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【走向高考】高考数学总复习 2-4 指数与指数函数课件 新人教B版_图文

第 四 节 指数与指数函数 重点难点 重点:①指数幂的运算法则. ②指数函数的概念、图象与性质. 难点:①根式与分数指数幂的运算. ②a>1 与 0<a<1 时,指数函数图象、性质的区别. ③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不 等式的求解. 知识归纳 1.整数指数幂的运算性质 m+ n n a (1)a · a =_____,(am)n=____ , am· m n (a· b)n=_____.( an· bn m、n∈Z) ? n ?x= a,n为奇数, (2)xn=a, (n∈N, n>1)?? n ? ?x=± a?a>0?,n为偶数. |a|; a ; a2=__ ( a)n=__ n n ? a ,n为奇数, ?__ n a =? |a| ? ?__,n为偶数. (3)分数指数幂 a = a ;a n>1) m n n m -- m n = 1 a m n = 1 n am .(a>0, m , n ∈ N,且 (4)指数幂的运算性质 s ar· as=ar s,(ar)s=ar· , + (a· b)r=ar· br.(a>0,b>0,r,s∈R) 2.指数函数的图象和性质 指数函数 定义 y=ax(a>0,a≠1) 图象 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过(0,1)点,即 x=0 时,y=1. 性 质 (4)当 a>1 时,在 R 上是增函数; 当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. x>0 a>1 0<a<1 y>1 0<y<1 x<0 0<y<1 y>1 误区警示 1. 忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的值 域致误.解题的每一步要等价转化. 2.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数 相等.是用指数函数的单调性,还是用幂函数的单调性 或指数函数的图象解决.要注意图象的应用,还应注意 中间量 0、1 等的运用.指数函数的图象在第一象限内底 大图高(逆时针方向底数依次变大). 3.用换元法解题时,要注意“新元”的取值范围. 一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较,指数型函数的问题,借助于 图象来求解常能起到事半功倍的效果. [例 1] ?2? ?3?3 比较?3?3 与?4?2 ? ? ? ? 的大小. ?4? ?3? x 解析: 在同一直角坐标系中作出函数 y=?9? 与 y=?4? ? ? ? ? x 3 的图象,考察 x= 时 y 值大小, 2 ?4?3 ?3?3 ?2? ?3?3 4 3 ∵ < ,∴?9?2 <?4?2 ,∴?3?3<?4?2 . 9 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 二、分类讨论的思想 [例 2] 函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值 a 比最小值大 ,则 a 的值为________. 3 解析:0<a<1 时,f(x)=ax 在[1,2]上单调递减, a 2 ∴a-a = ,∴a= ; 3 3 2 a a>1 时,f(x)=a 单调递增,∴a -a= , 3 x 2 4 ∴a= . 3 4 2 答案: 或 3 3 三、解题技巧 1.比较一组幂式、对数式形式的数的大小时,一般 先区分正、负(与 0 比);正数再与 1 比较,找出大于 1 的 和小于 1 的;底数相同的幂式,用指数函数的单调性; 底数相同的对数式用对数函数的单调性;指数相同的幂 式用幂函数的单调性或指数函数的图象;真数相同的对 数式用对数函数的图象;底数不同、指数也不同的幂式 或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或 化成同底,另外要注意指对互化的灵活运用. 2.在指数里含有未知数的方程的解法. (1)形如 af(x)=ag(x)(a>0, a≠1)的方程, 化为 f(x)=g(x) 求解; (2)形如 af(x)=bg(x)(a>0,b>0,a≠1,b≠1)的方程, 两边取对数; (3)形如 a2x+b· ax+c=0 的方程,用换元法令 ax=t 化为二次方程求解. 指数幂的运算 [例 1] b>0); (2)已知 (2010· 沈阳模拟)(1)化简: 3 - a 4b2 ab2(a>0, 1 a2 +a - 1 2 =3,求 a+a 1,a2+a 2 的值. - - 解析: 点评:(1)有理指数幂的运算,一般是小数化成分数, 根式化成分数指数幂进行. (2)对于条件求值问题,一般先把条件式或待求式化 简变形,找出已知与未知的联系后代入求值. 解析:(1)原式= 5-2-1- ? 5-2?2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1. (2)原式=[2×(-6)÷ (-3)] =4ab0=4a. 答案:(1)-1 (2)4a 指数函数的图象 [例 2] (2011· 杭州月考)函数 y=a|x|(a>1)的图象是( ) x ? a ? 解析:y=a|x|=? -x ? ?a ?x≥0? ,当 x≥0 时,与指数 ?x<0? 函数 y=ax(a>1)的图象相同;当 x<0 时,y=a-x 与 y=ax 的图象关于 y 轴对称,由此判断 B 正确. 答案:B 点评:一般地,非基本初等函数的图象与性质的讨 论,先化归为基本初等函数来解决. (2011· 济南模拟)定义运算 f(x)=1?2x 的图象大致为( ? ?a a?b=? ? ?b ?a≤b? , 则函数 ?a>b? ) 解析:由 ? ?a a?b=? ? ?b ?a≤b? 得 ?a>b? x ? 2 ? f(x)=1?2x=? ? ?1 ?x≤0? . ?x>0? 答案:A 指数函数的单调性与值域 [例 3] 已知log2 b<log2 a<log2 c,则( 3 3 3 ) A.2b>2a>2c C.2c>2b>2a B.2a>2b>2c D.2c>2a>2b 3

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