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常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法
1.利用等差等比数列通项公式 例 1 :设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 21 ,

a5 + b3 = 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。
4 ? ?1 + 2d + q = 21, 解:设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则依题意有 q > 0 且 ? 2 ? ?1 + 4d + q = 13,

解得 d = 2 , q = 2 .所以 an = 1 + ( n ? 1) d = 2n ? 1 , bn = q

n ?1

= 2n ?1 .

相关高考 1: 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n,a1 = 1 + 2,S3 = 9 + 3 2 . 求数列 {an } 的通项 an 。 解:由已知得 ?

? ?a1 = 2 + 1, ? ?3a1 + 3d = 9 + 3 2

,∴ d = 2 , 故 an = 2n ? 1 + 2 .

相关高考 2:实数列 {a n }是 等比数列, a 7 = 1, 且a4 , a5 + 1, a6 成等差数列,求数列 {a n } 的通项 an 。 解:设等比数列 {an } 的公比为 q (q ∈ R ) , 由 a7 = a1q = 1 ,得 a1 = q ,从而 a4 = a1q = q , a5 = a1q = q , a6 = a1q = q .
6 3 4 5 ?6 ?3 ?2 ?1

因为 a4,a5 + 1,a6 成等差数列,所以 a4 + a6 = 2( a5 + 1) , 即q
?3

+ q ?1 = 2(q ?2 + 1) , q ?1 (q ?2 + 1) = 2(q ?2 + 1) .
n ?1

1 ?1? ?6 n ?1 n ?1 所以 q = .故 an = a1q = q iq = 64 ? ? 2 ?2?
2.利用数列的前 n 项和, an = ?



? a1 = S1 , n = 1 ? S n ? S n ?1 , n ≥ 2

例 2:各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk=

1 ak ak +1 (k ∈ N*),其中 a1=1.Z 求数列 ak 。 2

解:当 k = 1 ,由 a1 = S1 =

1 a1a2 及 a1 = 1 ,得 a2 = 2 . 2 1 1 ak ak +1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak +1 ? ak ?1 ) = 2ak . 2 2

当 k ≥ 2 时,由 ak = S k ? S k ?1 =

因为 ak ≠ 0 ,所以 ak +1 ? ak ?1 = 2 .从而 a2 m ?1 = 1 + (m ? 1)i2 = 2m ? 1 .

a2 m = 2 + (m ? 1)i2 = 2m , m ∈ N* .故 ak = k (k ∈ N* ) .
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相关高考 1:已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ? 9n ,则其通项 an = 2n ? 10 ;若它的第 k 项满足
2

5 < ak < 8 ,则 k = 8 .
相关高考 2:设数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 3 a3 + … + 3
2
n ?1

an =

n * , a ∈ N .求数列 {an } 的通项。 3 n ?1 (n ≥ 2), 3

解: a1 + 3a2 + 3 a3 + ...3
2

n ?1

n an = , 3

a1 + 3a2 + 32 a3 + ...3n ? 2 an ?1 = an = 1 (n ≥ 2). 3n

3n ?1 an =

n n ?1 1 ? = (n ≥ 2). 3 3 3

验证 n = 1 时也满足上式, an =

1 (n ∈ N * ). n 3
*

相关高考 3:数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1 , an +1 = 2 S n (n ∈ N ) .求数列 {an } 的通项 an 解: (I)∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn, ∴

S n +1 =3. 又∵S1=a1=1, Sn

∴数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*). ∴当 n ≥ 2 时,an-2Sn-1=2·3n-2(n ≥ 2), ∴an= ?

? ,n = 1 ?1 , n ≥ 2. n?2 ? 2 · 3 ?

相关高考 4: 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S1 > 1 ,且 6 S n = (an + 1)(an + 2) ,

n ∈ N .求 {an } 的通项公式。
解:由 a1 = S1 =

1 (a1 + 1)(a1 + 2) ,解得 a1 = 1 或 a1 = 2 ,由假设 a1 = S1 > 1 ,因此 a1 = 2 , 6 1 1 (an +1 + 1)(an +1 + 2) ? (an + 1)(an + 2) , 6 6

又由 an +1 = S n +1 ? S n =

得 ( an +1 + an )( an +1 ? an ? 3) = 0 , 即 an +1 ? an ? 3 = 0 或 an +1 = ?an ,因 an > 0 ,故 an +1 = ? an 不成立,舍去. 因此 an +1 ? an = 3 ,从而 {an } 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 {an } 的通项为 an = 3n ? 1 .

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3.利用递推关系 3. 1 递推关系 ?

?an +1 = an + f ( n ) 其中 a 为常数 ? a1 = a
, an ? an ?1 = f ( n ? 1) ,诸式相加,得

由递推式得 a2 ? a1 = f (1) , a3 ? a2 = f ( 2 ) ,
n ?1

an = a1 + ∑ f ( k ) ,即为累加法求数列通项公式。
k =1

2, 3, ) ,且 a1,a2,a3 成公比不 例 3:数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn ( c 是常数, n = 1,
为 1 的等比数列.求 {an } 的通项公式. 解: a1 = 2 , a2 = 2 + c , a3 = 2 + 3c ,因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 + c) = 2(2 + 3c) , 解得 c = 0 或 c = 2 . 当 c = 0 时, a1 = a2 = a3 , 不符合题意舍去, 故c = 2.
2

当 n ≥ 2 时,由于 a2 ? a1 = c , a3 ? a2 = 2c , 所以 an ? a1 = [1 + 2 +

an ? an ?1 = (n ? 1)c ,

+ (n ? 1)]c =

n(n ? 1) c. 2
2

又 a1 = 2 , c = 2 ,故 an = 2 + n( n ? 1) = n ? n + 2( n = 2, 3, ) .当 n = 1 时,上式也成立,

2, ) . 所以 an = n ? n + 2( n = 1,
2

相关高考 1:已知数列 {an } 满足 a1 = 解:当 n ≥ 2 时, an = a1 +

1 1 , an = an ?1 + 2 ( n ≥ 2 ) ,求数列 {an } 的通项公式。 2 n ?1
1
2


k =1

n ?1

( k + 1)

?1

= a1 + ∑

n ?1

n ?1 1 1 ?1 1 ? = a1 + ∑ ? ? ? ? k +2? k =1 ( k + 2 ) k k =1 2 ? k

=

1 1 n ?1 ? 1 1 ? 1 1? 1 1 1 ? 5 2n + 1 + ∑? ? ? = + ?1 + ? ? ?= ? 2 2 k =1 ? k k + 2 ? 2 2 ? 2 n n + 1 ? 4 2n ( n + 1)

当 n = 1 时,也满足上式,故 an =

5 2n + 1 。 ? 4 2n ( n + 1)

相关高考 2:已知数列 {an } 满足 nan +1 = ( n + 1) an + 2 ,且 a1 = 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 解: 两边同除以 n ( n + 1) , 得
n ?1

an +1 an 2 2 , 令 bn = an , 有: bn +1 = bn + , 且 b1 = 2 , = + n + 1 n n ( n + 1) n ( n + 2) n

从而 bn = b1 +

n ?1 2 1 ? 2 ?1 = + 2 b ∑ ∑ 1 ? ? ? = 4 ? , 故 an = nbn = 4n ? 2 。 k +1? n k =1 k ( k + 1) k =1 ? k

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3. 2

递推关系 ?

?an +1 = f ( n ) an

? a1 = a

其中 a 为常数

由递推式得 a2 = f (1) a1 , a3 = f ( 2 ) a2 ,
n ?1

, an = f ( n ? 1) an ?1 ,诸式相乘,得

an = a1 ∏ f ( k ) ,即为累乘法求数列通项公式。
k =1

例 4:已知数列 {bn } 的首项 b1 = 1 ,其前 n 项和 S n =

1 ( n + 1) bn ,求数列 {bn } 的通项公式。 2

解:由 S n =

1 1 n bn ?1 ( n + 1) bn ,得 Sn?1 = nbn?1 ( n ≥ 2 ) ,所以 bn = Sn ? Sn ?1 = n ?1 2 2

( n ≥ 2)



b2 2 b3 3 = , = , b1 1 b2 2
故 bn = n 。

bn b n = , 诸式相乘得 n = n , 即 bn = n , 当 n = 1 时也满足上式。 bn ?1 n ? 1 b1

相关高考:数列 {an } 满足 nan +1 = 2 ( a1 + a2 + 解: nan +1 = 2 ( a1 + a2 + 即 an +1 =

+ an ) 且 a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 + an ?1 ) + 2an = ( n ? 1) an + 2an = ( n + 1) an ,

+ an ) = 2 ( a1 + a2 +

n +1 2 3 4 an ,从而 an = a1 ? ? ? ? n 1 2 3

?

n = a1 ? n = n 。 n ?1

3. 3

递推关系 ?

?an +1 = pan + q 其中 p, q, a 为常数且 p ≠ 1 = a a ? 1

令 an +1 + λ = p ( an + λ ) ,整理得 an +1 = pan + ( p ? 1) λ ,所以 ( p ? 1) λ = q , 即λ =

? ? q q q ? q ? ,从而 an +1 + = p ? an + ? 是等比数列。 ? ,所以数列 ?an + p ?1 p ?1 p ?1 ? p ? 1? ? ?
求 {an } 的通项公式。

例 5:已知数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) , n = 1, 2,3,

解: an +1 = ( 2 ? 1)(an + 2) = ( 2 ? 1)( an ? 2) + ( 2 ? 1)(2 + 2) = ( 2 ? 1)(an ? 2) + 2 ,

an +1 ? 2 = ( 2 ? 1)(an ? 2) .
所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列, an ? 2 = 即 an 的通项公式为 an =

{

}

2( 2 ? 1) n ,

?( 2 ? 1) n + 1? , n = 1, 2? 2, 3, …. ?
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相关高考 1:设数列 {an } 的首项 a1 ∈ (0,, 1) an =

3 ? an ?1 ,n = 2, 3, 4,… .求 {an } 的通项公式。 2

解:由 an =

3 ? an ?1 1 ,n = 2, 3, 4,…, 整理得 1 ? an = ? (1 ? an ?1 ) . 又 1 ? a1 ≠ 0 , 2 2 1 ? 1? 的等比数列,得 an = 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? 2 ? 2?
n ?1

所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ?

相关高考 2:已知数列 {an } :3,5,7,9,…, 2n + 1 ,…。另作一数列 {bn } ,使得 b1 = a1 ,且 当 n ≥ 2 时, bn = abn?1 ,求数列 {bn } 的通项公式。 解:由已知得 an = 2n + 1, b1 = a1 = 3, bn = abn?1 = 2bn ?1 + 1 ,有 bn + 1 = 2 ( bn ?1 + 1) , 所以 bn + 1 = ( b1 + 1) ? 2
n ?1

= 2n +1 ,故 bn = 2n +1 ? 1 。
2 6

相关高考 3:数列 {an } 中,设 an > 0, a1 = 1 且 an ? an +1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an ? an +1 = 3 得 2 log 3 an +1 + log 3 an = 6 ,令 bn = log 3 an ,有 2bn +1 + bn = 6 ,则
2 6

1 ? 1? bn +1 ? 2 = ? ( bn ? 2 ) ,所以 bn ? 2 = ( b1 ? 2 ) ? ? ? 2 ? 2?
从而 bn = 2 + ( ?2 )
2?n

n ?1

? 1? = ( log 3 1 ? 2 ) ? ? ? ? 2?

n ?1

= ( ?2 )

2? n



,故 an = 3

2 + ( ?2 )

2? n



3.4 递推关系 ?

?an +1 = pan + f ( n ) 其中 p, a 为常数且 p ≠ 1 , f ( n ) 为非常数 ? a1 = a
n +1

由递推式 an +1 = pan + f ( n ) 两边同除以 p 的累加法可求。 例 6:在数列 {an } 中, a1 = 2,an +1 = λ an + λ

, 得

an +1 an f ( n ) = + n +1 ,对此采用 3. 1 中所述 p n +1 p n p

n +1

+ (2 ? λ )2n (n ∈ N? ) ,其中 λ > 0 .求 an 。
an +1

解:由 an +1 = λ an + λ n +1 + (2 ? λ )2 n ( n ∈ N * ), λ > 0, 可得

λ n +1

?2? ?? ? ?λ?

n +1

=

?2? ? ? ? + 1, n λ ?λ? an

n

n n ? an ? 2 ? ? an ? 2 ? ? ? 所以 ? n ? ? ? ? 为等数列,其公差为 1,首项为 0.故 n ? ? ? = n ? 1, λ ?λ? ?λ? ? ? ?λ ?

所以数列 {an } 的通项公式为 an = ( n ? 1)λ n + 2 n .

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相关高考:数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且满足 a1 = 1, an +1 = 2 S n + n ? n + 1 ,求 an 。
2

解:由 an +1 = 2 S n + n ? n + 1 有: an = 2 S n ?1 + ( n ? 1) ? ( n ? 1) + 1 ,两式相减得:
2
2

an +1 ? an = 2an + 2n ? 2 即: an +1 = 3an + 2n ? 2 ,两边同除以 3n +1 ,得: 2 ( n ? 1) an +1 an 2n ? 2 an a 1 = n + n +1 ,令 bn = n ,则 bn +1 = bn + , b1 = 1 = ,从而 n +1 n +1 3 3 3 3 3 3 3
bn = b1 + ∑
故 an =
n ?1 k ? 1 2 ( k ? 1) 1 ( ) = 1 + 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? = 1 ? 2n ? 1 。 2 = + ∑ ? ? k +1 k +1 3 3 3 4?3 3n ? 2 2 ? 3n k =1 k =1 3 n ?1

3n 1 ?n+ 。 2 2
?an +1 = pan + qan ?1 ( n ≥ 2 ) 其中 p, q, a, b 为常数 ? a1 = a , a2 =b

3.5 递推关系 ?

3.5.1 若 p + q = 1 时, p = 1 ? q ,即 an +1 ? an = ? q ( an ? an ?1 ) ,知 {an +1 ? an } 为等比数列, 对此采用 3. 1 中所述的累加法可求。 例 7:已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 =

5 5 2 , an + 2 = an +1 ? an ,求数列 {an } 的通项公式。 3 3 3

解:由 an + 2 =

5 2 2 an +1 ? an 两边减去 an +1 得: an + 2 ? an +1 = ( an +1 ? an ) ,所以 3 3 3
n

2 2 2? {an +1 ? an } 是公比为 ,首项为 a2 ? a1 = 的等比数列,所以 an+1 ? an = ? ? ? , 3 3 ?3?
?2? ?2? 即 an ? a1 = ? ? + ? ? + ?3? ?3?
1 2 n ?1 2 ? ?2? ? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 3 ? ? ? 2 ? n ?1 ? ?3? ? ?2? ? ? ,即 an = 1 + 2 ? ?1 ? ? ? ? +? ? = 2 ?3? ? ?3? ? ? ? 1? 3

相关高考:已知数列 {an } 中, a1 = 1, a2 = 2, an + 2 =

2 1 an +1 + an ,求数列 {an } 的通项公式。 3 3

解:由 an + 2 =

2 1 1 an +1 + an 两边减去 an +1 得: an + 2 ? an +1 = ? ( an +1 ? an ) ,所以 3 3 3 1 ? 1? ,首项为 a2 ? a1 = 1 的等比数列,所以 an +1 ? an = ? ? ? 3 ? 3?
n ?1

{an+1 ? an } 是公比为 ?
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即 an ? a1 = ? ? ? + ? ? ? +

? 1? ? 3?

0

? 1? ? 3?

1

? 1? +?? ? ? 3?

n?2

? 1? 1? ? ? ? 3? = ? 1 1+ 3

n ?1

,即 an = 1 +

n ?1 3 ? ? 1? ? 1 ?? ??? ? ? 4 ? ? ? 3? ? ?

3.5.2 若 p + q ≠ 1 时,存在 x1 , x2 满足 an +1 ? x1an = x2 ( an ? x1an ?1 ) ,整理得

an +1 = ( x1 + x2 ) an ? x1 x2 an ?1 ,有 x1 + x2 = p, x1 x2 = ?q ,从而 {an +1 ? x1an } 是等比数
列,对此采用 3. 4 中所述的方法即可。 4.利用倒数变形, an +1 =

an ,两边取倒数后换元转化为 a n +1 = pa n + q 。 pan + q
a n ?1 , a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 3 ? a n?1 + 1
?1? ∴ ? ? 是等差数列, ? an ?

例 8:已知数列 {an } 满足: a n =

解:取倒数:

1 3 ? a n ?1 + 1 1 = = 3+ an a n ?1 a n?1

1 1 1 = + (n ? 1) ? 3 = 1 + (n ? 1) ? 3 ? a n = a n a1 3n ? 2
相关高考 1:数列 {an } 满足: a1 =

3nan ?1 3 ,且 an = 2an ?1 + n ? 1 2

( n ≥ 2 ) ,求 an



解:将条件变为:1-

? n? n 1 n-1 1- =( ,因此 ?1 ? ? 为一个等比数列,其首项为 ) an 3 an ?1 ? an ?

1-

1 1 1 n 1 n ? 3n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an = n 。 a1 3 3 an 3 3 -1 a2 an

相关高考 2:数列 {an } 满足: a1 = 2a , an +1 = 2a ? 解: an +1 ? a =

( a ≠ 0 ) ,求数列 {an } 的通项公式。

a ( an ? a ) an

( an ≠ a, a ≠ 0 ) ,所以

an 1 1 1 = = + , an +1 ? a a ( an ? a ) an ? a a

令 bn =

1 1 1 1 ,则 bn +1 = bn + ,因而 {bn } 是首项为 b1 = ,公差为 的等差数列, a an ? a a a bn = 1 1 n 1 a + ( n ? 1) ? = ,故 an = a + = a + 。 a a a bn n

所以

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5.利用归纳猜想

1 1 + a an +1 1 1 * 例 9:设正整数数列 {an } 满足: a2 = 4 ,且对于任何 n ∈ N ,有 2 + < n < 2+ . an +1 1 ? 1 an n n +1
(1)求 a1 , a3 ; (2)求数列 {an } 的通项 an . 解:由 a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 9 ,猜想: an = n .
2

下面用数学归纳法证明. 1 当 n = 1 , 2 时,由(1)知 an = n 均成立;
2

2 假设 n = k ( k ≥ 2) 成立,则 ak = k ,则 n = k + 1 时
2

? 1 k 2 (k + 1) k (k 2 + k ? 1) 1 1 ? 1 < ak +1 < 由①得 2 + < k (k + 1) ? 2 + ? < 2+ 2 ? 2 k ? k +1 k ?1 ak +1 ak +1 ? k ?k

? (k + 1) 2 ?
2

(k + 1) 2 1 < ak +1 < (k + 1) 2 + 2 k +1 k ?1
2

因为 k ≥ 2 时, (k + 1) ? (k + 1) = k ( k + 1)( k ? 2) ≥ 0 ,所以

(k + 1) 2 ∈ ( 0, 1] . k 2 +1

k ? 1 ≥ 1 ,所以
2

1 ∈ ( 0, 1] .又 ak +1 ∈ N* ,所以 (k + 1) 2 ≤ ak +1 ≤ (k + 1) 2 . k ?1
2

故 ak +1 = (k + 1) ,即 n = k + 1 时, an = n 成立. 由 1 ,2 知,对任意 n ∈ N , an = n .
*

2

相关高考:已知点的序列 An ( x n ,0), n ∈ N ,其中 x1 = 0 , x 2 = a (a > 0) , A3 是线段 A1 A2 的
*

中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,…, An 是线段 An ? 2 An ?1 的中点,… (1)写出 x n 与 x n ?1 , x n ? 2 之间的关系式( n ≥ 3 ) 。 (2)设 a n = x n +1 ? x n ,计算 a1 , a 2 , a3 , 并求出数列 {a n } 的通项公式。 解: (1)当 n ≥ 3时xn =

xn ?1 + xn ? 2 2 a2 = x3 ? x2 = x1 + x2 1 1 ? x2 = ? ( x2 ? x1 ) = ? a 2 2 2

(2) a1 = x2 ? x1 = a,
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a 3 = x4 ? x3 =

x2 + x3 1 1 ? x3 = ? ( x3 ? x2 ) = a 4 2 2 1 2
n ?1

由此推测 an = (? )

a(n ∈ N + ) ,下面用数学归纳法证明: 1 2
0

① 当n=1时,a1 = x2 ? x1 = a = ( ? ) ? a公式成立

②假设当 n=k 时公式成立,即 ak = (? )

1 2

k ?1

a 成立,那么当 n=k+1 时

ak +1 = xk + 2 ? xk +1 =

xk +1 + xk 1 1 ? xk +1 = ? ( xk +1 ? xk ) = ? ak 2 2 2
公式仍成立

1 1 1 = ? (? ) k ?1 a = (? )( k +1) ?1 ? a 2 2 2
综上对任意 n ∈ N + 公式都成立。 6.利用函数的不动点(方程的特征根)

b 2 ? 2b b 2 ? 2b 2 的 6.1 若数列 { xn } 满足 xn +1 = ax + bxn + ( a > 0 ) ,且 α 是方程 x = ax + bx + 4a 4a
2 n

最小根,则 xn +1 ? α = α ? ( xn ? α ) 。
2

例 10:已知数列 { xn } 满足 xn +1 = 2 xn + 4 xn + 1, x1 = 1 ,求数列 { xn } 的通项公式。
2

解:令 x = 2 x + 4 x + 1 ,则 x = ?1 是其最小根,得 xn +1 + 1 = 2 ( xn + 1) ,由题意知 xn > 0 ,
2

2

两边取对数,得 log 2 ( xn +1 + 1) = 2 log 2 ( xn + 1) + 1 ,两边同时加 1,得:

log 2 ( xn +1 + 1) + 1 = 2 ( log 2 ( xn + 1) + 1) ,
故 log 2 ( xn + 1) + 1 是首项为 log 2 ( x1 + 1) + 1 = 2 公比为 2 的等比数列, 所以 log 2 ( xn + 1) + 1 = 2 ,
n

{

}

故 xn = 2

2n ?1

?1 。

6. 2

若数列 { xn } 满足 xn +1 =

axn + b ax + b ( c ≠ 0, ad ? bc ≠ 0 ) 且 x1 ≠ 1 。 cx1 + d cxn + d

6.2.1

若方程 x =

x ? α a ? cα xn ? α ax + b 有两个相异实根 α , β ,则 n +1 = ? 。 cx + d xn +1 ? β a ? cβ xn ? β

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例 11:已知数列 { xn } 满足 xn +1 =

7 xn ? 2 , x1 = 3 ,求数列 { xn } 的通项公式。 xn + 4

解:令 x =

x ? 1 6 xn ? 1 7x ? 2 = ? ,得 α = 1, β = 2 为其两根,所以有 n +1 , x+4 xn +1 ? 2 5 xn ? 2
? xn ? 1 ? x1 ? 1 6 = 2 为首项,以 为公比的等比数列, ? 是以 x1 ? 2 5 ? xn ? 2 ?
n ?1

所以数列 ?

x ?1 ?6? = 2?? ? 所以 n xn ? 2 ?5?

, 故 xn =

1 ?6? 2?? ? ?5?
n ?1

+2 。 ?1

6.2.2

若方程 x =

ax + b 1 2c 1 = + 有两个相等实根 α ,且 a ≠ ? d ,则 。 cx + d xn +1 ? α a + d xn ? α 3xn ? 1 1 , x1 = ,求数列 { xn } 的通项公式。 4 xn + 7 2

例 12:已知数列 { xn } 满足 xn +1 =

解:令 x =

3x ? 1 1 1 1 4 ,得 x = ? 为其根,所以 = + , 1 1 5 4x + 7 2 xn +1 + xn + 2 2

? ? 1 4 ? 1 ? = 1 为首项,以 为公差的等差数列, 是以 所以数列 ? ? 1 5 ? xn + 1 ? x1 + 2 ? 2?
所以

4 9 ? 4n = 1 + ( n ? 1) ? , 故 xn = 。 1 5 n + 2 8 xn + 2 1
2 axn +c ax 2 + c 的两个相异实根, ( a ≠ 0 ) ,若 α , β 是方程 x = 2axn + f 2ax + f

6. 3

若数列 { xn } 满足 xn +1 =

x ? α ? xn ? α ? 则 n +1 =? ? xn +1 ? β ? xn ? β ?

2

例 13:已知数列 { xn } 满足 xn +1 =

2 3xn +2 19 , x1 = ,求数列 { xn } 的通项公式。 6 xn ? 5 6 2

1 ? 1? xn + ? 2 ? 3x + 2 1 3= 3 , 解:令 x = ,得 α = ? , β = 2 为其两根,所以 ? ? 3 6x ? 5 xn +1 ? 2 ? xn ? 2 ? ? ?
xn +1 +
常见数列通项公式的求法 第 10 页 共 11 页

1 1 xn + 3 = 2 log 3, 两边取对数,得 log 3 3 xn +1 ? 2 xn ? 2
xn +1 +
1? 1 ? xn + ? x1 + ? 3 = 1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 3 是以 log 所以数列 ?log 3 ? 3 x1 ? 2 xn ? 2 ? ? ? ?

1 n?1 6 ? 32 + 1 n ?1 3 = 2 , 故 xn = 。 所以 log 3 n?1 xn ? 2 3 ? 32 ? 3
xn +
相关高考:已知函数 f ( x) = x + x ? 1 , α,β 是方 程 f ( x) = 0 的两个根 (α > β ) , f ′( x) 是
2

f ( x) 的导数.设 a1 = 1 , an +1 = an ?
(1)求 α,β 的值;

f (an ) (n = 1, 2, ) . f ′(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an > α ,记 bn = ln 前 n 项和 S n . 解:(1)求根公式得 α = (2) f ′( x ) = 2 x + 1

an ? β (n = 1, 2, ) .求数列 {bn } 的 an ? α

?1 + 5 ?1 ? 5 , β = 2 2 2 a +1 α 2 = 1?α , β 2 = 1? β an +1 = n 2an + 1

bn +1 = ln

an +1 ? β a 2 ? 2 β an + 1 ? β a 2 ? 2 β an + β 2 a ?β 2 ) = 2bn = ln n 2 = ln n 2 = ln( n 2 an +1 ? α an ? 2α an + 1 ? α an ? 2α an + α an ? α
a1 ? β 5 +1 ,公比为 q = 2的等比数列 , = 4 ln a1 ? α 2

∴数列 {bn } 是首项 b1 = ln ∴ Sn =

b1 (1 ? q n ) 5 +1 = 4 ? (2n ? 1) ln 1? q 2

常见数列通项公式的求法

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