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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第十章 10.2_图文

数学

北(理)

§10.2 排列与组合
第十章 计数原理

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.排列 (1)排列的定义: 从 n 个 不同 元素中取出 m (m≤n)个元素, 按照一定的 顺序 排成一列,叫作从 n 个不同元素中任 意取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元 素的 所有排列 的个数叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元
m 素的排列数,记作 An .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

n(n-1)(n-2)?(n-m+1) (3)排列数公式:Am n=



n! m n ! (4)An = n · ( n - 1)· ( n - 2)· ? · 2· 1 = .A ,这里规 n n = ?n-m?!

定 0!= 1 .

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题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.组合 (1)组合的定义:从 n 个不同 的元素中,任取出 m(m≤n)个元素
知识回顾 理清教材

为一 组 ,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
(2)组合数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所

有组合 的个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合
m 数,用 Cn 表示.

m A n (3)组合数的计算公式:Cm = = n Am m

n! m!?n-m?! =

n?n-1??n-2???n-m+1? 0 m! ,由于 0!= 1 ,所以 Cn =1 .

(4)组合数的性质:①Cm n=
基础知识 题型分类

-m m m Cn n ;②Cn+1= Cn

m-1 C + n .

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2)× (3)√ (4)√(5)√(6)√

解析

B A C
14

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 排列问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 有 4 名男生、5 名女生, 全体排成一行,问下列情形各有 多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 排列问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 有 4 名男生、5 名女生,

这是一个排列问题, 一般情况 元素开始考虑, 有时也从特殊 的位臵讨论起.对于相邻问 题,常用“捆绑法”;对于不

全体排成一行,问下列情形各有 下, 我们会从受到限制的特殊 多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端;

(2)甲、乙两人必须排在两端; 相 邻 问 题 , 常 用 “ 插 空 (3)男女相间. 法”(特殊元素后考虑);对于
“在”与“不在”的问题, 常 常使用 “ 直接法 ” 或 “ 排除 法”(特殊元素先考虑).
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题型分类·深度剖析
题型一 排列问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 有 4 名男生、5 名女生, 全体排成一行,问下列情形各有 多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.



(1)方法一

(元素分析法)

8 先排甲有 6 种,其余有 A8 种,

8 故共有 6· A8 =241 920(种)排法.

方法二

(位置分析法)

3 中间和两端有 A8 种排法, 包括 6 甲在内的其余 6 人有 A6 种排

法, 3 故共有 A8 · A6 6 = 336×720 =
241 920(种)排法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 排列问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 有 4 名男生、5 名女生, 全体排成一行,问下列情形各有 多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.

方法三

(等机会法)

9 9 个人的全排列数有 A9 种,甲

排在每一个位置的机会都是 均等的,
依题意,甲不在中间及两端的 排法总数是 6 9 A9×9=241 920(种).

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 排列问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 有 4 名男生、5 名女生,

方法四

(间接法)

全体排成一行,问下列情形各有 A9-3· 8 A8 9 8=6A8=241 920(种). 多少种不同的排法? (2)先排甲、 乙, 再排其余 7 人, (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.
2 7 共有 A2 · A7=10 080(种)排法.

(3)(插空法)
4 先排 4 名男生有 A4 种方法, 再 5 将 5 名女生插空, 有 A5 种方法,
4 5 故共有 A4 · A5=2 880(种)排法.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 排列问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 有 4 名男生、5 名女生,

全体排成一行,问下列情形各有 本题集排列多种类型于一 多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.

题, 充分体现了元素分析法 (优先考虑特殊元素)、位臵 分析法(优先考虑特殊位 臵)、直接法、间接法(排除 法 )、等机会法、插空法等 常见的解题思路.

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 用 0,1,3,5,7 五个数字,可以组成多少个没有重复 数字且 5 不在十位位置上的五位数?
解 本题可分两类: 第一类:0 在十位位置上,这时,5 不在十位位置上,所以
4 五位数的个数为 A4 =24;

第二类:0 不在十位位置上,这时,由于 5 不能排在十位位
1 置上,所以,十位位置上只能排 1,3,7 之一,这一步有 A3 =3

种方法. 又由于 0 不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一, 这一步有
1 方法 A3 =3(种).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 用 0,1,3,5,7 五个数字,可以组成多少个没有重复 数字且 5 不在十位位置上的五位数?
十位、万位上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这
3 一步有方法 A3 =6(种).

根据分步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为
1 1 3 A3 · A3· A3 =54.

由分类加法计数原理,符合条件的五位数共有 24+54=78(个).

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类

可以从特殊元素出发,考虑 直接选取或使用间接法.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类



(1)从余下的 34 种商品中,

选取 2 种有 C2 34=561(种),
∴ 某一种假货必须在内的不同 取法有 561 种.

(2)从 34 种可选商品中,选取 3
3 2 3 种,有 C3 34种或者 C35-C34=C34

=5 984(种).

∴ 某一种假货不能在内的不同 取法有 5 984 种.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类

(3)从 20 种真货中选取 1 件,从
2 15 种假货中选取 2 件有 C1 C 20 15

=2 100(种). ∴恰有 2 种假货在内的不同的取

法有 2 100 种. 1 (4)选取 2 件假货有 C20 C2 选 15种,
取 3 件假货有 C3 15种,共有选取
2 3 方式 C1 C + C 20 15 15 = 2 100+ 455

=2 555(种). ∴至少有 2 种假货在内的不同的
取法有 2 555 种.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类

(5)选取 3 件的总数有 C3 35,因此 共有选取方式
3 C3 35-C15=6 545-455

=6 090(种). ∴至多有 2 种假货在内的不同 的取法有 6 090 种.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类

组合问题常有以下两类题型变 化:

(1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些 元素的组合题型:“含”,则先 将这些元素取出,再由另外元素 补足;“不含”,则先将这些元 素剔除,再从剩下的元素中去选 取.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 组合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查, 已知其中有 15 种假货. 现 从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内, 不同的 取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内, 不同的 取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内, 不同的取法有 多少种? (4)至少有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种? (5)至多有 2 种假货在内, 不同的取法 有多少种?
基础知识 题型分类

(2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ” 含有几 个元素的组合题型: 解这类题必 须十分重视“至少”与“最 多”这两个关键词的含义,谨防 重复与漏解. 用直接法和间接法 都可以求解, 通常用直接法分类 复杂时,考虑逆向思维,用间接 法处理.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,(1)甲、乙所 选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种?(2)甲、乙所选的课 程中至少有一门不相同的选法有多少种?
解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,且甲、乙所选课

1 1 程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C2 4C2C2=24(种).

2 2 (2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C4 C4,

又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C2 4种,
2 2 因此满足条件的不同选法种数为 C2 C - C 4 4 4=30(种).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 排列与组合的综合应用问题

【例 3】

4 个不同的球,4 个不

思维启迪

解析

思维升华

同的盒子, 把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几 种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共 有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几 种放法?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 排列与组合的综合应用问题

【例 3】

4 个不同的球,4 个不

思维启迪

解析

思维升华

同的盒子, 把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几 种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共 有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几 种放法?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

把不放球的盒子先拿走,再 放球到余下的盒子中并且不 空.

题型分类·深度剖析
题型三 排列与组合的综合应用问题

【例 3】

4 个不同的球,4 个不

思维启迪

解析

思维升华



同的盒子, 把球全部放入盒内. 放球”, 先从 4 个盒子中任意取 种放法?

(1)为保证“恰有 1 个盒不

(1)恰有 1 个盒不放球,共有几 出去一个,问题转化为 “4 个
球,3 个盒子,每个盒子都要放 入球,共有几种放法?” 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球, 其余 2 个球放在另外 2 个 盒子内,由分步乘法计数原理,
2 1 2 共有 C1 C C × A 4 4 3 2=144(种).

(2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共 即把 4 个球分成 2,1,1 的三组, 有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几 种放法?
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 排列与组合的综合应用问题

【例 3】

4 个不同的球,4 个不

思维启迪

解析

思维升华

(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,

同的盒子, 把球全部放入盒内. 即另外 3 个盒子放 2 个球, 每个 (1)恰有 1 个盒不放球,共有几 盒子至多放 1 个球,也即另外 3 种放法?
个盒子中恰有一个空盒,因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与 件事,所以共有 144 种放法.
2 (3)确定 2 个空盒有 C4 种方法.

(2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共 “恰有 1 个盒不放球”是同一 有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几 种放法?
基础知识 题型分类

4 个球放进 2 个盒子可分成 (3,1)、(2,2)两类,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 排列与组合的综合应用问题

【例 3】

4 个不同的球,4 个不

思维启迪

解析

思维升华

同的盒子, 把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几 种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共 有几种放法?

第一类有序不均匀分组有
3 1 2 C4 C1A2种方法;
2 C2 C 4 2 第二类有序均匀分组有 A2 · A2 2 2 种方法. 2 2 C 4C2 2 3 1 2 故共有 C4(C 4C 1A2+ 2 · A2 2) = A2

(3)恰有 2 个盒不放球,共有几 84(种). 种放法?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 排列与组合的综合应用问题

【例 3】

4 个不同的球,4 个不

思维启迪

解析

思维升华

同的盒子, 把球全部放入盒内. 排列、组合综合题目,一般是 (1)恰有 1 个盒不放球,共有几 将符合要求的元素取出(组合) 种放法?
或进行分组, 再对取出的元素

其中分 (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共 或分好的组进行排列.

有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几 种放法?
基础知识 题型分类

组时, 要注意“平均分组”与 “ 不平均分组 ” 的差异及分 类的标准.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同 ( B ) D.54 种 的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同 一信封,则不同的放法共有 A.12 种 B.18 种 C.36 种

(2)(2013· 重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生 都至少有 1 人的选派方法种数是________.(用数字作答)
1 (1)先放 1、2 的卡片有 C3 种,再将 3、4、5、6 的卡 C2 4 片平均分成两组再放置,有 2· A2 种, A2 2 故共有 C1 C2 3· 4=18 种.

解析

(2)分三类:①选 1 名骨科医生,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同 ( B ) D.54 种 的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同 一信封,则不同的放法共有 A.12 种 B.18 种 C.36 种

(2)(2013· 重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生

590 .(用数字作答) 都至少有 1 人的选派方法种数是________
1 3 2 2 3 1 则有 C1 (C C + C C + C 3 4 5 4 5 4C5)=360(种). 1 2 2 1 ②选 2 名骨科医生,则有 C2 3(C4C5+C4C5)=210(种); 1 1 ③选 3 名骨科医生,则有 C3 C 3 4C5=20(种). ∴骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是

360+210+20=590.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列14 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:(5 分)有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法有 ________种.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列14 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:(5 分)有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法有 ________种.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

易犯错误如下:先从一等品中取 1 个,有 C1 16种取法;

再从余下的 19 个零件中任取 2 个,有 C2 19种不同取法,
2 共有 C1 16×C19=2 736 种不同取法.

上述做法使两次取的一等品有了先后顺序,导致取法重复.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列14 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:(5 分)有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法有

1 136 种. ________
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

方法一

将“至少有 1 个是一等品的不同取法”分三类:

“恰有 1 个一等品”, “恰有 2 个一等品”, “恰有 3 个一等品”,
2 2 1 3 由分类加法计数原理有 C1 16C4+C16C4+C16=1 136(种).

方法二

考虑其对立事件“3 个都是二等品”,

3 用间接法:C3 - C 20 4=1 136(种).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列14 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:(5 分)有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法有

1 136 种. ________
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大,对结果的 检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如 特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、 正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解 答组合问题时必须心思细腻, 考虑周全, 这样才能做到不重不漏, 正确解题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列14 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:(5 分)有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法有

1 136 种. ________
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解, 多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个

方 法 与 技 巧

途径考虑:
(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素;
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求, 再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数, 再减去不合要求的排列数或组合数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

2.排列、组合问题的求解方法与技巧

方 法 与 技 巧

(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步; (3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆 绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排 除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团” 排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则 反,等价条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理 分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免

失 误 与 防 范

出现重复或遗漏.

2.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰 好”等词的含义.
3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺 序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数 的重复或遗漏.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.(2012· 课标全国)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别 安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教 师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A.12 种
解析

( A ) D.8 种

B.10 种

C.9 种

分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,

共有 C1 2=2(种)选派方法;

第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C2 4= 6(种)选派方法.
由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6=12(种).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.10 名同学合影,站成了前排 3 人,后排 7 人.现摄影师要 从后排 7 人中抽 2 人站前排,其他人的相对顺序不变,则 不同调整方法的种数为
2 5 A.C7 A5 2 2 B.C7 A2 2 C.C2 A 7 5

( C )
3 D.C2 A 7 5

解析

从后排抽 2 人的方法种数是 C2 7;

2 前排的排列方法种数是 A5 .

2 由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是 C2 A 7 5.

基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目 甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排 在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( B ) A.36 种
解析

B.42 种

C.48 种

D.54 种

分两类, 第一类: 甲排在第一位时, 丙排在最后一位,

4 中间 4 个节目无限制条件,有 A4 种排法; 第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的 3 个节目中

3 选 1 个节目排在第一位有 C1 种排法,其他 3 个节目有 A 3 3种

排法, 3 故有 C1 A 3 3种排法.依分类加法计数原理,
4 3 知共有 A4 +C1 A 3 3=42(种)编排方案.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有

( C )

A.11 种

B.20 种

C.21 种

D.12 种

解析 当第一组开关有一个接通时,电路接通有
1 2 3 C1 (C + C + C 2 3 3 3)=14(种)方式;

当第一组开关有两个接通时,电路接通有
1 2 3 C2 (C + C + C 2 3 3 3)=7(种)方式.

所以共有 14+7=21(种)方式,故选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.(2012· 山东)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、 绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一 种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 A.232 B.252 C.472 D.484 ( C )

解析

分两类:第一类,含有 1 张红色卡片,共有不同

2 的取法 C1 4C12=264(种);

第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法
3 C3 - 3C 12 4=220-12=208(种).

由分类加法计数原理知不同的取法有 264+208=472(种).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.A、B、C、D、E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的

60 种. 右边(A、B 可以不相邻),那么不同的排法共有________

3 解析 可先排 C、D、E 三人,共 A5 种排法,

剩余 A、B 两人只有一种排法,
3 由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有 A5 =60(种).

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.(2013· 北京)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那
96 . 么不同的分法种数是________
解析 将 5 张参观券分成 4 堆,有 2 个连号有 4 种分法,

4 每种分法再分给 4 人,各有 A4 种分法,

4 ∴不同的分法种数共有 4A4 =96.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有 8 一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________ .

解析

2 先把两奇数捆绑在一起有 A2 种方法,再用插空法共

2 1 2 有个数 A2 · C2· A2=8.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货 架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、

24 丁两种不能排在一起,不同的排法共有________ 种.

解析

甲、乙排在一起,用捆绑法,丙、丁不排在

2 2 一起,用插空法,不同的排法共有 2A2 · A3=24(种).

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.某医院有内科医生 12 名,外科医生 8 名,现选派 5 名 参加赈灾医疗队,其中: (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少 种不同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法? (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种 选法?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可,共有 C3 18=816(种);
5 (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可,共有 C18 =8 568(种);

(3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,
4 3 共有 C1 C + C 2 18 18=6 936(种);

(4)方法一 (直接法): 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类: 一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,
4 2 3 3 2 4 1 所以共有 C1 12C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656(种).

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

方法二

(间接法):

由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选
5 5 法种数,得 C5 - (C + C 20 12 8)=14 656(种).

基础知识

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

1.(2012· 北京)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成 无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 A.24 B.18 C.12 D.6 ( B )

解析

当选 0 时,先从 1,3,5 中选 2 个数字有 C2 3种方法,

然后从选中的 2 个数字中选 1 个排在末位有 C1 2种方法,
1 剩余 1 个数字排在首位,共有 C2 3C2=6(种)方法;

当选 2 时,先从 1,3,5 中选 2 个数字有 C2 3种方法, 然后从选中的 2 个数字中选 1 个排在末位有 C1 2种方法,
1 2 其余 2 个数字全排列,共有 C2 3C2A2=12(种)方法.

依分类加法计数原理知共有 6+12=18(个)奇数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

2. 把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放 在右图中的 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上,其 中 3 盆兰花不能放在一条直线上, 则不同的 摆放方法有 A.2 680 种 C.4 920 种 B.4 320 种 D.5 140 种 ( B )

7 解析 先将 7 盆花全排列,共有 A7 种排法,

3 4 其中 3 盆兰花排在一条直线上的排法有 5A3 A4(种), 7 4 故所求摆放方法有 A7 -5A3 3A4=4 320(种).

基础知识

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

3.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅 国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水 彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有
4 5 A.A4 A5 1 4 5 C.C3 A4A5 3 4 3 B.A3 A4A5 4 5 D.A2 A 2 4A5

( D )

解析

先把 3 种品种的画看成整体,而水彩画受限制应优

先考虑,不能放在头尾,故只能放在中间, 2 又油画与国画有 A2 种放法,再考虑国画与油画本身又可以
全排列,
2 4 5 故排列的方法有 A2 A4A5种.

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

4.(2013· 浙江)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排,且 A、

480 种(用数字作答). B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________

解析 分类讨论:A、B 都在 C 的左侧,且按 C 的左侧分别有两 个、三个、四个、五个字母这 4 类计算,再考虑右侧情况.
1 3 2 4 5 所以共有 2(A2 A3 A2+C2 2· 3+C3A3· 3A4+A5)=480(种).

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

5.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,

1 080 分赴省运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________
种(用数字作答).

解析

1 2 C1 C 6 5 C4 4 先分组再分配,共有 2A2 · A4=1 080(种)分配方案. 2

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

6.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火 炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生, 最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方法

96 种(用数字作答). 共有________
4 解析 甲传第一棒,乙传最后一棒,共有 A4 种方法. 4 乙传第一棒,甲传最后一棒,共有 A4 种方法.

丙传第一棒,共有 C1 A4 2· 4种方法.
4 1 4 由分类加法计数原理得,共有 A4 +A4 A4 =96(种)方法. 4+C2·

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1

B组
2
3

专项能力提升
4

5

6

7

7.有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片,从这 8 种卡片中取出 4 张卡片排成一行,如果取出的

432 种(用 4 张卡片所标的数字之和等于 10, 则不同的排法共有________
数字作答).
解析 取 出 的 4 张 卡 片 所 标 数 字 之 和 等 于 10 , 共 有 三 种 情 况 : 1144,2233,1234.

所取卡片是 1144 的共有 A4 4种排法.
4 所取卡片是 2233 的共有 A4 种排法.

所取卡片是 1234,则其中卡片颜色可为无红色,1 张红色,2 张红色,
4 4 2 4 3 4 4 4 3 张红色,全是红色,共有排法 A4 +C1 4A4+C4A4+C4A4+A4=16A4

(种),
4 ∴共有排法 18A4 =18×4×3×2×1=432(种).

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