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专题27 应用基本不等式求最值的求解策略 备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题 Word版 含解析

【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重 要知识点。应用基本不等式求最值时,要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等” ,忽略理任何 一个条件,就会导致解题失败,因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要 的。 【方法点评】 方法一 凑项法 使用情景:某一类函数的最值问题 解题模板:第一步 根据观察已知函数的表达式,通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相 等” ,将其配凑(凑项、凑系数等)成符合其条件; 第二步 使用基本不等式对其进行求解即可; 第三步 得出结论. 例1 已知点 A 在线段 BC 上 (不含端点) , O 是直线 BC 外一点, 且 OA ? 2aOB ? bOC ? 0 ,则 ??? ? ??? ? ??? ? ? a 2b ? a ? 2b 1 ? b 的最小值是___________ 【答案】 2 2 ? 2 【变式演练 1】已知 x ? 【答案】 ymax ? 1 . 【解析】 5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5 1 试题分析:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、 4x ? 5 凑 项 , ?x ? 5 1 1 ? ? ,? 5 ? 4 x ? 0 , ? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 , 当 且 仅 当 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ? 5 ? 4x ? 1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x 点评:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 【变式演练 2】求函数 y ? x ? 【答案】8. 1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2 方法二 分离法 使用情景:某一类函数的最值问题 解题模板:第一步 是一次形式; 第二步 的二次函数形式; 第三步 的结果. 将其化简即可得到基本不等式的形式,并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求 把分母或分子的一次形式当成一个整体,并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式 首先观察已知函数的表达式的特征,如分子(或分母)是二次形式且分母(或分子) x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例2 求y? x ?1 【答案】详见解析. 【解析】 试题分析: 当 ,即 时, y ? 2 (x ? 1) ? 4 。 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号) x ?1 【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。分式 函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ? A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 g ( x) 【变式演练 3】求函数 y ? 【答案】详见解析. ? ? ? ? x ? 4 x ? 9 的最值。 x 方法三 函数法 使用情景:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况 解题模板:第一步 运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式; 第二步 得出结果即可; 第三步 结合函数 f ( x) ? x ? 第四步 得出结论. 例3 求函数 y ? 运用基本不等式并检验其等号成立的条件,若等号取不到则进行第三步,否则,直接 a 的单调性,并运用其图像与性质求出其函数的最值即可; x x2 ? 5 x2 ? 4 的值域。 【答案】详见解析. 【变式演练 4】下列函数中,最小值为 4 的是( A. y ? x ? ) 4 x 4 (0 ? x ?? ) sin x B. y ? sin x ? C. y ? ex ? 4e? x D. y ? log3 x ? 4log x 3 【答案】C 【解析】 试题分析: ex ? 4e? x ? 2 ex ? 4e? x ? 4 ,当且仅当 e x ? 4e? x , x ? ln 2 时等号成立,故选 C. 考点:基本不等式. 【高考再现】 1.【2017 山东理,7】若 a ? b ? 0 ,且 ab ? 1 ,则下列不等式成立的是 1 b ? ? log 2 ? a ? b ? b 2a 1 b (C) a ? ? log 2 ? a ? b ? ? a b 2 (A) a ? 【答案】B b 1 ? log 2 ? a ? b ? ? a ? a 2 b 1 b (D) log 2 ? a ? b ? ? a ? ? a b 2 (B) 【解析】试题分析:因为 a ? b ? 0 ,且 ab ? 1 ,所以 a ? 1, 0 ? b ? 1,? b ? 1, log 2 (a ? b) ? log 2 2 ab ? 1, 2a 2 a? 1 b ?a? 1 1 ? a ? b ? a ? ? log 2 (a ? b) ,所以选 B. b b 【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单 调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小,但考查的知识点较多,需灵活利用指数 函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 2. 【2015 高考四川,理 9】如果函数 f ? x ? ? 单调递减,则 mn 的最大值为( (A)16 【答案】B (B)18 ) (C)25 (D) 1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 上 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ?

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