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高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2平面向量在物理中的应用举例课堂导学案新人教A版必修4

2.5.2 平面向量在物理中的应用举例 课堂导学 三点剖析 1.用平面向量解决物理问题 【例 1】如右图所示,在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体,绳子与铅垂方 向的夹角为 θ ,绳子所受到的拉力为 F1,求: (1)|F1|、|F2|随角 θ 的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,θ 角的取值范围. 思路分析:本题主要考查利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题. 解:(1)如右图所示,由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知:G=F1+F2. 解直角三角形得, |F1|= |G| ,|F2|=|G|·tanθ cos ? 当 θ 从 0°趋向于 90°时, |F1|、|F2|皆逐渐增大. |G| ≤2|G|, cos ? 1 得 cosθ ≥ ,又 0°≤θ <90°,∴0°≤θ ≤60°. 2 (2)令|F1|= 温馨提示 用向量知识解决相关的物理问题步骤是: (1)将物理问题抽象出数学模型, (2)用数学知识解决模型. (3)将解决的问题还原到物理问题中去. (4)在解决力的合成与分解问题时,一般用向量的平行四边形法则解决. 2.物理量关系抽象成数学模型 【例 2】一自行车以 6 m/s 的速度向北行驶,这时骑车人感觉风自正西方吹来,但站在地面 上测得风自西偏南 ? 方向吹来,试求: 6 (1)风相对于车的速度; (2)风相对于地的速度. 思路分析:本题主要考查利用向量知识解决速度的合成问题. 1 解:设 v 风车、v 车地、v 风地分别是风对车,车对地,风对地的相对速度.如右图|v 车地|=6 m/s, 方向正北,v 风车、v 风地的夹角为 ∴(1)风相对车的速度大小为 |v 风车|=|v 车地|·cot ? . 6 ? = 6 3 m/s. 6 (2)风相对于地面的速度大小为 |v 风地|= | v车地 | sin ? ? 12 m/s. 6 温馨提示 (1)解答本题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题,并建立相应的数学模 型,这也是今后能力培养的主要方面. (2)在解决速度的合成与分解问题时,一般利用向量的三角形法则. 【例 3】 已知两恒力 F1(3,4)、 F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0). 试求:(1)F1,F2 分别对质点所做的功;(2)F1,F2 的合力 F 对质点所做的功. 思路分析: 本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题 ,由于给出各分力的坐标,采用坐 标法计算,首先求出位移的坐标,代入 F·s 公式即可. 解: AB =(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W1=F1· AB =(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦); W2=F2· AB =(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). ( 2 ) W=F· AB = ( F1+F2 ) · AB = [ ( 3 , 4 ) + ( 6 , -5 ) ] · ( -13 , -15 ) = ( 9 , -1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦). 温馨提示 力对物体所做的功实际是力与位移的数量积,即 W=F·s,若用坐标运算,应当注意首 先求出位移 s 这一向量的坐标,即终点的坐标减去起点的坐标. 各个击破 类题演练 1 用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如右图,已知灯具的重量为 10 N,则每根绳 子的拉力大小是 ___________. 2 解析:因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于 60°,故每根 绳子的拉力都是 10 N. 答案:10 N 变式提升 1 如左下图,在重 300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅锤线的两侧,与铅锤线的夹角 为 30°和 60°,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小. 解:如右上图,作 OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°. 在 △OAC 中 , ∠ACO=∠BOC=60° , ∠OAC=90° , | OA |=| OC |·cos30°=150 3 (N),| AC |=| OC |·sin30°=150(N),| OB |=| AC |=150 N. 答:与铅锤线成 30°角的绳子拉力是 150 3 N,与铅锤线成 60°角的绳子的拉力是 150 N. 类题演练 2 一条河宽为 400 m,一船从 A 出发航行垂直到达河正对岸的 B 处,船速为 20 km/h,水速为 12 km/h,则船到达 B 处所需时间为____________min. 解析:如右图所示,用 v1 表示船速,v2 表示水速,v 表示船的实际航行速度. 2 2 则|v|= | v1 | ? | v 2 | ? 20 2 ? 12 2 =16 km/h, ∴t= 0.400 =0.025(h) 16 =1.5(min). 答案:1.5 变式提升 2 一艘船以 5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成 30°角,求 水流速度与船的实际速度. 解:如右图, OA 表示水流速度, OB 表示船向垂直于对岸行驶的速度, OC 表示船实际速 度,∠AOC=30°,| OB |=5 km/h. 3 ∵OACB 为矩形, ∴tan∠AOC= | AC | | OA | ? | OB | | OA | , ∴| OA |= | OB | 5 ? ? 5 3 km/h, tan?AOC tan30? | OB | =10 km/h, sin 30? ∴| OC |= ∴水流速度为 5 3 km/h, 船实际速度为 10 km/h. 类题演练 3 已知 F=(2,3)作用于一物体,使物体从 A(2,0)移动到 B(-2,3)

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