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山东省青岛市胶州市学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2014-2015 学年山东省青岛市胶州市高二(下)期中数学试卷(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分;在每小题给出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的) 1. (5 分) (2015 春?胶州市期中)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 1 门,则甲、乙所选的课 程不相同的选法共有( ) A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 直接利用乘法原理,可得结论. 解答: 解:∵甲、乙两人从 4 门课程中各选修 1 门, ∴由乘法原理,可得甲、乙所选的课程不相同的选法有 4×3=12 种. 故选:B. 点评: 本题考查排列组合知识,正确分步是解题的关键. 2. (5 分) (2005?广东)函数 f(x)=x ﹣3x +1 是减函数的区间为( ) A. (2,+∞) B. (﹣∞,2) C. (﹣∞,0) D. (0,2) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 求出 f′(x)令其小于 0 即可得到函数是减函数的区间. 2 解答: 解:由 f′(x)=3x ﹣6x<0,得 0<x<2 3 2 ∴函数 f(x)=x ﹣3x +1 是减函数的区间为(0,2) . 故答案为 D. 点评: 考查学生利用导数研究函数的单调性的能力. 3. (5 分) (2013 秋?黄州区校级期末)已知函数 f(x)=(x﹣3)e ,则 f′(0)=( A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. 4 x 3 2 ) 考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据函数的导数公式直接进行求导,然后即可求 f'(0)的值. x 解答: 解:∵f(x)=(x﹣3)e , x x x ∴f'(x)=e +(x﹣3)e =(x﹣2)e , 0 ∴f'(0)=(0﹣2)e =﹣2, 故选:B. 点评: 本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则, 比较基础. 4. (5 分) (2014 春?城关区校级期末)在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品, 至少有 1 件次品的不同取法的种数是( ) A. B. ﹣ -1- C. D. ﹣ 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的对立事件是没 有次品, 3 没有次品的事件有 C94 ,得到至少有 1 件次品的不同取法用所有减去不合题意的. 解答: 解:在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品, 3 共有 C100 种结果, 至少有 1 件次品的对立事件是没有次品, 3 没有次品的事件有 C94 , 3 3 ∴至少有 1 件次品的不同取法有 C100 ﹣C94 , 故选:B. 点评: 本题考查分步计数原理,是一个基础题,解题时可以从正面来考虑,至少有一件次品 包括有一件次品,有两件次品,有三件次品,分别写出结果再相加. 5. (5 分) (2014?金州区校级模拟)设 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a﹣3)x 的导函数为 f′(x) ,且 f′(x)是偶函数,则曲线:y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为( ) A. 9x﹣y﹣16=0 B. 9x+y﹣16=0 C. 6x﹣y﹣12=0 D. 6x+y﹣12=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先由求导公式求出 f′(x) ,根据偶函数的性质,可得 f′(﹣x)=f′(x) ,从而求 出 a 的值,然后利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而写出切线方程. 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+(a﹣3) , ∵f′(x)是偶函数, 2 2 ∴3(﹣x) +2a(﹣x)+(a﹣3)=3x +2ax+(a﹣3) , 解得 a=0, 3 2 ∴f(x)=x ﹣3x,f′(x)=3x ﹣3,则 f(2)=2,k=f′(2)=9, 即切点为(2,2) ,切线的斜率为 9, ∴切线方程为 y﹣2=9(x﹣2) ,即 9x﹣y﹣16=0. 故选:A. 点评: 本题主要考查求导公式,偶函数的性质以及导数的几何意义,同时考查了运算求解的 能力,属于中档题. 6. (5 分) (2013 秋?临淄区校级期末)下列函数中 x=0 是极值点的函数是( A. f(x)=﹣x B. f(x)=﹣cosx C. f(x)=sinx﹣x D. f(x)= 3 3 2 ) 考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 结合极值的定义,分别判断各个函数是否满足(﹣∞,0)与(0,+∞)有单调性的 改变,若满足则正确,否则结论不正确. -2- 解答: 解:A、y′=﹣3x ≤0 恒成立,所以函数在 R 上递减,无极值点 B、y′=sinx,当﹣π <x<0 时函数单调递增;当 0<x<π 时函数单调递减且 y′|x=0=0,故 B 符合 C、y′=cosx﹣1≤0 恒成立,所以函数在 R 上递减,无极值点 D、y= 在(﹣∞,0)与(0,+∞)上递减,无极值点 故选 B 点评: 本题主要考查了极值的定义,函数在 x0 处取得极值?f′(x0)=0 且在的 x0 两侧发生 单调性的改变. 7. (5 分) (2013 春?内江期末)如图为函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象,f′(x)为函数 f (x)的导函数,则不等式 x?f′(x)<0 的解集为( ) 3 2 2 A. (﹣∞, ) ) B. (0, ) C. ( ,+∞) D. (﹣∞, )∪(0, 考点: 导数的运算;函数的图象. 专题: 数形结合法. 分析: 先从原函数的极值点处得出导数的零点,再利用导函数是二次函数的特点,结合二次 函数的图象,即可解出不等式 x?f′(x)<0

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