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2012年 - 河北 - 全省市 - 高三 - 省市模拟(统考) - 理科 - 数学


河北省 2012 届高三模拟统考数学理试卷
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. (1)复数

3?i ? 1 ? 3i (A) i

(B) ?i

(C) 2i

(D) ? 2i

(2)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,则 f (?2) ? (A)1 (B) ?1 (C)

1 4

(D) ?

11 4

(3)已知数列 {an } 为等差数列,若 a2 ? 3 , a1 ? a6 ? 12 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? (A)27 (B)36 (C)45 (D)63

(4)已知抛物线 x2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 到抛物线焦点的距离为 (A) 10 (5)给出下列四个命题: ① ?? ? R,sin ? ? cos ? ? ?1 ③ ?? ? R,sin ? cos ? ? ② ?? ? R,sin ? ? cos ? ? ④ ?? ? R,sin ? cos ? ? (B)4 (C) 15 (D)5

3 2

1 2

3 4

其中正确命题的序号是 ①②③④ (A)①② (B)①③

(C)③④

(D)②④

(6)如图是一个容量为 200 的样本频率分布直方图,则样本数据落在范围 [13,17) 的频数为 (A)81 (7)已知椭圆 C1 : (B)36 (C)24 (D)12 共 焦

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 C2 : ? ?1 m?2 n m n

点,则椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围为 (A) (

2 ,1) 2

(B) (0,

2 ) 2
1 2

(C) (0,1)

(D) (0, )

(8)已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

?x ? 3y ?1 ? 0 ? ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 tan ?AOB 的最大值等于 ?x ?1 ? 0 ?
(A)

1 2

(B)

3 4

(C)

(9)设函数 f ( x) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? ) (A) y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, (B) y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, (C) y ? f ( x) 的最小正周期为

(| ? |?

?

4 7

(D)

9 4

? ?
2 2

2

) ,且其图象关于直线 x ? 0 对称,则

) 上为增函数 ) 上为减函数

? ? ,且在 (0, ) 上为增函数 2 4 ? ? (D) y ? f ( x) 的最小正周期为 ,且在 (0, ) 上为减函数 2 4
(10)某几何体的三视图入图所示,则此几何体对应直观图中△PAB 的面积是 (A) 7 (B)2 (C) 3 (D) 5

(11)根据如图所示程序框图,若输入 m ? 2146 , n ? 1813 ,则输出 m 的值为 (A)1 (B)37 (C)148 (D)333

?| 2 x ? 1|, x ? 2 ? (12)已知函数 f ( x) ? ? 3 ,若方程 f ( x) ? a ? 0 有三个不同的实数根,则实数 a 的取 , x?2 ? ? x ?1
值范围为

(A) (1,3)

(B) (0,3)

(C) (0, 2)

(D) (0,1)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) ( ax ? ) 的二项展开式中的常数项为 160,则实数 a=______.
6

1 x

(14)已知数列 {an } 满足 an ? 2n?1 ? 2n ?1(n ? N*) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? _______. (15)由曲线 y ? sin(

?
2

x) 与 y ? x3 在区间 [0,1] 上所围成的图形面积为______.

(16)在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,已知 AA ' ? 平面 ABC, AB ? AC ? AA ' ? 2 , BC ? 2 3 ,且 此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的表面积为_______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)设 b ? 2 3 , a ? c ? 6 ,求△ABC 的面积. (18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 ,BC ? 2 ,且侧面 PAB 是正三角形, 平面 PAB ? 平面 ABCD,E 是棱 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PD ? AC ; (Ⅱ)在棱 PA 上是否存在一点 E,使得二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ? .若存在,试求

AE 的 AP

值,若不存在,请说明理由. (19) (本小题满分 12 分) 某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试,并用茎 叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 (单位: cm) . 跳高成绩在 175cm 以上 (包括 175cm) 定义为 “合 格” ,成绩在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“不合格” .鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱, 为激励乙队队员,学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队. (Ⅰ)求甲队队员跳高成绩的中位数; (Ⅱ) 如果用分层抽样的方法从甲、 乙两队所有的运动员 中 共 抽取 5 分,则 5 人中“合格”与“不合格”的人数各为多少. (Ⅲ)若从所有“合格”运动员中选取 2 名,用 X 表示所 选 运 动员中能参加市运动会开幕式旗林队的认输, 试写出 X 的分布 列,并 求 X 的数学期望. (20) (本小题满分 12 分)

已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,过点 M (2, 4) 作圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B,直线 AB 恰好经过椭圆 T :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 与椭圆 T 相交于 P、Q 两不同点,直线 l 方程为 y ? kx ? 3 (k ? 0) ,O 为坐 标原点,求△ OPQ 面积的最大值. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? e ?
x

1 . x?a

(Ⅰ)当 a ?

1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程; 2

(Ⅱ)函数 f ( x ) 是否存在零点.若存在,求出零点的个数;若不存在,说明理由. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 的直径, 弦 BD、 CA 的延长线相交于点 E, F 为 BA 延长线上一点,且 BD ?BE ? BA?BF ,求证: (Ⅰ) EF ? FB ; (Ⅱ) ?DFB ? ?DBC ? 90? . (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 (t 为参数) 极坐标系,曲线 C 的方程为 ? ? 4cos ? ,直线 l 的方程为 ? ,直线 l 与曲 ?y ? 1 t ? ? 2
线 C 的公共点为 T. (Ⅰ)求点 T 的极坐标; (Ⅱ)过点 T 作直线 l ' , l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3| . (Ⅰ)求 x 的取值范围,使 f ( x ) 为常函数; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 0 有解,求实数 a 的取值范围.

理科数学答案 一、选择题:ABCDC,CABBA,BD 二、填空题:13, ?2 ;14, Sn ? 2n ? n2 ?1 ;15, 三、解答题: 17. 【解析】 : (Ⅰ)由正弦定理得:

2

?

?

1 ;16, 20? . 4

(2a ? c) cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C) cos B ? sin B cos C
即: 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A 在 ?ABC 中, 0 ? A ? ? ? sin A ? 0

?????2 分 ???4 分

1 ? ? cos B ? , 又0 ? B ? ?, ?B ? . 2 3

??????????6 分

(Ⅱ)由余弦定理得: 12 ? a2 ? c2 ? 2ac cos60? ? (a ? c)2 ? 3ac ?????..8 分 则 ac ? 8 ?????..10 分 ?????..12 分

1 1 3 ? S?ABC ? ac sin B ? ? 8 ? ?2 3. 2 2 2
18. 【解析】 :

取 AB 中点 H,则由 PA=PB,得 PH⊥AB,又平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所 以 PH ⊥ 平 面 ABCD . 以 H 为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 H - xyz ( 如 图 ) .则

A(1,0,0), B(?1,0,0), D(1, 2,0), C(?1, 2,0), P(0,0, 3)
(I)证明:∵ PD ? (1, 2, ? 3), AC ? (?2, 2,0) , ∴ PD ? AC ? (1, 2, ? 3) ? (?2, 2,0) ? 0 , ∴ PD ? AC ,即 PD⊥AC. (II) 假 设 在 棱 PA

???..2 分 ???..4 分

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

z
P

??? ?

??? ?

???..6 分 上 存 在 一 点 E , 不 妨 设 E

??? ? ??? ? AE =λ AP (0 ? ? ? 1) ,
则点 E 的坐标为 (1 ? ?,0, 3? ) , ???..8 分

B

C

??? ? ??? ? ∴ BE ? (2 ? ?,0, 3?), BD ? (2, 2,0)
x

H A D

y

设 n ? ( x, y, z) 是平面 EBD 的法向量,则

?

? ??? ? ? ??? ? 2?? ? x ? ? ? ? n ? BE ?n ? BE ? 0 ?(2 ? ? ) x ? 0 ? y ? 3? z ? 0 ? z ? ? 3? , ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? y ? ? 2x ? n ? BD ? ?n ? BD ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? z ? 0 ?
不妨取 x ? 3 ,则得到平面 EBD 的一个法向量 n ? ( 3, ? 6, ?

?

2??

?

).

???..10 分

又面 ABD 的法向量可以是 HP =(0,0, 要使二面角 E-BD-A 的大小等于 45°,

??? ?

3 ),

2?? ??? ? ? ( 3, ? 6, ? )(0, 0, 3) ??? ? ? HP ? n ? 0 则 cos 45 ?| cos ? HP, n ?|? ??? ? ? ? 2?? HP ? n ( 3, ? 6, ? ) ? (0, 0, 3)

?

??? ? 1 ??? ? 1 ,即 AE = AP 2 2 AE 1 ? 时,使得二面角 E-BD-A 的大小等于 45°.??..12 分 故在棱 PA 上存在点 E ,当 AP 2
可解得 ? ? 19.【解析】 (Ⅰ)中位数 ?

176 ? 178 ? 177 cm. 2 5 1 ? , 30 6

???..2 分

(Ⅱ)根据茎叶图,有“合格”12 人,“不合格”18 人, 用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是 所以选中的“合格”有 12 ? “不合格”有 18 ?

1 ? 2 人, 6

???..4 分 ???..6 分

1 ? 3 人. 6

(Ⅲ)依题意,X 的取值为 0,1, 2 .则
2 C8 28 14 P ( X =0) ? 2 ? ? , C12 66 33 1 C1 32 16 4 C8 ? ? , 2 C12 66 33

P ( X ? 1) ?

P ( X ? 2) ?

C2 6 3 4 ? ? . 2 C12 66 33

因此,X 的分布列如下: X

P

0 14 33

1 16 33

2 3 33

???..10 分

? EX ? 0 ?

14 16 3 22 2 ? 1? ? 2 ? ? ? . 33 33 33 33 3

???..12 分

备注:一个概率 1 分,表格 1 分,共 4 分 20. 【解析】 (Ⅰ)由题意:一条切线方程为: x ? 2 ,设另一条切线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 2) ..2 分 则:

| 4 ? 2k | k ?1
2

? 2 ,解得: k ?

3 3 5 ,此时切线方程为: y ? x ? 4 4 2
6 8 , y ? ,则直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2 ???.4 分 5 5

切线方程与圆方程联立得: x ? ?

令 x ? 0 ,解得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ;令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ a ? 2

故所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 4

???.6 分

? y ? kx ? 3, ? (Ⅱ)联立 ? x 2 整理得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8 3kx ? 8 ? 0 , 2 ? ? y ? 1. ?4

?

?

令 P( x1 , y1 )

, Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8 ? 8 3k , x1 x 2 ? , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k
???..8 分

? ? (8 3k ) 2 ? 32(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,即: 2k 2 ? 1 ? 0
原点到直线 l 的距离为 d ?

3 1? k 2



???..10 分

| PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ,
∴ S?OPQ

1 3 3 2k 2 ? 1 2 ? PQ ? d ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 6? 2 2 2 (1 ? 4k 2 ) 2

=2 6?

2k 2 ? 1 1 ?2 6? 2 2 2 4(2k ? 1) ? 12(2k ? 1) ? 9 4(2k 2 ? 1) ? 12 ?

9 2k 2 ? 1

?1

当且仅当 k ?

5 时取等号,则 ?OPQ 面积的最大值为 1. 2

???..12 分

21. 【解析】 : (Ⅰ) f ( x ) ? e ?
x

1 1 1 x , f '( x) ? e ? , f '(0) ? 1 ? 2 . 2 x?a a ( x ? a)
???..2 分 ???..4 分

当a ?

1 时, f '(0) ? ?3 .又 f (0) ? ?1 . 2

则 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (??, a) ? (a, ??) . 当 x ? (a, ??) 时, e ? 0,
x

1 1 ? 0 ,所以 f ( x) ? e x ? ?0. x?a x?a
???..6 分

即 f ( x ) 在区间 (a, ??) 上没有零点. 当 x ? (??, a) 时, f ( x) ? e ?
x

1 e x ( x ? a) ? 1 ? , x?a x?a
???7 分
x

令 g ( x) ? e ( x ? a) ? 1.
x

只要讨论 g ( x) 的零点即可. g '( x) ? e ( x ? a ? 1) , g '(a ? 1) ? 0 . 当 x ? (??, a ? 1) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数; 当 x ? (a ? 1, a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是增函数. 所以 g ( x) 在区间 (??, a) 最小值为 g (a ?1) ? 1 ? e
a ?1



???..9 分

显然,当 a ? 1 时, g (a ? 1) ? 0 ,所以 x ? a ? 1 是 f ( x ) 的唯一的零点; 当 a ? 1 时, g (a ?1) ? 1 ? e
a ?1

? 0 ,所以 f ( x) 没有零点;
???..12 分

a ?1 当 a ? 1 时, g (a ?1) ? 1 ? e ? 0 ,所以 f ( x ) 有两个零点.

22. 【解析】 :

(Ⅰ)证明:连接 AD ,在 ?ADB和?EFB 中

? BD ? BE ? BA ? BF ?

BD BF ? BA BE 又 ?DBA ? ?EBF ? ?ADB ∽ ?EFB ? 则 ?EFB ? ?ADB ? 90

???..2 分 ???..4 分

? EF ? FB ? (Ⅱ)在 ?ADB 中, ?ADB ? ?ADE ? 90
又 ?EFB ? 90
?

???..5 分

? E、F、A、D 四点共圆;
??DFB ? ?AEB ? 又 AB 是⊙ O 的直径,则 ?ACB ? 90 ,

???..7 分 ???..9 分

? ?DFB ? ?DBC ? ?AEB ? ?DBC ? 90?
E

???..10 分

D

F

A C

O

B

23. 【解析】 : (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? 4 x ? y ? 0 .
2 2

???..2 分

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 代入上式并整理得 t 2 ? 4 3t ? 12 ? 0 . 将? ?y ? 1 t ? ? 2 解得 t ? 2 3 .∴点 T 的坐标为 (1, 3) . ???..4 分 ? 其极坐标为 (2, ) ???5 分 3 (Ⅱ)设直线 l ? 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1),即kx ? y ? 3 ? k ? 0 . ???..7 分 由(Ⅰ)得曲线 C 是以 (2, 0) 为圆心的圆,且圆心到直线 l ? 的距离为 3 .
则,

3?k k 2 ?1

? 3 .解得 k ? 0 ,或 k ? 3 .
???..9 分

直线 l ? 的方程为 y ? 3 ,或 y ? 3x . 其极坐标方程为 ? sin ? ? 3或? ?

?
3

( ? ? R) .??????????10 分

24. 【解析】 :

? ?2 x ? 2, x ? ?3 ? (Ⅰ) f ( x ) ? x ? 1 ? | x ? 3 |? ?4, ?3 ? x ? 1 ? 2 x ? 2, x ? 1 ?
则当 x ?[?3,1] 时, f ( x) 为常函数. (Ⅱ)由(1)得函数 f ( x ) 的最小值为 4, 则实数 a 的取值范围为 a ? 4 .

???..4 分

???..5 分 ???..8 分 ?..10 分


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