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福建省厦门市海沧中学2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016 学年福建省厦门市海沧中学高二(下)期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知命题 p:? x∈R,都有 2x≥0 且 x2﹣2x≥0,则¬p 为( ) x 2 A.? x∈R,都有 2 ≤0 或 x ﹣2x≤0 B.? x0∈R,使得 2x0≥0 或 x02﹣2x0≥0 C.? x0∈R,使得 2x0≤0 且 x02﹣2x0≤0 D.? x0∈R,使得 2x0<0 或 x02﹣2x0<0 2.函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点( ) A. (0,1) B. (0,3) C. (1,0) D. (3,0) 3.实数 a=0.2 ,b=log 0.2,c= 的大小关系正确的是( )

A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 4.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e 5.根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区间是( x lnx 1 0 3 2 0.69 1.5 e 1 1.10 3 1.10 1 5 1.61 0.6 )



A. (1,2) B. (2,e) C. (e,3) D. (3,5) 6.下列四个命题: ①命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”; ②“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0,则?p 为:? x∈R,均有 x2+x+1≥0. 其中,错误的命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7. 某程序的框图如图所示, 运行该程序时, 若输入的 x=0.1, 则运行后输出的 y 值是 (



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A.﹣1 B.0.5 C.2 D.10 8.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x﹣4(x≥0) ,则不等式 f(x﹣2)>0 的解集为( ) A.{x|x<﹣2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<﹣2 或 x>2} 9.已知函数 f(x)=ax3+3x2﹣x+2 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( ) A. D.[﹣3,0) (﹣∞,3) B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣3,0) 10.已知 f(x)=ln(x2+1) ,g(x)=( )x﹣m,若? x1∈[0,3],? x2∈[1,2],使得 f (x1)≥g(x2) ,则实数 m 的取值范围是( A.[ ,+∞) B. (﹣∞, ] ) D. (﹣∞,﹣ ] )

C.[ ,+∞)

11.函数 y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为(

A.

B.

C.

D.

12.设函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)+f(﹣4)=1,则 a=( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.4
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二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f(x)= 的定义域为 M,g(x)=ln(1+x)的定义域为 N,则 M∩N=______.

14.若 f(x)是周期为 4 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 f=______. 15.用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小值.设 (x)的最大值为______. 16.已知幂函数 f(x)的图象经过点( , ) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) (x1<x2)是函 ,则 f

数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2) ;②x1f(x1)<x2f(x2) ; ③ > ;④ < .其中正确结论的序号是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (Ⅰ)已知命题 p:函数 f(x)=(2a﹣5)x 是 R 上的减函数; 命题 q:在 x∈(1,2)时,不等式 x2﹣ax+2<0 恒成立,若 p∨q 是真命题,求实数 a 的取 值范围; (Ⅱ)设条件 p:2x2﹣3x+1≤0,条件 q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=log2(2x+1) (Ⅰ)求证:函数 f(x)在(﹣∞,+∞)内单调递增; (Ⅱ)若 g(x)=log2(2x﹣1) (x>0) ,且关于 x 的方程 g(x)=m+f(x)在[1,2]上有解, 求 m 的取值范围. 19.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 万件,需另投入的成本为 C(x) (单位:万元) ,当年产量小于 80 万件时,C(x)= x2+10x;当年产量不小于 80 万件时, C(x)=51x+ ﹣1450.假设每万件该产品的售价为 50 万元,且该厂当年生产的该产

品能全部销售完. (1)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(万件)的函数关系式; (2)年产量为多少万件时,该厂在该产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 20.设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0) ,且在 P 点处的切线率为 2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)证明:f(x)≤2x﹣2. 21.设 f(x)=ex(ax2+x+1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行. (I)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (II)若 θ∈[0, ],且|f(cosθ)﹣f(sinθ)|≤m 恒成立,求 m 的取值范围.

22.已知函数 f(x)=ex+2x2﹣3x (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 x≥1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ax 恒成立,求实数 a 的取值范围;

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(3)求证函数 f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时 相应 x 的近似值(误差不超过 0.2) ; (参考数据 e≈2.7, ≈1.6,e0.3≈1.3) .

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2015-2016 学年福建省厦门市海沧中学高二(下)期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知命题 p:? x∈R,都有 2x≥0 且 x2﹣2x≥0,则¬p 为( ) A.? x∈R,都有 2x≤0 或 x2﹣2x≤0 B.? x0∈R,使得 2x0≥0 或 x02﹣2x0≥0 C.? x0∈R,使得 2x0≤0 且 x02﹣2x0≤0 D.? x0∈R,使得 2x0<0 或 x02﹣2x0<0 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以,命题 p:? x∈R,都有 2x≥0 且 x2﹣2x≥0,则¬p 为:? x0∈R,使得 2x0<0 或 x02 ﹣2x0<0. 故选:D. 2.函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点( ) A. (0,1) B. (0,3) C. (1,0) D. (3,0) 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【分析】由于函数 y=ax(a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1) ,可得函数 y=ax+2 图象一定 过点(0,3) ,由此得到答案. 【解答】解:由于函数 y=ax(a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1) ,故函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,3) , 故选 B.

3.实数 a=0.2

,b=log

0.2,c=

的大小关系正确的是(



A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质;不等关系与不等式. 【分析】根据指数函数,对数函数和幂函数的性质分别判断 a,b,c 的大小,即可判断. 【解答】 解: 根据指数函数和对数函数的性质, 知 log 即 0<a<1,b<0,c>1, ∴b<a<c. 故选:C. 4.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e 【考点】导数的乘法与除法法则;导数的加法与减法法则.
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0.2<0, 0<0.2

<1,





【分析】已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,利用求导公式对 f(x)进行求导,再把 x=1 代入,即可求解; 【解答】解:∵函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, (x>0) ∴f′(x)=2f′(1)+ ,把 x=1 代入 f′(x)可得 f′(1)=2f′(1)+1, 解得 f′(1)=﹣1, 故选 B;

5.根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区间是( x lnx 1 0 3 2 0.69 1.5 e 1 1.10 3 1.10 1 5 1.61 0.6



A. (1,2) B. (2,e) C. (e,3) D. (3,5) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由所给的表格可得 f(e)=﹣0.1<0,f(3)=0.1>0,故有 f(e)f(3)<0,由 此求得函数的零点所在的区间. 【解答】解:由所给的表格可得 f(e)=1﹣1.1=﹣0.1<0,f(3)=1.1﹣1=0.1>0,∴f(e) f(3)<0, 故函数的零点所在的区间为(e,3) , 故选 C. 6.下列四个命题: ①命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”; ②“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0,则?p 为:? x∈R,均有 x2+x+1≥0. 其中,错误的命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①利用互为逆否命题的两个命题之间的关系可判断其正误; ②利用充分、必要条件的概念可判断②; ③利用真值表可判断③的正误; ④利用命题及其否定可判断④的正误. 【解答】解:①命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”,正 确; ②若 x>2 则 x2﹣3x+2>0,充分性成立;反之,若 x2﹣3x+2>0,则 x>2 或 x<1,必要性 不成立, 即“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件,②正确; ③若 p∧q 为假命题,则 p,q 必有一个为假命题,不一定均为假命题,故③错误; ④对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0,则?p 为:? x∈R,均有 x2+x+1≥0,正确. 故选:A.

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7. 某程序的框图如图所示, 运行该程序时, 若输入的 x=0.1, 则运行后输出的 y 值是 (



A.﹣1 B.0.5

C.2

D.10

【考点】程序框图. 【分析】按照程序框图的流程,判断输入的值是否满足判断框中的条件,“是”按 y=lgx 求出 y. 【解答】解:当 x=0.1 时,满足第一个判断框中的条件,执行“是”, 也满足第二个判断框中的条件,执行“是”, 将 x=0.1 代入 y=lgx 得 y=﹣1 故选 A. 8.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x﹣4(x≥0) ,则不等式 f(x﹣2)>0 的解集为( ) A.{x|x<﹣2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<﹣2 或 x>2} 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质. 【分析】根据给出的函数在 x≥0 时的解析式,求出函数在 x<0 时的解析式,然后分段解不 等式 f(x)>0,最后把所得区间端点右移 2 个单位即可. 【解答】解:设 x<0,则﹣x>0,所以 f(﹣x)=﹣2x﹣4,又函数为偶函数,所以 f(x)= ﹣2x﹣4, 当 x≥0 时,由 f(x)=2x﹣4>0,得 x>2,当 x<0 时,由 f(x)=﹣2x﹣4>0,得 x<﹣2, 所以不等式 f(x﹣2)>0 的解集为{x|x<0,或 x>4}. 故选:B. 9.已知函数 f(x)=ax3+3x2﹣x+2 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( A. D.[﹣3,0) (﹣∞,3) B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣3,0) )

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出 f(x)的导函数,由函数在 R 上是减函数,得到导函数恒小于 0,导函数为开 口向下且与 x 轴最多有一个交点时,导函数值恒小于 0,即 a 小于 0,根的判别式小于等于 0,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的取值范围. 【解答】解:由 f(x)=ax3+3x2﹣x+2,得到 f′(x)=3ax2+6x﹣1,
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因为函数在 R 上是减函数,所以 f′(x)=3ax2+6x﹣1<0 恒成立, 所以 ,由△=36+12a≤0,解得 a≤﹣3,

则 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]. 故选 B 10.已知 f(x)=ln(x2+1) ,g(x)=( )x﹣m,若? x1∈[0,3],? x2∈[1,2],使得 f (x1)≥g(x2) ,则实数 m 的取值范围是( A.[ ,+∞) B. (﹣∞, ] ) D. (﹣∞,﹣ ]

C.[ ,+∞)

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围,再比较其最值即可求实数 m 的取值范围. 【解答】解:因为 x1∈[0,3]时,f(x1)∈[0,ln10]; x2∈[1,2]时,g(x2)∈[ ﹣m, ﹣m]. 故只需 0≥ ﹣m? m≥ . 故选 A. 11.函数 y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排除法,可 得答案. 【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|, ∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|, 故函数为偶函数, 当 x=±2 时,y=8﹣e2∈(0,1) ,故排除 A,B; 2 当 x∈[0,2]时,f(x)=y=2x ﹣ex,
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∴f′(x)=4x﹣ex=0 有解, 故函数 y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除 C, 故选:D 12.设函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称,且 f(﹣2)+f(﹣4)=1,则 a=( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.4 【考点】函数的图象与图象变化. 【分析】先求出与 y=2x+a 的反函数的解析式,再由题意 f(x)的图象与 y=2x+a 的反函数的 图象关于原点对称,继而求出函数 f(x)的解析式,问题得以解决. 【解答】解:∵与 y=2x+a 的图象关于 y=x 对称的图象是 y=2x+a 的反函数, y=log2x﹣a(x>0) , 即 g(x)=log2x﹣a, (x>0) . ∵函数 y=f(x)的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称, ∴f(x)=﹣g(﹣x)=﹣log2(﹣x)+a,x<0, ∵f(﹣2)+f(﹣4)=1, ∴﹣log22+a﹣log24+a=1, 解得,a=2, 故选:C. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f(x)= 的定义域为 M,g(x)=ln(1+x)的定义域为 N,则 M∩N= (﹣

1,1) . 【考点】交集及其运算. 【分析】分别求出 f(x)与 g(x)的定义域,确定出 M 与 N,求出两集合的交集即可. 【解答】解:由 f(x)= ,得到 1﹣x>0,即 x<1,

∴M=(﹣∞,1) , g x =ln 1 由 ( ) ( +x) ,得到 1+x>0,即 x>﹣1, ∴N=(﹣1,+∞) , 则 M∩N=(﹣1,1) , 故答案为: (﹣1,1) .

14.若 f(x)是周期为 4 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 f= 【考点】函数的周期性;函数的值. 【分析】利用函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,将 f=f( ( ) ,再代入 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,然后求值. 【解答】解:∵函数 f(x)是周期为 4 的奇函数, ∴f=f=f(﹣ )=﹣f( ) .
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)=f(﹣ )=﹣f

∵当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ =2× × = .

∴f(﹣ )=﹣f( )=﹣ . ∴f=f(﹣ )=﹣f( )=﹣ . 故答案为:﹣ .

15.用 min{a,b}表示 a,b 两个数中的较小值.设

,则 f

(x)的最大值为 1 . 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】利用新定义,化简函数,分别确定函数的值域,即可求得 f(x)的最大值. 【解答】解:由题意,

∵0<x≤1 时,2x﹣1∈(﹣1,1];x>1 时, ∈(0,1) ∴f(x)的最大值为 1 故答案为:1.

16.已知幂函数 f(x)的图象经过点( ,

) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) (x1<x2)是函

数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2) ;②x1f(x1)<x2f(x2) ; ③ > ;④ < .其中正确结论的序号是 ②③ .

【考点】幂函数的性质. 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式;幂函数的指数大于 0 得到幂函数在(0,+ ∝)上的单调性;图象呈上升趋势,判断出②③正确. 【解答】解:依题意,设 f(x)=xα,则有( )α= 所以 α= ,于是 f(x)=x . =x 在定义域[0,+∞)内单调递增, 由于函数 f (x) 所以当 x1<x2 时, 必有 f (x1) <f(x2) , 从而有 x1f(x1)<x2f(x2) ,故②正确; 又因为 ,分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 ,即( )α=( ) ,

图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故
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,所以③正确.

答案②③ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (Ⅰ)已知命题 p:函数 f(x)=(2a﹣5)x 是 R 上的减函数; 命题 q:在 x∈(1,2)时,不等式 x2﹣ax+2<0 恒成立,若 p∨q 是真命题,求实数 a 的取 值范围; (Ⅱ)设条件 p:2x2﹣3x+1≤0,条件 q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 (Ⅰ)求出命题 p、q 是真命题时 x 的取值范围,再根据 p∨q 是真命题时 p 真或 q 真,从而求出 a 的取值范围; (Ⅱ)求出命题 p、q 是真命题时 x 的取值范围,再求出¬p、¬q 对应的集合,利用¬p 是 ¬q 的必要不充分条件,求出 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)在 p 中,∵函数 f(x)=(2a﹣5)x 是 R 上的减函数, ∴0<2a﹣5<1,解得 <a<3; 在 q 中,由 x2﹣ax+2<0 得 ax>x2+2, ∵1<x<2, ∴a> =x+ 在 x∈(1,2)时恒成立; ,3) ,

又当 x∈(1,2)时,x+ ∈[2

∴a≥3; ∵p∨q 是真命题,故 p 真或 q 真, ∴有 <a<3 或 a≥3; ∴a 的取值范围是 a> ; (Ⅱ)命题 p 为:{x/ 命题 q 为:{ x/a≤x≤a+1}, ¬p 对应的集合 A={x/x>1,或 x< }, ¬q 对应的集合为 B={x/x>a+1,或 x<a}, ∵若¬p 是¬q 的必要不充分条件, ∴B? A, ∴a+1≥1 且 ∴0≤a≤ . 18.已知函数 f(x)=log2(2x+1) (Ⅰ)求证:函数 f(x)在(﹣∞,+∞)内单调递增; , },

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(Ⅱ)若 g(x)=log2(2x﹣1) (x>0) ,且关于 x 的方程 g(x)=m+f(x)在[1,2]上有解, 求 m 的取值范围. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【分析】 (1)根据定义对函数的单调性判断证明. (2)转化为 m=g(x)﹣f(x)值域求解范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=log2(2x+1) , 任取 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=log2(2x+1+1)﹣log2( ∵x1<x2, ∴0< <1, +1)=log2 ,

∴log2

<0,

∴f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在(﹣∞,+∞)内单调递增; (2)∵g(x)=m+f(x) , ∴m=g(x)﹣f(x)=log2(2x﹣1)﹣log2(2x+1)=log2 ∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4, ∴log2 ≤log2(1﹣ )≤log2 , =log2(1﹣ ) ,

故 m 的取值范围.[log2 ,log2 ]. 19.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 万件,需另投入的成本为 C(x) (单位:万元) ,当年产量小于 80 万件时,C(x)= x2+10x;当年产量不小于 80 万件时, C(x)=51x+ ﹣1450.假设每万件该产品的售价为 50 万元,且该厂当年生产的该产

品能全部销售完. (1)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(万件)的函数关系式; (2)年产量为多少万件时,该厂在该产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 【考点】函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 【分析】 (1)分两种情况进行研究,当 0<x<80 时,投入成本为 根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,当 x≥80 时,投入成本为 ,根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,最后写成分 段函数的形式,从而得到答案;
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(万元) ,

(2)根据年利润的解析式,分段研究函数的最值,当 0<x<80 时,利用二次函数求最值, 当 x≥80 时,利用基本不等式求最值,最后比较两个最值,即可得到答案. 【解答】解: (1)∵每件商品售价为 0.005 万元, ∴x 千件商品销售额为 0.005×1000x 万元, ①当 0<x<80 时,根据年利润=销售收入﹣成本, ∴ ②当 x≥80 时,根据年利润=销售收入﹣成本, ∴ = . = ;

综合①②可得,



(2)由(1)可知,



①当 0<x<80 时,

=



∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 万元; ②当 x≥80 时, 当且仅当 =1200﹣200=1000, ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L 设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线

y=f(x)过 P(1,0) ,且在 P 点处的切线率为 2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)证明:f(x)≤2x﹣2. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,再利用 f(1)=0 以及 f′(1)=2 建立方程组,联解可得 a, b 的值; (Ⅱ)转化为证明函数 y=f(x)﹣(2x﹣2)的最大值不超过 0,用导数工具讨论单调性, 可得此函数的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)f'(x)=1+2ax+ ,

由已知条件得:

,即

解之得:a=﹣1,b=3 (Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞) ,由(Ⅰ)知 f(x)=x﹣x2+3lnx, 设 g(x)=f(x)﹣(2x﹣2)=2﹣x﹣x2+3lnx,则 =
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当时 0<x<1,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0 所以在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减 ∴g(x)在 x=1 处取得最大值 g(1)=0 即当 x>0 时,函数 g(x)≤0 ∴f(x)≤2x﹣2 在(0,+∞)上恒成立 21.设 f(x)=ex(ax2+x+1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行. (I)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (II)若 θ∈[0, ],且|f(cosθ)﹣f(sinθ)|≤m 恒成立,求 m 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)根据导函数的概念可得 f'(1)=0,代入求出 a,利用导函数的正负判断函数 的单调性即可; (Ⅱ)|f(cosθ)﹣f(sinθ)|≤m 恒成立,只需求出左式的最大值即可,根据(1)式得出 函数的单调性,求出函数的最大值,最小值进而得出|f(cosθ)﹣f(sinθ)|的最大值,求 出 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1) .由条件知,f′(1)=0, ∴a+3+2a=0, ∴a=﹣1. ∴f′(x)=ex(﹣x2﹣x+2)=﹣ex(x+2) (x﹣1) . 故当 x∈(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(﹣2,1)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(﹣∞,﹣2) , (1,+∞)单调减少,在(﹣2,1)单调增加; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)在[0,1]单调增加, 故 f(x)在[0,1]的最大值为 f(1)=e,最小值为 f(0)=1. 从而对任意 x1,x2∈[0,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1. 而当 时,cosθ,sinθ∈[0,1].

从而|f(cosθ)﹣f(sinθ)|≤e﹣1, 所以 m≥e﹣1… 22.已知函数 f(x)=ex+2x2﹣3x (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 x≥1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证函数 f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时 相应 x 的近似值(误差不超过 0.2) ; (参考数据 e≈2.7, ≈1.6,e0.3≈1.3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间 上函数的最值. 【分析】 (1)求导数,可得切线斜率,求出切点的坐标,即可得出切线方程; 2 ( )分离参数,构造函数求最值,即可求实数 a 的取值范围; (3)证明 f'(0)?f'(1)<0,f'(x)在[0,1]上单调递增,可得 f'(x)在[0,1]上存在唯 一零点,f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点,再利用二分法求出 x 的近似值. 【解答】解: (1)∵f(x)=ex+2x2﹣3x, ∴f′(x)=ex+4x﹣3,
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∴f′(1)=e+1, ∵f(1)=e﹣1, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣e+1=(e+1) (x﹣1) ,即(e+1)x﹣y ﹣2=0; (2)x≥1 时,不等式 f(x)≥ax,可得 a≤ ,

令 g(x)=

,∴g′(x)=



∵x≥1,∴g′(x)>0, ∴g(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴g(x)min=g(1)=e﹣1, ∴a≤e﹣1; (3)∵f'(0)=e0﹣3=﹣2<0,f'(1)=e+1>0, ∴f'(0)?f'(1)<0 令 h(x)=f'(x)=ex+4x﹣3, 则 h'(x)=ex+4>0,f'(x)在[0,1]上单调递增, ∴f'(x)在[0,1]上存在唯一零点,f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点. 取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算如下 取区间[an, 区间中点坐标 中点对应导数值 |an﹣bn| bn ] 1 [0,1] f′(x0)=0.6>0 f′(x1)=﹣0.5<0 [0,0.6] 0.6 0.3

[0.3,0.6]

由上表可知区间[0.3,0.6]的长度为 0.3,所以该区间的中点 x2=0.45,到区间端点的距离小 于 0.2,因此可作为误差不超过 0.2 一个极值点的相应 x 的值 ∴函数 y=f(x)取得极值时,相应 x≈0.45.

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2016 年 9 月 26 日

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