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2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题19坐标系与参数方程文


专题 19 坐标系与参数方程
1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的极坐标方程为
?x=2+2cos α , ? π 1 ρ sin(θ - )= ,曲线 C 的参数方程为? 6 2 ?y=2sin α . ?

(1)写出直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值. π 1 3 1 1 【解析】 :(1)∵ρ sin(θ - )= ,∴ρ ( sin θ - cos θ )= , 6 2 2 2 2 ∴ 3 1 1 y- x= ,即 x- 3y+1=0.故直线 l 的直角坐标方程是 x- 3y+1=0. 2 2 2

(2)方法一:由已知可得,曲线 C 上的点的坐标为(2+2cos α ,2sin α ),∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离 |2+2cos α -2 d= 2

?4cos(α +π )+3? ? ? 3 3sin α +1| ? ? 7
= 2

7 ≤ ,故最大距离是 . 2 2

3 3 方法二:曲线 C 是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,圆心到直线 l 的距离为 ,∴最大距离为 +2= 2 2 7 . 2
? ?x=3+2cos α , 2.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (α 为参数). ?y=-4+2sin α ?

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(-2,0),B(0,2),圆 C 上任意一点 M(x,y),求△ABM 面积的最大值.

1 x=2+ t, ? 2 ? 3.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 3 ? ?y= 2 t
1

轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cos θ . (1)将直线 l 的参数方程化为极坐标方程; (2)求直线 l 和曲线 C 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

4.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ -4sin θ .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平
? ?x=1+tcos α , 面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ?y=-1+tsin α ?

(1)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并说明理由; (2)若直线 l 和曲线 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=3
2

2,求直线 l 的斜率.

【解析】 :(1)∵ρ =2cos θ -4sin θ ,∴ρ =2ρ cos θ -4ρ sin θ , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =2x-4y, 即(x-1) +(y+2) =5. ∵直线 l 过点(1,-1),且该点与圆心间的距离为 (1-1) +(-1+2) < 5,∴直线 l 与曲线 C 相交. (2)方法一:当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 过圆心(1,-2),|AB|=2 5≠3 2,
2
2 2 2 2 2 2

则直线 l 的斜率必存在,设其方程为 y+1=k(x-1),即 kx-y-k-1=0, 1
2 2

圆心(1,-2)到直线 l 的距离 d= 斜率为±1.

= k +1

( 5) -(

3

2 2 2 ) = ,解得 k=±1,∴直线 l 的 2 2

?x=1+tcos α , ? 2 2 方法二:将? 代入(x-1) +( y+2) =5, ?y=-1+tsin α ?

得(tcos α ) +(1+tsin α ) =5, 整理得 t +2sin α ?t-4=0. 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=-2sin α ,t1t2=-4, 则|AB|=|t1-t2|= (t1+t2) -4t1t2= 4sin α +16=3 ∵α 为直线 l 的倾斜角,∴sin α =
2 2 2

2

2

2,

2 π 3π (舍去负值),则 α = 或 ,∴直线 l 的斜率为±1. 2 4 4

5.已知点 P 的直角坐标是(x,y),以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系.设点 P 的极坐标是(ρ ,θ ),点 Q 的极坐标是(ρ ,θ +θ 0),其中θ 0 是常数.设点 Q 的直角坐标是 (m,n). (1)用 x,y,θ 0 表示 m,n; π (2)若 m,n 满足 mn=1,且 θ 0= ,求点 P 的直角坐标(x,y)满足的方程. 4

6. 已知平面直角坐标系 xOy, 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 并取相同的长度单位建立极坐标系. 点 8cos θ M 的直角坐标为(-1,0),曲线 C 的极坐标方程为 ρ = . 1-cos 2θ (1)求点 M 的极坐标(ρ >0,0≤θ <2π )和曲线 C 的直角坐标方程;
3

→ → (2)过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A,B,若MA=2MB,求直线 l 的参数方程.

7.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极坐标方程 2 4 2 为ρ = ,直线 l 的极坐标方程为 ρ = . 2 1+sin θ 2sin θ +cos θ (1)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (2)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值. 2 x 4 2 2 2 2 2 【解析】 : (1)由 ρ = , 得 ρ (cos θ +2sin θ )=2, 所以 +y =1; ρ = , 2 1+sin θ 2 2sin θ +cos θ x 2 即 ρ cos θ + 2ρ sin θ =4,所以 x+ 2y=4.所以曲线 C1 的直角坐标方程为 +y =1,直线 l 的直角坐 2 标方程为 x+ 2y-4=0. (2)设 Q( 2cos θ ,sin θ ),则点 Q 到直线 l 的距离 π |2sin(θ + )-4| 4 | 2sin θ + 2cos θ -4| 2 2 3 d= = ≥ = . 3 3 3 3 π π π 当且仅当 θ + =2kπ + (k∈Z),即 θ =2kπ + (k∈Z)时取等号,所以 Q 点到直线 l 距离的最小 4 2 4 2 值为 3 3 .
2 2

4

8、在直角坐标系 xOy 中,l 是过定点 P(4,2)且倾斜角为 α 的直线 ;在极坐标系(以坐标原点 O 为极 点,以 x 轴正半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cos θ . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M,N,求|PM|+|PN|的取值范围.

3 ? ?x=-1- 2 t, 9、已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 1 ? ?y= 3+2t π 极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ =4sin(θ - ). 6 (1)求圆 C 的直角坐标方程; π (2)若 P(x,y)是直线 l 与圆面 ρ ≤4sin(θ - )的公共点,求 3x+y 的取值范围. 6 π 【解析】 :(1)因为圆 C 的极坐标方程为 ρ =4sin(θ - ), 6 π 3 1 2 所以 ρ =4ρ sin(θ - )=4ρ ( sin θ - cos θ ). 6 2 2 又 ρ =x +y ,x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ , 所以 x +y =2
2 2 2 2 2

3y-2x,
2 2

所以圆 C 的直角坐标方程为 x +y +2x-2 (2)方法一:设 z= 3x+y,

3y=0.

5

由圆 C 的方程 x +y +2x-2

2

2

3y=0? (x+1) +(y- 3) =4,

2

2

所以圆 C 的圆心是(-1, 3),半径是 2, 3 ? x =- 1 - t, ? 2 将? 代入 z= 1 ? ?y= 3+2t

3x+y 得 z=-t.

又直线 l 过 C(-1, 3),圆 C 的半径是 2,所以-2≤t≤2, 所以-2≤-t≤2, 即 3x+y 的取值范围是[-2,2]. 方法二:直线 l 的参数方程化成普通方程为 x+ 3y=2.

?x+ 3y=2, 由? ?(x+1)2+(y- 3)2=4,
解得 P1(-1- 3, 3+1),P2(-1+ 3, 3-1). π ∵P(x,y)是直线 l 与圆面 ρ ≤4sin(θ - )的公共点, 6 ∴点 P 在线段 P1P2 上, ∴ 3x+y 的最大值是 3?(-1+ 3)+( 3-1)=2, 最小值是 3?(-1- 3)+( 3+1)=-2, ∴ 3x+y 的取值范围是[-2,2]. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程是? (1)将 C1 的方程化为普通方程; π (2)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线 C2 的极坐标方程是 θ = ,求曲线 C1 与 3
? ?x=2+2cos θ , ?y=2sin θ ?

(θ 为参数).

C2 的交点的极坐标.

6

11.已知曲线 C1:?

? ?x=-2+cos ?y=1+sin ?

t,

t

(t 为参数),C2:?

? ?x=4cos θ , ?y=3sin θ ?

(θ 为参数).

(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A,B 两点,求|AB|的值. 4

12.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:ρ sin θ =2acos θ 2 ? x =-2+ t, ? 2 (a>0),已知过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为:? (t 为参数),直线 l 与曲线 C 分别 2 ? ?y=-4+ 2 t 交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 【解析】 (1)y =2a x,y =x-2.
7
2

2

2 ? x =-2+ t, ? 2 (2)直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 2 ? ?y=-4+ 2 t 代入 y =2ax,得到 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0,则有 t1+t2=2 2(4+a),t1?t2=8(4+a), ∵|MN| =|PM|?|PN|, ∴(t1-t2) =(t1+t2) -4t1?t2=t1?t2, 即 a +3a-4=0.解得 a=1 或 a=-4(舍去). 13.已知曲线 C1 的参数方程是?
? ?x=2cos φ , ? ?y=3sin φ
2 2 2 2 2 2

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针 π 次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3 (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围.
2 2 2 2

14.在以直角坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线 C1 的方程是 ρ =1,将 C1 向 上平移 1 个单位得到曲线 C2. (1)求曲线 C2 的 极坐标方程; (2)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M,N,切点为 T.求|TM|?|TN|的取值范围. 【解析】 :(1)依题,因为 ρ =x +y , 所以曲线 C1 的直角坐标方程为 x +y =1, 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 x +(y-1) =1, 又 y=ρ sin θ ,所以 ρ -2ρ sin θ =0, 即曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (2) 解法一 由题令 T(x0 , y0) , y0∈(0,1],切线 MN 的倾斜角为 θ ,所以切线 MN 的参数方程为
8
2 2 2 2 2 2 2 2

? ?x=x0+tcos θ ? ?y=y0+tsin θ ?

(t 为参数).
2

联立 C2 的直角坐标方程得,t +2(x0cos θ +y0sin θ -sin θ )t+1-2y0=0, 即由直线参数方程中 t 的几何意义可知, |TM|?|TN|=|1-2y0|,因为 1-2y0∈[-1,1),所以|TM|?|TN|∈[0,1]. 解法二 设点 T(cos α ,sin α ),则由题意可知当 α ∈(0,π )时,切线与曲线 C2 相交, π ? π? 由对称性可知,当 α ∈?0, ?时切线的倾斜角为 α + ,则切线 MN 的参数方程为 2 2 ? ?

?α +π ?=cos α -tsin α ? ?x=cos α +tcos? 2? ? ? ? π? ?α + 2 ?=sin α +tcos α ?y=sin α +tsin? ? ? ?
2

(t 为参数),

与 C2 的直角坐标方程联立,得 t -2tcos α +1-2sin α =0, 则|TM|?|TN|=|t1t2|=|1-2sin α |,

? π? 因为 α ∈?0, ?,所以|TM|?|TN|∈[0,1]. 2? ?
15.将曲线 C1:x +y =1 上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)得到曲线 C2,A 为 C1 与 x 轴正半轴的交点,直线 l 经过点 A 且倾斜角为 30°,记 l 与曲线 C1 的另一个交点为 B,与曲线 C2 在第一、 三象限的交点分别为 C,D. (1)写出曲线 C2 的普通方程及直线 l 的参数方程; (2)求|AC|-|BD|.
2 2

16.已知点 P 的直角坐标是(x,y).以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点 ,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系.设点 P 的极坐标是(ρ ,θ ),点 Q 的极坐标是(ρ ,θ +θ 0),其中 θ 0 是常数.设点 Q 的直 角坐标是(m,n).
9

(1)用 x,y,θ 0 表示 m,n; π (2)若 m,n 满足 mn=1,且 θ 0= ,求点 P 的直角坐标(x,y)满足的方程. 4 【解析】 :(1)由题意知?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ , ?

且?

? ?m=ρ cos ?θ +θ 0?, ?n=ρ sin ?θ +θ 0?, ?

所以?

?m=ρ cos θ cos θ 0-ρ sin θ ?

sin θ 0,

?n=ρ sin θ cos θ 0+ρ cos θ sin θ 0, ? ? ?m=xcos θ 0-ysin θ 0, ?n=xsin θ 0+ycos θ 0. ?

所以?

10


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