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2015年高考理科数学试题汇编(含答案):数列 大题


(重庆)22. (本小题满分 12 分, (1)小问 4 分, (2)小问 8 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ?1an ? ? an ?1 ? ? an ? 0 ? n ? N ? ?
2

(1)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N ? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2k0 ? 1

【答案】 (1) an ? 3 ? 2n ?1 ; (2)证明见解析.

试题分析:(1)由 ? ? 0,? ? ?2 ,有 an ?1an ? 2an 2 , (n ? N ? )

若存在某个 n 0 ? N ? ,使得 an 0 = 0 ,则由上述递推公式易得 an 0 +1 = 0 ,重复上述过程可得

a1 = 0 ,此与 a1 = 3 矛盾,所以对任意 n ? N ? , an ? 0 .
从而 an +1 = 2an ? n ? N ? ? ,即 {an } 是一个公比 q = 2 的等比数列. 故 an = a1q n - 1 = 3 2n - 1 . (2)由 ? ?

1 ,? ? ?1 ,数列 {an } 的递推关系式变为 k0

an +1an +

? 1? 1 an +1 - an 2 = 0, 变形为 an ?1 ? an ? ? ? an 2 ? n ? N ? ? . k0 ? k0 ?

由上式及 a1 = 3 ,归纳可得

3 = a1 > a2 >
an

> an > an +1 >
2

>0

an 2 =

因为 an +1 =

1 an + k0

1 1 + 2 2 k0 k0 1 1 1 ,所以对 n = 1, 2 = an + 1 k k k a + 1 0 0 0 n an + k0

k0

求和得 ak0 +1 = a1 + a2 - a1 +

(

)

+ ak0 +1 - ak0

(

)

? 1 1 ? 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? k0 k0 ? k 0 ak0 ? 1 ? ? k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 ? 1 ? 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? 2? k0 ? 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 ? 3k0 ? 1 ? a1 ? k0 ?
另一方面,由上已证的不等式知 a1 > a2 >

> ak0 > ak0 +1 > 2 得

ak0 ?1 ? a1 ? k0 ?

1 1 ? 1 1 ? ?? ? ? k0 k0 ? k a ? 1 k a ? 1 0 1 0 2 ?

?

? ? k 0 a k0 ? 1 ? ? 1

? 2?
1

1 ? 1 1 ?? ? ? k0 ? 2k0 ? 1 2k0 ? 1
< ak0 +1 < 2 + 1 2k0 +1

?

? 1 ? ? 2? 2k0 ? 1 ? 2k0 ? 1 1

综上: 2 +

3k0 +1

考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法.

(江苏)20.(本小题满分 16 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 2 , a33 , a4 4 依次成等比数列,并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a 2 理由.
n n?k n?2k n ?3k , a3 , a4 依次成等比数列,并说明
a a a a

【答案】 (1)详见解析(2)不存在(3)不存在

(2)令 a1 ? d ? a ,则 a1 , a2 , a3 , a4 分别为 a ? d , a , a ? d , a ? 2d ( a ? d ,

a ? ?2d , d ? 0 ) .
假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列,
2 3 4

则 a 4 ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a 2 ? a ? 2d ? .
3 6 4

令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

t ? t ? 1? ? 2 ? t ? 1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ? 1 ? 3t ? 4t ? 1 ? 0 ,则 t ? ?
显然 t ? ?

1 . 4

1 不是上面方程得解,矛盾,所 以假设不成立, 4
2 3 4

因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列. (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2 列, 则 a1n ? a1 ? 2d ?
n?2k
n n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数

? ? a1 ? d ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ? 及 a1
n?k
2? n ? 2 k ?

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?

2? n ? 2 k ?



分别在两个等式的两边同除以 a1 则 ?1 ? 2t ?
n?2k

2? n ? k ?

,并令 t ?
n ?3k

d 1 (t ? ? ,t ? 0) , a1 3
2? n ? 2 k ?

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

?1 ? 3t ?

? ?1 ? 2t ?



将上述两个等式两边取对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? , 且 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? . 化简得 2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ?, 且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ?. 再将这两式相除,化简得 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ? 4 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ( ?? ) . 令 g ? t ? ? 4 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2 2 ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ?. 则 g? ?t ? ? ? 1 ? t 1 ? 2 t 1 ? 3 t ? ?? ?? ?

令 ? ? t ? ? ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2

则 ?? ?t ? ? 6 ? ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? 6 ? 令 ?1 ? t ? ? ? ? ? t ? ,则 ?1 ?3ln ?1 ? 3t ? ? 4 ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ?.
? ?t ? ? ? ? t ? ,则 ?2 令 ? 2 ? t ? ? ?1 12 ? 0. ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

? ?t ? ? 0 , 由 g ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? 2 ? 0 ? ? 0 , ? 2
知 ? 2 ? t ? , ?1 ? t ? , ? ? t ? , g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 和 ? 0, ?? ? 上均单调. 故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设不成立. 所以不存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k

? 1 ? 3

? ?

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

考点:等差、等比数列的定义及性质,函数与方程 (安徽) (18) (本小题满分 12 分) 设 n ? N * , xn 是曲线 y ? x
2n?2

? 1 在点 (1, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标.

(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式;
2 (Ⅱ)记 Tn ? x12 x3 2 x2 n ?1 ,证明 Tn ?

1 . 4n

【答案】 (1) xn ? 【解析】

n 1 ; (2) Tn ? . n ?1 4n

试题分析: (Ⅰ)对题中所给曲线进行求导,得出曲线 y ? x

2n?2

? 1 在点 (1, 2) 处的切线斜

率为 2n ? 2 .从而可以写成切线方程为 y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1) .令 y ? 0 .解得切线与 x 轴交点 的横坐标 xn ? 1 ? (Ⅱ)要证 Tn ?

1 n . ? n ?1 n ?1

1 ,需考虑通项 x2 n ?12 ,通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出 4n

考点:1.曲线的切线方程;2.数列的通项公式;3.放缩法证明不等式. (北京)20.(本小题 13 分)
?2an ,an ≤18 , …? . 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? N* , a1 ≤ 36 ,且 an ?1 ? ? ? n ? 1,2 , ?2an ? 36 ,an ? 18

记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 【答案】 (1) M ? {6,12,24}, (2)证明见解析, (3)8 【解析】 ① 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 由

?

?

a1 ? 6 , 可 知 a2 ? 12,a3 ? 24,a4 ? 12, 则

M ? {6,12,24}; (Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3

的倍数,用数学归纳法证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数,当 k ? 1 时,则 M 中的 所有元素都是 3 的倍数,如果 k ? 1 时,因为 ak ? 2ak ?1 或 2ak ?1 ? 36 ,所以

2ak ?1 是 3 的倍数,于是 ak ?1 是 3 的倍数,类似可得, ak ?2 ,...... a1 都是 3 的倍数,
从而对任意 n ? 1 , an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设

ak 是 3 的 倍 数 , 由 已 知

?2an ,an ≤18 , an ?1 ? ? ,用数学归纳法证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数;第三步 ?2an ? 36 ,an ? 18

由于 M 中的元素都不超过 36, M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是 4 的倍 数,因为第二个数必定为偶数,由 an 的定义可知,第三个数及后面的数必定是 4 的倍 数,由定义可知, an ?1 和 2an 除以 9 的余数一样,分 an 中有 3 的倍数和 an 中没有 3 的 倍数两种情况,研究集合 M 中的元素个数,最后得出结论集合 M 的元素个数的最大值 为 8. 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 由 已 知
?2an ,an ≤18 , an ?1 ? ? ?2an ? 36 ,an ? 18

可 知 :

a1 ? 6,a2 ? 12,a3 ? 24,a4 ? 12,
? M ? {6,12,24}
(Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数,由已知
?2an ,an ≤18 , an ?1 ? ? ,可用用数学归纳法证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数,当 ?2an ? 36 ,an ? 18

k ? 1 时,则 M 中的所有元素都是 3 的倍数,如果 k ? 1 时,因为 ak ? 2ak ?1 或

2ak ?1 ? 36 , 所 以 2ak ?1 是 3 的 倍 数 , 于 是 ak ?1 是 3 的 倍 数 , 类 似 可 得 ,

ak ?2 ,...... a1 都是 3 的倍数,从而对任意 n ? 1 , an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元
素都是 3 的倍数.

( Ⅲ ) 由 于 M 中 的 元 素 都 不 超 过 36 , 由 a1 ? 36 , 易 得 a2 ? 36 , 类 似 可 得

an ? 36 ,其次 M 中的元素个数最多除了前面两个数外,都是 4 的倍数,因为第二个
数必定为偶数,由 an 的定义可知,第三个数及后面的数必定是 4 的倍数,另外,M 中 的数除以 9 的余数,由定义可知, an ?1 和 2an 除以 9 的余数一样,

考点:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析. (广东)21. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? na n ? 4 ? (1) 求 a3 的值; (2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (3) 令 b1 ? a1 , bn ?

n?2 , n ? N *. 2n ?1

Tn?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? ,证明:数列 ?bn ? 的前 n 项和 n ? 2 3 n?

Sn
满足 Sn ? 2 ? 2 ln n

1 ?1? 【答案】 (1) ; (2) 2 ? ? ? 4 ?2?

n ?1

; (3)见解析.

(3)依题由 bn ?

a1 ? a2 ? ? an ?1 ? 1 ? ?1 ? ? n ? 2

a ? 1? 1? ? ? an 知 b1 ? a1 , b2 ? 1 ? ?1 ? ? a2 , n? 2 ? 2?

【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前 n 项和、不等式放缩等知 识,属于中高档题. (湖北) 22. (本小题满分 14 分)

1 已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? )n an (n ? N? ) ,e 为自然对数的底数. n

1 (Ⅰ )求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? )n 与 e 的大小; n
(Ⅱ )计算
b1 bb bb b bb , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 a1 a1a2 a1a2 a3 a1a2
1

bn 的公式,并给出证明; an

(Ⅲ )令 cn ? (a1a2 22. (14 分)

an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明: Tn ? eSn .

(Ⅰ ) f ( x) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? 1 ? e x . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减. 故 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 1 ? x ? e x .
1 1 1 ,得 1 ? ? e n ,即 (1 ? )n ? e . ① n n n b bb b b 1 1 (Ⅱ ) 1 ? 1 ? (1 ? )1 ? 1 ? 1 ? 2 ; 1 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2(1 ? ) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 32 ; a1 1 a1a2 a1 a2 2
1

令x?

b1b2 b3 b1b2 b3 1 ? ? ? 32 ? 3(1 ? )3 ? (3 ? 1)3 ? 43 . a1a2 a3 a1a2 a3 3

由此推测:

b1b2 a1a2

bn ? (n ? 1) n . an



下面用数学归纳法证明② . (1)当 n ? 1 时,左边 ? 右边 ? 2 ,② 成立. (2)假设当 n ? k 时,② 成立,即 当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? (k ? 1)(1 ?
b1b2 a1a2 bk bk ?1 b1b2 ? ak ak ?1 a1a2 b1b2 a1a2 bk ? (k ? 1) k . ak

1 k ?1 ) ak ?1 ,由归纳假设可得 k ?1

bk bk ?1 1 k ?1 ? ? (k ? 1)k (k ? 1)(1 ? ) ? (k ? 2) k ?1 . ak ak ?1 k ?1

所以当 n ? k ? 1 时,② 也成立. 根据(1) (2) ,可知② 对一切正整数 n 都成立. (Ⅲ )由 c n 的定义,② ,算术-几何平均不等式, bn 的定义及① 得
Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? cn ? (a1 )1 ? (a1a2 ) 2 ? (a1a2 a3 ) 3 ?
1 1 1

? (a1a2

1

an ) n

1

1

1

1

(b )1 (b b ) 2 (b b b ) 3 ? 1 ? 1 2 ? 1 2 3 ? 2 3 4
? b1 b ? b b ? b ? b3 ? 1 2? 1 2 ? 1? 2 2?3 3? 4 ?

(b b bn ) n ? 1 2 n ?1
? b1 ? b2 ? ? bn n(n ? 1) ? 1 ]? n( n ? 1) ? bn ? 1 n( n ? 1)

1 1 ? b1[ ? ? 1? 2 2 ? 3

1 1 1 ] ? b2 [ ? ? n(n ? 1) 2 ? 3 3? 4

? b1 (1 ? ?

1 1 1 ) ? b2 ( ? )? n ?1 2 n ?1 ?

1 1 ? bn ( ? ) n n ?1 1 ? (1 ? )n an n

b1 b2 ? ? 1 2

bn 1 1 ? (1 ? )1 a1 ? (1 ? )2 a2 ? n 1 2
? ean ? eS n .

? ea1 ? ea2 ?

即 Tn ? eSn . (陕西)21. (本小题满分 12 分)设 fn ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 , ??? , x n 的各项和, 其中 x ? 0 , n ? ? , n ? 2. ( I ) 证 明 : 函 数 Fn ? x ? ? fn ? x ? ? 2 在 ?

?1 ? ,且 ,1? 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 ( 记 为 xn ) ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 ? xn ; 2 2

gn ? x ? ,比较 fn ? x ?

( II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 与 gn ? x ? 的大小,并加以证明.

【答案】 (I)证明见解析; ( II ) 当 x = 1 时 ,

fn ( x) = gn ( x) , 当 x ? 1 时 ,

f n ( x )< gn x ( ,证明见解析. )
【解析】 试题分析: (I)先利用零点定理可证 Fn ? x ? 在 ? 单 调 性 可 证 Fn ? x ? 在 ?

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点,再利用函数的 ?2 ?

?1 ? ,1? 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 , 进 而 利 用 xn 是 Fn ? x ? 的 零 点 可 证 ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 ? xn ; ( II )先设 h ? x ? ? fn ? x ? ? gn ? x ? ,再对 x 的取值范围进行讨论来判断 2 2

h ? x ? 与 0 的大小,进而可得 fn ? x ? 和 gn ? x ? 的大小.
试题解析: (I) Fn ( x) = f n ( x) - 2 = 1 + x + x2 +

xn - 2, 则 Fn (1) = n - 1 > 0,

1 1 ?1? Fn ( ) ? 1 ? ? ? ? ? 2 2 ?2?
所以 Fn ( x) 在 ?

2

?1? 1? ? ? n ?1? ?2? ? ? ?2? 1 ?2? 1? 2

n ?1

?2? ?

1 ? 0, 2n

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点 xn . ?2 ? ?1 ? n ?1 又 Fn? ( x) ? 1 ? 2 x ? nx ? 0 ,故在 ? ,1? 内单调递增, ?2 ?
所以 Fn ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内有且仅有一个零点 xn . ?2 ?

因为 xn 是 Fn ( x) 的零点,所以 Fn ( xn )=0 ,即
n

1 - xn n+1 1 1 - 2 = 0 ,故 xn = + xn n +1 . 2 2 1 - xn

( n +1) (1 + x ) . (II)解法一:由题设, g ( x) =
n

2

设 h( x) = f n ( x) - gn ( x) = 1 + x + x + 当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) 当 x ? 1 时, h?( x) ? 1 ? 2 x ? 若

2

x

n

( n +1) (1 + x ) , x > 0. n

2

nx

n ?1

n ? n ? 1? x n?1 ? . 2

0 < x <1

,

h?( x) ? x n ?1 ? 2 x n ?1 ?

nx n ?1 ?

n ? n ? 1? n ?1 x 2

=

n ( n +1) n- 1 n ( n +1) n- 1 x x = 0. 2 2
n ?1

若 x > 1 , h?( x) ? x

? 2 x n ?1 ?

nx n ?1 ?

n ? n ? 1? n ?1 n ( n +1) n- 1 n ( n +1) n- 1 x = x x = 0. 2 2 2

所以 h( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减, 所以 h( x) < h(1) = 0 ,即 f n ( x) < gn ( x) . 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < gn ( x) 解法二 由题设, f n ( x) = 1 + x + x + 当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) 当 x ? 1 时, 用数学归纳法可以证明 f n ( x) < gn ( x) . 当 n = 2 时, f 2 ( x) - g 2 ( x) = 2

( n +1) (1 + x ) , x > 0. x , g ( x) =
n n n

2

1 (1 - x) 2 < 0, 所以 f 2 ( x) < g2 ( x) 成立. 2

假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 f k ( x) < gk ( x) . 那么,当 n = k +1 时,

f k+1 ( x) = f k ( x) + x
又 g k+1 ( x) 令

k +1

< g k ( x) + x
k

k +1

( k +1) (1 + x ) + x =
k

k +1

2

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 . = 2

2x

k +1

+( k +1) x + k +1 kx = 2

k +1

- ( k +1) x k +1 2
, 则

hk ( x) = kxk +1 - ( k +1) xk +1(x > 0)

hk ? ( x) ? k (k ? 1) x k ? k ? k ? 1? x k ?1 ? k ? k ? 1? x k ?1 (x ? 1)

? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (0,1) 上递减; 所以当 0 < x < 1 , hk
? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (1, ??) 上递增. 当 x > 1 , hk
所以 hk ( x) > hk (1) = 0 ,从而 g k+1 ( x) >

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

故 f k +1 ( x) < gk +1 ( x) .即 n = k +1 ,不等式也成立. 所以,对于一切 n ? 2 的整数,都有 f n ( x) < gn ( x) . 解法三 : 由已知,记等差数列为 {ak } , 等比数列为 {bk } , k = 1, 2,

, n +1. 则 a1 = b1 = 1 ,

an+1 = bn+1 = xn ,
所以 ak ? 1+ ? k ? 1? ?

xn ?1 (2 ? k ? n) , bk ? xk ?1 (2 ? k ? n), n

令 mk (x) ? ak ? bk ? 1 ?

? k ?1? ? xn ?1?

n x = 1 当 时, ak =bk ,所以 f n ( x) = gn ( x) .
当 x ? 1 时, mk ? ( x) ?

? x k ?1 , x ? 0(2 ? k ? n).

k ? 1 n ?1 nx ? (k ? 1) x k ? 2 ? ? k ? 1? x k ? 2 ? x n ? k ?1 ? 1? n

而 2 ? k ? n ,所以 k - 1 > 0 , n ? k ? 1 ? 1 .
n - k +1 < 1, mk ? ( x ) ? 0 , 若 0 < x <1 , x

当 x >1 , x

n - k +1

? ( x) ? 0 , > 1 , mk

从而 mk ( x) 在 (0,1) 上递减, mk ( x) 在 (1, ??) 上递增.所以 mk ( x) > mk (1) = 0 , 所以当 x ? 0且x ? 1 时,ak ? bk (2 ? k ? n), 又 a1 = b1 , an+1 = bn+1 ,故 f n ( x) < gn ( x) 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < gn ( x) 考点:1、零点定理;2、利用导数研究函数的单调性. (四川)16.设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

【答案】 (1) an ? 2n ; (2)10. 【解析】 试题分析: (1)利用 an ? S n ? S n ?1 及题设可得 an 与 an ?1 的关系为 an ? 2an ?1 (n ? 1) ,所以 这是一个公比为 2 的等比数列.再利用 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,可求得 a1 ? 2 ,从而得通项 公式.(2)由(1)得

1 1 ? n ,这仍然是一个等比数列,利用等比数列的前 n 项和公式, an 2

可求得 Tn ? 1 ?

1 1 1 ,代入 | Tn ? 1|? ,即可得使 | Tn ? 1|? 成立的 n 的最小值. n 2 1000 1000

试题解析: (1)由已知 S n ? 2an ? a1 ,有 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 (n ? 1) , 即 an ? 2an ?1 (n ? 1) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 . 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n .

考点:本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和公式等基础知 识,考查运算求解能力. ( 天 津 ) 18. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足

an ? 2 ? qan (q 为实数,且q ? 1),n ? N* , a1 ? 1, a2 ? 2 ,且

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列. (I)求 q 的值和 {an } 的通项公式;
(II)设 bn ?

log 2 a2 n 的 前 n 项和. {bn} , n ? N * ,求数列 a2 n ?1

?1 ? n2 2 , n为奇数, n?2 ? 【答案】(I) an ? ? n ; (II) Sn ? 4 ? n ?1 . 2 ?2 2 , n为偶数. ?

【解析】 试题分析:(I)由 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 得 a4 ? a2 ? a5 ? a3 先求出

(

) (

) (

) (

)

q ,分 n 为奇数与偶数讨论即可;(II)求出数列 ?bn ? 的通项公式,用错位相减法求和即可.
试题解析:(I) 由已知,有 a3 + a4 - a2 + a3 = a4 + a5 - a3 + a4 ,即

(

) (

) (

) (

)

a4 ? a2 ? a5 ? a3 ,
所以 a2 ( q ? 1) ? a3 ( q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 , 当 n ? 2k ? 1( n ? N *) 时, an ? a2 k ?1 ? 2
k k ?1

?2

n ?1 2



当 n ? 2k ( n ? N *) 时, an ? a2 k ? 2 ? 2 2 ,
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以 {an } 的通项公式为 an ? ? n ?2 2 , n为偶数. ?

n

考点:1.等差中项定义;2.等比数列及前 n 项和公式.3.错位相减法. (浙江)20.(本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 = (1)证明:1 ?

1 * 2 且 an ?1 = an - an (n ? N ) 2

an ; ? 2 (n ? N * ) an ?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

S 1 1 * ? n? (n ? N ). 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析.

考点:数列与不等式结合综合题.


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