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www40666633com:【2019年整理】届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识 小题全取 考点通关 课时检测):26二次函数与幂函数_图文

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[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质

函数 特征 性质

y=x

y=x2

y=x3

1
y=x 2 y=x-1

图象

定义域 R

R

R {x|x≥0} {x|x≠0}

函数 特征

y=

性质

x

y=x2

y=

x3

y=x

1 2

y=x-1

值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}

奇偶性 单调性 公共点





奇 非奇非偶





(-∞,0]减 (0,+∞)增





(-∞,0)和 (0,+∞)减

(1,1)

二、二次函数的表示形式 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为抛物 线顶点坐标; 3.零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1、x2是 抛物线与x轴交点的横坐标.

三、二次函数的图像及其性质
[动漫演示更形象,见配套课件]

a>0

a<0

图像

定义域 值域

R ????4ac4-a b2,+∞????

R ????-∞,4ac4-a b2????

对称轴 顶点坐标

a>0 x=-2ba

a<0

????-2ba,4ac4-a b2????

奇偶性

b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数

a>0

a<0

在x∈???-∞,-2ba??? 上是 减少的 ; 单调性 在x∈???-2ba,+∞??? 上是 增加的 ;

在x∈???-∞,-2ba???上 是 增加的 ;
在x∈???-2ba,+∞???上 是 减少的;

最值

当x=-2ba时, 4ac-b2
ymin= 4a

当x=-2ba时,
4ac-b2 ymax= 4a

[小题能否全取]

1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是 ( )

A.f(x)=x2-1

B.f(x)=5x2

C.f(x)=-x2

D.f(x)=x2

解析:形如f(x)=xα的函数是幂函数,其中α是常数. 答案:D

1
2.(2011·陕西高考)函数 y=x 3 的图像是

()

1

1

解析:当 0<x<1 时,x 3 >x,当 x>1 时,x 3 <x,知只有

B 符合.

答案:B

3.(教材习题改编)设α∈ ?????-1,1,12,3????? ,则使函数y=

xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为

()

A.1,3

B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3

1
解析:在函数 y=x-1,y=x,y=x 2 ,y=x3 中,只有函

数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故 α=

1,3.

答案:A

4.(教材习题改编)已知点 M???? 33,3????在幂函数 f(x)的图象上, 则 f(x)的表达式为________. 解析:设幂函数的解析式为 y=xα,则 3=???? 33????α,得 α =-2.故 y=x-2. 答案:y=x-2

5.如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于

直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________.

解析:由题意知???-a+2 2=1, ??a+b=2,

得?????ab= =- 6. 4,

则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.

答案:5

1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会 经过第四象限,是否经过第二、三象限,要看函数的 奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定 是原点.

2.与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2+bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是?????ab>2-0,4ac<0. (2)ax2+bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是?????ab<2-0,4ac<0. [注意] 当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0 两种情况.

[例1] 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m= ____时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数?

[自主解答] ∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂 函数,
∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x-13在(0, +∞)上是减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞) 上是增函数. ∴m=-1. [答案] -1

1.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂,一般从两个方面考查:
(1)α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象 限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的 图象下降.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸; 0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选 择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键.

1.(1)如图给出4个幂函数大致的图象,则图象与函数对应

正确的是

()

1

1

A.①y=x3 ,②y=x2,③y=x2 ,④y=x-1

1
B.①y=x3,②y=x2,③y=x2 ,④y=x-1

1
C.①y=x2,②y=x3,③y=x2 ,④y=x-1

1

1

D.①y=x3 ,②y=x2 ,③y=x2,④y=x-1

解析:由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义 域为R,当x>0时,图象是向下凸的,结合选项知选B. [答案] B

(2)(2013·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是( )

A.2a>???12???a>(0.2)a C.???12???a>(0.2)a>2a

B.(0.2)a>???12???a>2a D.2a>(0.2)a>???12???a

解析:若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,

所以(0.2)a>???12???a>0.所以(0.2)a>???12???a>2a. [答案] B

[例2] 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上 是单调函数.

[自主解答] (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2- 1,由于x∈[-4,6].
所以f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 故f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a,所以 要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即 a≤-6或a≥4.故a的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).

求本例中的函数y=f(x)在区间[-4,6]上的最小值.
解:由题意f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2, 对称轴是x=-a. (1)当-a<-4时,即a>4时, f(x)min=f(-4)=16-8a+3=19-8a. (2)当-4≤-a≤6时,即-6≤a≤4时, f(x)min=f(-a)=3-a2.

(3)当-a>6时,即a<-6时, f(x)min=f(6)=36+12a+3=39+12a, 综上所述ymin=???139--a82,a,-a6>≤4,a≤4,
??39+12a,a<-6.

解决二次函数图像与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互 制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类 讨论. (2)要注意数形结合思想的应用.尤其是给定区间上 二次函数的最值问题求法.

2.(1)(2013·泰安调研)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a

在x∈[0,1]时有最大值2,则a的值为________.

(2)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能



()

解析:(1)f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当a>1时,ymax=a; 当0≤a≤1时,ymax=a2-a+1; 当a<0时,ymax=1-a. 根据已知条件?????aa> =12, 或?????0a≤2-aa≤+11,=2 或?????a1< -0a, =2, 解得a=2或a=-1.

(2)若-2ba<0,则ab>0,从而c>0,排除A,C; 若-2ba>0,则ab<0,从而c<0,可排除B,选D. 答案:(1)2或-1 (2)D

[例3] (2012·衡水月考)已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实数b的取值范围; (2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上 单调递增,求实数m的取值范围.

[自主解答] (1)存在 x∈R,f(x)<bg(x)?存在 x∈R, x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. 故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2)F(x)=x2-mx+1-m2, Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.

①当 Δ≤0,即-255≤m≤255时,

则必需???m2 ≤0, ??-25 5≤m≤2 5 5

?-2 5 5≤m≤0.

②当Δ>0,即m<- 255 或m> 255 时,设方程F(x)=0的根 为x1,x2(x1<x2).
若m2 ≥1,则x1≤0,

即???m2 ≥1,

?m≥2;

??F?0?=1-m2≤0

若m2 ≤0,则x2≤0,

即???m2 ≤0, ??F?0?=1-m2≥0

?-1≤m<-2

5

5 .

综上所述,m的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞).

二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二 次”,它们之间有着密切的联系,而二次函数又是“三 个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因 此,有关“三个二次”的问题,数形结合,密切联系图 象是探求解题思路的有效方法.

3.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)- f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,
求实数m的取值范围.

解:(1)由 f(0)=1,得 c=1.即 f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x, 所以?????2aa+=b2=,0, 解得?????ab= =-1,1. 因此,f(x)=x2-x+1.

(2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1- m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数 g(x) =x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).

[典例] 已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.

[解] 如图所示, ∵函数图像的对称轴为x=-32, (1)当t+1≤-32,即t≤-52时, h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 即h(t)=t2+5t-1???t≤-52???.

(2)当t≤-32<t+1, 即-52<t≤-32时, h(t)=f???-32???=-249. (3)当t>-32时,h(t)=f(t)=t2+3t-5.
???t2+5t-1,t≤-52, 综上可得,h(t)=???-249,-52<t≤-32,
???t2+3t-5,t>-32.

[题后悟道] 1.求二次函数在闭区间上的最值主要 有三种类型:轴定区间定(见本节例2(1))、轴动区间定 (例2的一题多变)、轴定区间动,不论哪种类型,解决的 关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对 称轴与区间的关系进行分类讨论 .

2.解答本题利用了分类讨论思想,由于区间未确定,

不能判定其对称轴x=-

3 2

是否在[t,t+1]内,从而要分类讨

论,分类讨论应遵循:

(1)不重不漏;

(2)标准要统一,层次要分明;

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地

讨论.

针对训练
已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1)在区间 [2,3]上有最大值4,最小值1,则a=________,b= ________.

解析:g(x)=a(x-1)2+1+b-a, 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数, 故?????gg??32??= =41, ??????4aa++11++b-b-a=a=14, ??????ab= =10, . 当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数, 故?????gg??32??= =14, ??????4aa++11++b-b-a=a=41, ??????ab= =- 3. 1, ∵b<1,∴a=1,b=0. 答案:1 0

教师备选题(给有能力的学生加餐)

1.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]

上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的

取值范围是

()

A.(-∞,0]

B.[2,+∞)

C.(-∞,0]∪[2,+∞)

D.[0,2]

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(九)”

解析:二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减, 则a≠0,f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1], 所以a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线x=1. 所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 答案:D

2.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],则函数的最小值g(a)
=________.
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1. 当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a 时,ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递 减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-1. 综上,g(a)=?????a-2-1,2aa,≥-1. 2<a<1, 答案:?????a-2-1,2aa,≥-1 2<a<1

3.是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域

为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求a的值;若

不存在,说明理由.

解:f(x)=(x-a)2+a-a2. 当a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,

??f?-1?=1+3a=-2, ???f?1?=1-a=2

?a=-1(舍去);

当-1≤a≤0时,

??f?a?=a-a2=-2, ???f?1?=1-a=2

?a=-1;

当0<a≤1时,?????ff??a-?=1?a=-1+a2=3a-=22, ?a不存在; 当a>1时,f(x)在[-1,1]上为减函数,

??f?-1?=1+3a=2, ???f?1?=1-a=-2

?a不存在.

综上可得,存在这样的实数a,且a=-1.

4.已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k 为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2). (1) 求f(-1),f(2.5)的值; (2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3] 上的单调性.

解:(1)f(-1)=kf(1)=-k, ∵f(0.5)=kf(2.5), ∴f(2.5)=1kf(0.5)=1k(0.5-2)×0.5=-43k. (2)∵对任意实数x,f(x)=kf(x+2), ∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=1kf(x-2). 当-2≤x<0时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2), 当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,

f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4); 当2≤x≤3时,0≤x-2≤1, f(x)=1k f(x-2)=1k(x-2)(x-4).
?k2?x+2??x+4?,-3≤x<-2, ??kx?x+2?,-2≤x<0, 故f(x)=?x?x-2?,0≤x<2, ???1k?x-2??x-4?,2≤x≤3.
∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]和[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为 减函数.


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