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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列的派生数列拓展资料素材 北师大版必修5

等比数列的派生数列
我们约定由等比数列的组合生成的新数列为派生数列,派生数列有非常漂亮的性质. 性质 1 设等比数列{an}的公比为 q, k∈N, k≥1, i∈N, i≥1, 若 b1=ai, b2=ai+k+1, b3=ai+2(k+1), …, bn=ai+(n-1)(k+1),…,则数列{bn}仍为等比数列,其公比为 q .
k+1

特别地,当 i=1,k=1 时,{bn}成为{an}的所有奇数项组成的数列;当 i=2,k=1 时,{bn} 由{an}的所有偶数项组成,显然它们均为等比数列.且公比为 q . 性质 2 设等比数列{an}的公比为 q,k∈N.k≥1,若 b1=a1+a2+…+ak,b2=ak+1+ak+2+… +a2k, …, bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank, …, 则数列{bn}仍为等比数列, 即 Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, …, Snk-S(n-1)k,…成等比数列,其公比为 q .
k 2

特别地,当 k=3 时,b1=a1+a2+a3,bi=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,显然, {bn}是公比为 q 的等比数列,此即为 1999 年全国高中数学联赛的一道试题. 推广 设等比数列{an}的公比为 q,k∈N,k≥1,λ ∈R.
3

特别地,当 λ =1 时,即成性质 2,当 λ =2 时,用途广泛. 性质 3 设等比数列{an}的公比为 q,k∈N,k≥1,若 b1=a1a2…ak,b2=ak+1ak+2…a2k,…bn= a(n-1)k+1a(n-1)k+2…an)k,…,则{bn}仍为等比数列,其公比为 q .
k2

1

2


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