11.用三种不同的颜色填涂如图 3 ? 3 方格中的 9 个区域,要求每行每列的三个区域都 不同色,则不同的填涂种数共有 A.6 B.12 C.24 D.48 ( )

(n ? 2)( n ? 3) (n ? N *) ,验证 n ? 1 时,左边 3.用数学归纳法证明等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 2
应取的项是 A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 ( )

12.定义域为[ a, b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上 任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等式

4.从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个 数为 A.58 B.62
3

( C.64 D.66

)

MN ? k 恒成立,则称函数 f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ?
“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 (

1 在[1,2]上 x
)

5. 已知 a ? 0 ,函数 f (x ) ? ?x ? ax 在 [1,??) 上是单调减函数,则 a 的最大值为( A.4 6. 设 曲 线 y ? x B.3
n ?1



A.[0,+∞)

C.2

D.1

B. ?

?1 ? ,?? ? ?12 ?

C. ? ?

?3 ?2

? 2 ,?? ? ?

D. ? ? 2 ,?? ?

?3 ?2

? ?

(n ? N *) 在 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 x n , 则
( )
高二数学(理科)第2页(共4页)

log 2012 x 1 ? log 2012 x 2 ? ? ? log 2012 x 2011的值为
高二数学(理科)第1页(共4页)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) ? ln( 1 ? ax ) ? x 2 (a ? 0, x ? (0,1]) (1)求函数 f (x ) 的单调递增区间; (2)若不等式 1 ? n ? ? n ln ?1 ?
2 2

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13. z 1 是复数, z 2 ? z 1 ? i z 1 (其中 z 1 表示 z 1 的共轭复数) ,已知 z 2 的实部是 ? 1 ,则 z 2 的虚部 为 。

14. 四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方 案的总数是_________.(用数字作答) 15.从如图所示的长方形区域内任取一点 M ( x , y ) ,则点 M 取自阴影部分的 概率为 。 。 22.(本小题满分 12 分)

? ?

2? ? 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围。 n?

16.如果圆柱的轴截面周长为定值 4,则圆柱体积的最大值为

17. 三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传球后,球仍回到甲手中, 则 不同的传球方式种数为 。 (用数字作答)

已知点 M (?5, 0), C (1, 0), MB ? 2 BC , P 是平面上一动点,且满足 PC ? BC ? PB ? CB , (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A( m, 2) 在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD, AE ,且 AD, AE 的斜率为 k1 , k2 满 足 k1k2 ? 2 ,试判断动直线 DE 是否过定点,并证明你的结论.

3 2 18. 已知函数 f (x ) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ? 2

2 与 x ? 1 时都取得极值,若对 x ? [?1,2] ,不 3

等式 f (x ) ? c 恒成立,则 c 的取值范围为 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题 纸的相应位置) 19.(本小题满分 10 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形 , AB ∥ CD , ∠ DAB ? 90 , PA ⊥底面 ABCD , 且
0

PA ? AD ? DC ?

1 AB ? 1 , M 是 PB 的中点. 2

P M A D B
23.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? ln( 1 ? x) (1)求函数 f(x)的单调区间;
2 2

(1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求钝 二面角 . ...A ? CM ? B 的余弦值.

(2)若当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围。
2

1 e

C

20、 (本小题满分 12 分) 已知点 Pn (an , b n ) 满足 an ?1 ? an ? b n ?1 , b n ?1 ? (1)求过点 P1 , P2 的直线 l 的方程; (2)证明:对于 n ? N * ,点 Pn 都在直线 l 上。
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bn (n ? N *) 且点 P1 的坐标为 (1,?1) 。 2 1 ? 4an


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