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www.144510.com:【数学】北师大版必修四:2.6《平面向量数量积的坐标表示》ppt课件_图文

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§6 平面向量数量积的坐标

表示

如果没有运算,向量只是一个“路标”,因
为有了运算,向量的力量无限.

下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺
利起航吧!

1.掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重 要的知识点.(重点) 2.会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关

知识解决实际问题.如判断垂直、求模、夹角等.
(难点)

思考1:向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标 语言”表示,向量的数量积能否由“坐标语言”来 表示?

? ? 若两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ? ?

【探索练习】

? 设x轴上单位向量为 i ,
? y轴上单位向量为 j ,

y

? b

? j

? a
? i

o

x

请计算下列式子:

① ③

? ? i ?i = ? ? i?j=

1 0

② ④

? ? j? j ? ? j ?i

= =

1 0

? ? ? ? ? ? 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j )

? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 x2i ? i ? x1 y2i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j ? j

? x1 x2 ? y1 y2 .
这就是说,两个向量的数量积等于相应坐标乘积 的和,即

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .

练一练:求值

? ? ? ? 设a ? (5, ?7), b ? (?6, ?4), 求a ? b.

解:x1 ? 5, x2 ? ?6; y1 ? ?7, y2 ? ?4. ? ? 所以a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 5 ? ? ?6 ? ? ? ?7 ? ? ? ?4 ? ? ?30 ? 28 ? ?2.
区分好横纵坐标, 准确代入数值, 精心计算.

思考2:如何用向量的坐标来表示两向量数量积

的相关性质? (1)垂直的充要条件:
? ? 设非零向量a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

? ? ? ? a ? b ? a? b ? 0.

? ? 坐标表示为: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

(2)求模公式:

? ? ? | a |? a ? a .

? ? 坐标表示为: 设 a ? ( x, y ),则 |a|= x 2 ? y 2 .
特别地:

??? ? 若A( x1 , y1 ),B(x2 , y2 ),则 AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ,
??? ? A,B两点间的距离d ?| AB|?
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 .

? ? ? ? 设非零向量a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), a与b的夹角为?,则
? ? a ?b cos ? ? ? ? | a || b |

(3)夹角公式:

坐标表示为: cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2

? ? 例1 已知 a ? ?3,2? ,b ? ?1, ?1? 夹角的余弦值.

? ? ,求向量 a 与 b 的

? ? 解:设向量a与b 的夹角为?,则 cos ? ? 3 ? 1 ? 2 ? ? ?1? 3 ? 2 ? 1 ? ? ?1?
2 2 2 2

26 ? , 26

? ? 26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26

技巧方法:
1.细心代入,精确计算.

2.分步计算,化整为零.

例2

求以点C(ɑ,b)为圆心,r为半径的圆的方程.
M C

解:设M(x,y)是圆C上任意一点, y
???? ? ???? ? ???? ? 则| CM|=r, 即 CM ·CM = r2.
???? ? 因为 CM =(x-a,y-b),

o

x

所以(x-a)2+(y-b)2=r2,

即圆的标准方程.
特别地:如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0 , 那么圆的标准方程为 x2+y2=r2.

提升总结:
设圆上任意一点M(x,y),构造向
???? ? 量 MC ,利用向量的模为定值,列出

相等关系,化简即得所求曲线的方程.

例3 已知圆C:(x-ɑ)2+(y-b)2=r2,求与 圆C相切于点Po(xo,yo)的切线方程.(如图) 解: 设P(x,y)为所求直线 l上一点.

y
C.

.
P0

l P

o

x

根据圆的切线性质,

? ???? ??? ???? 有CP0 ⊥ l ,即CPo · P0 P =0, ??? ? ???? 因为 CP0 =(xo-ɑ,yo-b), P0 P =(x-xo,y-yo),所以(xo-ɑ)(x-xo)+(yob)(y-yo)=0.

特别地:
若ɑ=0,b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2,与它相切于 P0(x0,y0)的切线方程为x0(x-x0)+y0(y-y0)=0, 由于x02+y02=r2,故此方程可化为x0x+y0y=r2.

提升总结: 将相关向量用坐标表示,根据互相垂 直的向量的数量积等于零,写出表达 式.

直线的方向向量
由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量 ?? m =(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非

?? 零向量 m 称为直线l的方向向量.

例4

已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0,求

直线l1和l2的夹角.

解: 任取直线l1和l2的方向向量
?? ? 3? ? m ? ?1, ? ? 和n ? ?1, ?7 ? . 4? ? ?? ? ?? ? ?? ? 设向量m与n夹角为?,因为m ? n ? ? m ??? n cos ?,从而 cos ? ? ? 3? 1?1 ? ? ? ? ? ? ?7 ? ? 4?
2 2

2 ? 3? 2 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?7 ? ? 4? 所以? ? 45?,即直线l1和l2的夹角为45?.

2 ? , 2

提升总结:
?? 利用斜率为k的直线l的方向向量为 m =

(1,k),写出直线l1和l2的方向向量, 然后运用向量的夹角公式计算出夹角的 余弦值,从而求出夹角. 注意:直线的夹角取值范围[0,
? 2

],当求

出的向量的夹角为钝角时,应取其补角.

1.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边

形ABCD的形状是 矩形 .
2.(2013·湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1), ??? ? D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为( A )
23 若 (a ? xb)⊥ (a ? b), 则x ? __ 3 3.给定两个向量 a ? (3, 4), b ? (2, ?1),

A.3 2 2

B. 3 15 2

C.-

3 2 2

3 15 D.2

?1 . 若 (a ? xb)∥(a ? b), 则x ? ____

4.(2014·江西高考)已知单位向量
1 e1,e2的夹角为?,且cos?= , 若向量 3

a ? 3e1 ? 2e2 , 则 a =

3

? ? ? ? sin ? ), b ? (1, 2 5.已知向量 a ? (1, cos? ) ,则 a ? b 的最大值为____.

6.已知向量

? (1)求 b的夹角θ 的余弦值. ? ? ? ? (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 垂直,求λ 的值. ? ? 解:()因为 1 a ? b ? 4 ? (?1) ? 3? 2 ? 2,
? a 与

? ? a ? (4,3), b ? (?1,2)

? 2 2 又 | a |? 4 ? 3 ? 5,
? | b |? (?1) 2 ? 22 ? 5,
? ? a ?b 2 2 5 ? ? 所以cos ? ? ? = . 25 | a |?| b | 5 5

? ? ? ? 因为(a ? ?b) ? (2a ? b),

? ? (2)a ? ?b ? (4 ? ?,3 ? 2? ), ? ? 2a ? b ? (7,8),

所以7 ? (4 ? ? ) ? 8 ? (3 ? 2? ) ? 0,
52 解得? ? . 9

理解和应用向量坐标表示的公式解决问题: 1.数量积的坐标表示 ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 2.向量坐标表示的求模公式
?2 ? 2 2 a ? x1 ? y1 或 a ? x12 ? y12

3.平面内两点间的距离公式
??? ? AB ? (x1 ? x2 ) 2 ? (y1 ? y2 ) 2

4.两向量夹角的余弦
cos ? ? x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

5.向量垂直的判定 ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

不患位之不尊,而患德之不崇;不耻禄
之不伙,而耻智之不博.

——张衡


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