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3.直线和圆的位置关系


4.2.1 直线与圆的位置关系

设点P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0,y0)的距离为d

点和圆的位置关系有几种?如何判定?
三种:点在圆外;点在圆上;点在圆内。
几何法:点在圆内?d<r 点在圆上?d=r 点在圆外?d>r 代数法:点在圆内?(x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上?(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外?(x0 -a)2+(y0 -b)2>r2

点和圆的位置关系有几种?如何判定?
三种:点在圆外;点在圆上;点在圆内。
几何法:点在圆内?d<r 点在圆上?d=r 点在圆外?d>r 代数法:点在圆内?(x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上?(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外?(x0 -a)2+(y0 -b)2>r2

所以,判断直线与圆的位置关系可以从公 直线与圆的位置关系有三种: 共点的个数入手。
没有公共点
.o .o

只有一个公 共点

有两个公共 点
l

l

.

.

.o

.
割 线

l

相离 切 点

相切 切 线

相交

直线和圆的位置关系的另一种判断方法

r

o
d l

o r d
?

l

o r ?d

l

(1) 直线L和?O相离
(2) 直线L和?O相切

(3) 直线L和?O相交

? ? ?

d>r
d=r

d<r

归纳:

判断直线与圆位置关系的实际操作

方法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 ?

?

消元 一元二次方程

方法二:直线:Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2

d=
?

归纳:

判断直线与圆位置关系的实际操作

方法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 ?

?

消元 一元二次方程

方法二:直线:Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2

d=
?

判断直线和圆的位置关系:
几何角度
求圆心坐标及 半径r 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)

代数角度

?( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0
消去y(或x)

px ? qx ? t ? 0
2

?d ? r : 相交 ? ?d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?

例1.K为何值时直线2x+y=k与圆x2+y2=4 相交;相切;相离。

?解法一:求解方程组,判定Δ

?解法二:利用直线与圆的位置关系判定d与r大小 ?相离:K<-2√5

或k> 2√5; ;

?相交:-2√5<K<2√5

?相切:k=±

2√5

例2:求过圆x2 + y2 +2x-4y+1=0外一点 p(-3,-2)的圆切线方程。 解:设所求直线为y+2=k(x+3)代入圆方 程使Δ=0解得 K=3/4 即所求直线为3x-4y+1=0

提问:上述解题过程是否存在问题?
说明:求直线方程时如果用到直线斜率,必须考虑直 线斜率是否存在,否则容易丢解。

例2.直线l过点M ( ?3,?3), 被圆x ? y ? 4 y ? 21 ? 0所截得 的弦长为8, 求直线l的方程.
2 2

?例3:直线x-2y+5=0与圆x2 + y2 =25相交截得的 弦

长。
?法一:求出交点利用两点间距离公式; ?法二:垂径定理

思考2:若直线 l过点M ( ?3,?3), 被圆x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0所 截得的弦长最短, 如何确定l的位置?

例4:已知圆C: (x-1)2 + (y-2)2 = 25及直线L (2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m 为实数)
求证:不论m取什么实数直线L和圆C恒相交。

解法一:利用圆心到直线距离 (一般) 解法二:借助于“判别式” (不可取) 解法三:直线L过定点,研究此点与圆的位置关 系 (巧妙)

课堂小结
1、 直线和圆的位置关系有三种(相离、相切、相割) 2、直线和圆位置关系的性质与判定( r与d的数量大小关系) (1) 直线L和?O相离 (2) 直线L和?O相切 (3) 直线L和?O相交 3、直线和圆位置关系的应用

? ? ?

d>r d=r d<r

? 思考

曲线y=1+ √ 4- x2 (-2≤ x ≤ 2)与直线y=k(x-2)+4有两个交 点时,实数K的取值范围是( ) A (5/12,3/4]B (5/12,+∞) C(1/3,3/4) D(0,5/12)

课后作业:教辅资料


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