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高中数列知识点总结及练习题附答案


数列知识总结 ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ;

?S (n ? 1) ② an ? ? 1 . ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等差数列, 常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差. ⑵前 n 项和公式 S n ?
n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n( n ? 1)d . 2 2

3.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即: A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差数列; ⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 ?an ?是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ?( p 是常数)都是等差数列;

⑵在等差数列 ?an ?中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,? 为等差 数列,公差为 kd . ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是常数); Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数, a ? 0 ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;
?S ? ⑸若等差数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ,则 ? n ? 是等差数列; ?n? S a ⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S偶 ? S奇 ? nd, 偶 ? n?1 ; S奇 an

当项数为 2n ? 1(n ? N ? ) ,则 S奇 ? S偶 ? an ,

S偶 n ? 1 ? . S奇 n

等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) ,这个数列叫做等 比数 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1q n?1 , a1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ②当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? . 1? q 1? q

3.等比中项 如果 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , A , b 成等差数列 ? G 2 ? a ? b . 4.等比数列的判定方法 a ⑴定义法: n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an ⑵中项法: an?12 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 ?an ?是等比数列,则数列 ?pan ?、 ?pan ?( q ? 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 ?an ?中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,? 为等比 数列,公比为 q k . ⑶ an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等比数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比数列. 求前 n 项和 S n 一 裂项相消法: 二、分组求和

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ( n n ? 1) 1 , 2 ,3 , 4 , 的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? )?( ? )?( ? )? ?( ? )、 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n ?1 (+ 1 2+ 3+ 4+ )+ ( + + + ? ) 1 1 n 3 9 27 81 ? ? ? 1 n ?1 n ?1

三 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 求:

Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ?(2n-1)x n (x ? 1)
Sn =x ? 3x 2 ? 5x3 ? xSn =x 2 ? 3x3 ? 5x 4

? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1

? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1) ① ? (2n-5)x n-1 ? (2n-3)x n ? (2n-1)x n+1 (x ? 1) ②

①减②得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1 ?x? 2x 2 ?1 ? x n-1 ? 1? x ? ? 2n ? 1? x n+1

从而求出 S n 。 错位相减法的步骤: (1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比 q,得到②式 (3)用① ? ②,错位相减

数列 1.{an }是首项 a1 =1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an =2 005,则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 D.670 ). ).

2.在各项都为正数的等比数列{an }中,首项 a1 =3,前三项和为 21,则 a3 +a4 +a5 =( A.33 B.72 C.84 D.189 ).

3.如果 a1 ,a2 ,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1 a8 >a4 a5 B.a1 a8 <a4 a5 C.a1 +a8 <a4 +a5 D.a1 a8 =a4 a5
4

4.已知方程(x2 -2x +m)(x 2 -2x +n)=0 的四个根组成一个首项为 1 的等差数列,则 |m -n|等于( A.1 ). B. 3
4

C. 1

2

D.

3 8

5.等比数列{an }中,a2 =9,a5 =243,则{an }的前 4 项和为( A.81 B.120 C .168

). D.192
004 <0,则使前

6.若数列{an }是等差数列,首项 a1 >0,a2 003 +a2 004 >0,a2 003 ·a2 >0 成立的最大自然数 n 是( A.4 005 ). B.4 006 C.4 007

n 项和 Sn

D.4 008 ).

7.已知等差数列{an }的公差为 2,若 a1 ,a3 ,a4 成等比数列, 则 a2 =( A.-4 B.-6 C.-8
a5 S 5 = ,则 9 =( S5 a3 9

D. -10 ). D.
1 2

8.设 Sn 是等差数列{an }的前 n 项和,若 A.1 B.-1

C .2

9.已知数列-1,a1 ,a2 ,-4 成等差数列,-1,b1 ,b2 ,b3 ,-4 成等比数列,则 是( A. ).
1 2

a2 ? a1 的值 b2

B.-

1 2

C.- 或

1 2

1 2

D.

1 4

10.在等差数列{an }中,an ≠0,an -1 - a n2 +an +1 =0(n≥2),若 S2n -1 =38,则 n=( A.38 11.设 f (x )=
1 2 ? 2
x

).

B.20

C.10

D.9

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f (-5)+f (- . .

4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)的值为

12.已知等比数列{an }中,(1)若 a3 ·a4 ·a5 =8,则 a2 ·a3 ·a4 ·a5 ·a6 = (2)若 a1 +a2 =324,a3 +a4 =36,则 a5 +a6 = .

(3)若 S4 =2,S8 =6,则 a17 +a18 +a19 +a20 =
3
2

. . .

13.在 8 和 27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 14.在等差数列{an }中,3(a3 +a5 )+2(a7 +a10 +a13 )=24,则此数列前 13 项之和为 15.在等差数列{an }中,a5 =3,a6 =-2,则 a4 +a5 +…+a10 = .

16.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一 点.若用 f (n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f (4)= ;当 n>4 时,f (n)= .

17.已知数列{an }的前 n 项和 Sn =3n2 -2n,求证数列{an }成等差数列.

18.设{an }是公比为 q?的等比数列,且 a1 ,a3 ,a2 成等差数列. (1)求 q 的值;(2)设{bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,当 n≥2 时, 比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

19.数列{an }的前 n 项和记为 Sn ,已知 a1 =1,an +1 = 求证:数列{
Sn }是等比数列. n

n?2 Sn (n=1,2,3…). n

20.已知数列{an }是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,Sn 为其前 n 项和,a1 ,2a7 ,3a4 成 等差数列,求证:12S3 ,S6 ,S12 -S6 成等比数列.

1.C 解析:由题设,代入通项公式 an =a1 +(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴n=699. 2.C 解析:设等比数列{an }的公比为 q(q>0),由题意得 a1 +a2 +a3 =21, 即 a1 (1+q+q2 )=21,又 a1 =3,∴1+q+q2 =7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去),∴a3 +a4 +a5 =a1 q2 (1+q+q2 )=3×22 ×7=84. 3.B.解析:由 a1 +a8 =a4 +a5 ,∴排除 C.又 a1 ·a8 =a1 (a1 +7d)=a12 +7a1 d, ∴a4 ·a5 =(a1 +3d)(a1 +4d)=a12 +7a1 d +12d2 >a1 ·a8 . 4.C 解法 1:设 a1 = 1 ,a2 = 1 +d,a3 = 1 +2d,a4 = 1 +3d,而方程 x 2 -2x +m=0 中两根
4 4 4 4

之和为 2,x -2x +n=0 中两根之和也为 2,∴a1 +a2 +a3 +a4 =1+6d=4, ∴d= 1 ,a1 = 1 ,a4 = 7 是一个方程的两个根,a1 = 3 ,a3 = 5 是另一个方程的两个根.
2 4 4 4 4

2

∴ 7 , 15 分别为 m 或 n,∴|m -n|= 1 ,故选 C.
16 16 2

解法 2:设方程的四个根为 x 1 ,x2 ,x3 ,x4 ,且 x1 +x 2 =x3 +x 4 =2,x1 ·x 2 =m,x 3 ·x4 =n. 由等差数列的性质:若?+s=p+q,则 a?+as=ap +aq ,若设 x1 为第一项,x2 必为第四项,则 x2 = ,于是可得等差数列为 ∴m =
7 4 1 3 5 7 , , , , 4 4 4 4

7 15 1 ,n= ,∴|m-n|= . 16 16 2 a 243 5.B 解析:∵a2 =9,a5 =243, 5 =q3 = =27, a2 9

∴q=3,a1 q=9,a1 =3,

∴S4 =

3-35 240 = =120. 2 1-3

6.B 法 1:由 a2 003 +a2 004 >0,a2 003 ·a2 004 <0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数,又 a1 >0,则公差为负数,否则各项总为正数,故 a2 003 >a2 004 ,即 a2 003 >0,a2 004 <0. ∴S4 006 = ∴S4 007 =
4 006 (a1+a4 006 ) 2



4 006 (a2 003+a2 004 ) 2

>0,

4 007 4 007 ·(a1 +a4 007 )= ·2a2 004 <0,故 4 006 为 Sn >0 的最大自然数. 选 B. 2 2

解法 2:由 a1 >0,a2 003 +a2 004 >0,a2 003 ·a2 004 <0,同解法 1 的分 析得 a2 003 >0,a2 004 <0,∴S2 003 为 Sn 中的最大值. ∵Sn 是关于 n 的二次函数,如草图所示, ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小, ∴
4 007 在对称轴的右侧.根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 2
(第 6 题)

在图象中右侧零点 B 的左侧,4 007,4 008 都在其右侧,Sn >0 的最大自然数是 4 006. 7.B 解析:∵{an }是等差数列,∴a3 =a1 +4,a4 =a1 +6,

又由 a1 ,a3 ,a4 成等比数列,∴(a1 +4)2 =a1 (a1 +6),解得 a1 =-8,∴a2 =-8+2=-6.
9(a1 ? a9 ) 9 ? a5 S9 2 8.A 解析:∵ = = = 9 · 5 =1,∴选 A. 5(a1 ? a5 ) S5 5 ? a3 5 9 2

9.A 解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4 , ∴d=-1,q2 =2,∴
a2 ? a1 d = 2 =1. b2 ?q 2

10.C 解析:∵{an }为等差数列,∴ an2 =an -1 +an +1 ,∴ an2 =2an , 又 an ≠0,∴an =2,{an}为常数数列,而 an = 11. 3 2 .解析:∵f (x )=
1 , 2 ? 2
x
x

S2 n ?1 38 ,即 2n-1= =19,∴n=10. 2n ? 1 2

1 x 2 1 2 2 ∴f (1-x )= 1? x = = , 2 ? 2 2 ? 2 ? 2x 2 ? 2x 1 1 1 ( 2 ? 2x ) ? 2x 1? ? 2x 2 2 ∴f (x )+f (1-x )= + 2 x= = 2 = . 2 2 ? 2x 2 ? 2x 2 ?2 2 ? 2x
1

设 S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6), 则 S=f (6)+f (5)+…+f (0)+…+f (-4)+f (-5), ∴2S=[f (6)+f (-5)]+[f (5)+f (-4)]+…+[f (-5)+f (6)]=6 2 , ∴S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+f (5)+f (6)=3 2 . 12. (1)32; (2)4; (3)32.解析: (1)由 a3 ·a5 = a42 ,得 a4 =2,
5 ∴a2 ·a3 ·a4 ·a5 ·a6 = a4 =32. (2) ?

?a1 ? a2 ? 324 ?(a1 ? a2 )q ? 36
2

? q2 ?

1 , 9

∴a5 +a6 =(a1 +a2 )q4 =4. (3) ?
?S 4=a1+a2+a3+a4=2 ? ? q 4=2 ,∴a17 +a18 +a19 +a20 =S4 q16 =32. 4 ? S = a + a + ? ? ? + a = S + S q 8 4 4 ? 8 1 2

13.216.解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数 必与 ,
8 3
8 27 8 27 27 同号,由等比中项的中间数为 ? =6,? 插入的三个数之积为 × ×6=216. 3 2 2 2 3

14.26.解析:∵a3 +a5 =2a4 ,a7 +a13 =2a10 , ∴6(a4 +a10 )=24,a4 +a10 =4,∴S13 =
(a4+a10 ) 13? 4 13 (a1+a13 ) 13 = = =26. 2 2 2

15.-49.解析:∵d=a6 -a5 =-5,∴a4 +a5 +…+a10 = =7(a5 +2d)=-49.

7(a4+a10 ) 7(a5-d+a5+5d ) = 2 2

16.5, 1 (n+1)(n-2).解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直
2

线一定与前面已有的每条直线都相交,∴f (k )=f (k -1)+(k -1).由 f (3)=2, f (4)=f (3)+3=2+3=5,f (5)=f (4)+4=2+3+4=9, …… f (n)=f (n-1)+(n-1),相加得 f (n)=2+3+4+…+(n-1)= 1 (n+1)(n-2).
2

三、解答题 17.证明: (1)n=1 时,a1 =S1 =3-2=1, 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =3n2 -2n-[3(n-1)2 -2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an =6n-5(n∈N*). 首项 a1 =1,an -an -1 =6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an }成等差数列且 a1 =1,公差为 6. 18.解: (1)由题设 2a3 =a1 +a2 ,即 2a1 q2 =a1 +a1 q,∵a1 ≠0,∴2q2 -q-1=0,∴q=1 或- .
n(n-1) n 2+3n = . 2 2 (n- 1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn -bn =Sn -1 = >0,故 Sn >bn . 2 1 2

(2)若 q=1,则 Sn =2n+

若 q=- ,则 Sn =2n+

1 2

- n 2+9 n n(n-1) (n- 1)(10-n) 1 (- )= .当 n≥2 时,Sn -bn =Sn -1 = , 4 2 2 4

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn >bn ;当 n=10 时,Sn =bn ;当 n≥11 时,Sn <bn . 19. :∵an +1 =Sn +1 -Sn ,an +1 = 所以
n+2 Sn ,∴(n+2)Sn =n(Sn +1 -Sn ),整理得 nSn +1 =2(n+1) Sn, n

S n+1 2S S = n .故{ n }是以 2 为公比的等比数列. n+1 n n

20.证明:由 a1 ,2a7 ,3a4 成等差数列,得 4a7 =a1 +3a4 ,即 4 a1 q6 =a1 +3a1 q3 , 变形得(4q3 +1)(q3 -1)=0, ∴q3 =- 或 q3 =1(舍).
1 4

-1=

1 ; 16

a1 (1 ? q12 ) a1 (1 ? q 6 ) 1 ? q3 S S12 ? S 6 S 1? q 1 1? q 由 6 = = = ; = 12 - 1 = - 1 = 1 + q6 3 6 12a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q ) 12S3 S6 S6 16 12 1? q 1? q S ?S S 得 6 = 12 6 . ∴12S3 ,S6 ,S12 -S6 成等比数列. S6 12S3


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