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欧拉公式


1 简介
(Euler 公式) 在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元 1707-1783 年)发现的,它 们都叫做 欧拉公式,分散在各个数学分支之中。

2 分式

当 r=0,1 时式子的值为 0 当 r=2 时值为 1 当 r=3 时值为 a+b+c

3 复变函数

,e 是自然对数的底,i 是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角 函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”。

的证明: 因为



在 e^x 的展开式中把 x 换成± ix.

所以

将公式里的 x 换成-x,得到:

,然后采用两式相加减的方法得到:



.这两个也叫做欧拉公式。将 中的 x 取作 π 就得到:

.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重 要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底 e,圆周率 π,两个单位:虚数 单位 i 和自然数的单位 1,以及被称为人类伟大发现之一的 0。数学家们评价它是“上帝创 造的公式”。 [1]

4 平面几何
设△ABC 的外心为 O,内心为 I,外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,又记外心、内心的距 离 OI 为 d,则有

(1)式称为欧拉公式. 为了证明(1)式,我们现将它改成

(2)式左边是点 I 对于⊙O 的幂:过圆内任一点 P 的弦被 P 分成两个部分,这两个部分的 乘积是一个定值,称为 P 关于⊙O 的幂.事实上,如图 3.21,如果将 OI 延长交圆于 E、F,那么

因此,设 AI 交⊙O 于 M,则

因此,只需证明

或写成比例式

为了证明(5)式,应当寻找两个相似的三角形.一个以长 IA、r 为边;另一个以长 2R、MI 为边.前一个不难找,图 3.21 中的△IDA 就是,D 是内切圆与 AC 的切点.后一个也必须是直 角三角形,所以一边是直径 ML,另一个顶点也应当在圆上.△MBL 就满足要求. 容易证明

因此(5)式成立,从而(1)式成立. 因为

,所以由欧拉公式得出一个副产品,即

5 拓扑学
事实上,欧拉公式有平面与空间两个部分:

空间中的欧拉公式
V+F-E=X(P),V 是多面体 P 的顶点个数,F 是多面体 P 的面数,E 是多面体 P 的棱 的条数,X(P)是多面体 P 的欧拉示性数。 如果 P 可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么 X(P)=2,如果 P 同胚于一个接有 h 个环柄的球面,那么 X(P)=2-2h。 X(P)叫做 P 的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变 的量,是拓扑学研究的范围。 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数 V、面数 F 及棱数 E 间有关系

V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

平面上的欧拉公式
V+F-E=X(P),其中 V 是图形 P 的顶点个数,F 是图形 P 内的区域数,E 是图形的边数。 在非简单多面体中,欧位公式的形式为: V-E+F-H=2(C-G) 其中 H 指的是平面上不完整的个数,而 C 指的是独立的多面体的个数,G 指的是多 面体被贯穿的个数。

证明 (1) 把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。 (2) 去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形, 像图中②的样子。假设 F′,E′和 V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的 个数,我们只须证明 F′-E′+V′=1。 (3) 对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形 陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,F′ 和 E′各增加 1,而 V′却不变,所以 F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 (4) 如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的 不属于其他三角形的边,即 AC,这样也就去掉了△ABC。这样 F′和 E′各减去 1 而 V′不变, 所以 F′-E′+V′也没有变。 (5) 如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的 不属于其他三角形的边,即 DF 和 EF,这样就去掉△DEF。这样 F′减去 1,E′减去 2,V′ 减去 1,因此 F′-E′+V′仍没有变。 (6) 这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时 F′=1, E′=3,V′=3,因此 F′-E′+V′=1-3+3=1。 (7) 因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后 图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。 (8) 如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉 1 个三角形,3 个边和 2 个顶点。因此 F′-E′+V′仍然没有变。 即 F′-E′+V′=1 成立,于是欧拉公式: F-E+V=2 得证。

6 初等数论
欧拉 φ 函数:φ(n)是所有小于 n 的正整数里,和 n 互素的整数的个数。n 是一个正整 数。欧拉证明了下面这个式子: 如果 n 的标准素因子分解式是 ,其中众 pi(i=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有

利用容斥原理可以证明它。

7 物理学
众所周知,生活中处处存在着摩擦力,欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之 间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里:

其中,f 表示我们施加的力,F 表示与其对抗的力,e 为自然对数的底,k 表示绳与桩 之间的摩擦系数,a 表示缠绕转角,即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。


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