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2016版【3年高考2年模拟】新课标数学(文)一轮复习(课件+检测):第十四章 几何证明选讲2年模拟

A组

2014—2015 年模拟·基础题组 限时:35 分钟

1.(2014 陕西西安五校 4 月联考,15B)如图,PA 切圆 O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OD,则 PD 的长为 .

2.(2015 河南焦作期中)已知 AB 为半圆 O 的直径,且 AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的 切线 CD,过 A 点作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (1)证明:AC 平分∠BAD; (2)求 BC 的长.

3.(2014 河南郑州二模,22)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (1)证明:A、E、F、M 四点共圆; (2)若 MF=4BF=4,求线段 BC 的长.

4.(2014 河南郑州外国语学校月考,22)如图,已知☉O1 与☉O2 相交于 A、 B 两点,过点 A 作☉O1 的切线交☉O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交☉O1、 ☉O2 于点 D、 E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是☉O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

5.(2014 吉林实验中学期中,22)如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与圆 O1、圆 O2 交于 C、D 两点. 求证:(1)PA·PD=PE·PC; (2)AD=AE.

B组

2014—2015 年模拟·提升题组 限时:45 分钟

1.(2014 天津六校三模,12)如图所示,已知☉O1 与☉O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作☉O1 的切线 交☉O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交☉O1、☉O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P.若 AD 是☉O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,则 AB 的长为 .

2.(2015 山西大学附中月考,23)如图所示,已知 PA 与☉O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆 于 B,C 两点,弦 CD∥AP,AD,BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE =EF·EC. (1)求证:CE·EB=EF·EP; (2)若 CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.
2

3.(2014 山西四校联考,22)如图所示,PA 为圆 O 的切线,A 为切点,PO 交圆 O 于 B,C 两 点,PA=10,PB=5,∠BAC 的平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (1)求证: = ;


(2)求 AD·AE 的值.

4.(2014 河北石家庄二模,22)如图,已知 AB 为圆 O 的一条直径,以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点,交圆 O 于 E、F 两点,过点 D 作垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点. (1)求证:B、D、H、F 四点共圆; (2)若 AC=2,AF=2 2,求△BDF 外接圆的半径.

5.(2014 吉林长春三调,22)如图,圆 M 与圆 N 交于 A、B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别 交圆 M 和圆 N 于 C、D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F,已知 BC=5,BD=10. (1)求 AB 的长; (2)求 .


6.(2014 河北衡水中学二调,22)如图,已知 A,B,C,D,E 均在☉O 上,且 AC 为☉O 的直径. (1)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的值; (2)若☉O 的半径为 2 ,AD 与 EC 交于点 M,且 E,D 为弧 AC 的三等分点,求 MD 的长.
3

A 组 2014—2015 年模拟·基础题组

1. 答案

7

解析 连结 AB,∵PA 切圆 O 于点 A,且 B 为 PO 的中点, ∴AB=OB=OA. ∴∠AOB=60° ,∴∠POD=120° . 在△POD 中,由余弦定理知 PD2=PO2+OD2-2PO·DO·cos∠POD=7,∴PD= 7. 2. 解析 (1)证明:连结 OC,∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵CD 为半圆 O 的切线,∴OC⊥CD, 又 AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠CAD, ∴∠OAC=∠CAD, ∴AC 平分∠BAD.(5 分) (2)连结 CE, 由∠OAC=∠CAD 知 BC=CE, ∵CD 是半圆 O 的切线, ∴∠DCE=∠DAC,∴∠DCE=∠CAB, 又 AB 是半圆 O 的直径,AD⊥CD, ∴∠D=∠ACB=90° ,∴△DCE∽△CAB, ∴ = ,


∴BC=2.(10 分) 3. 解析 (1)证明:如图,连结 AM,由 AB 为直径可知∠AMB=90° ,

又 CD⊥AB,所以∠AEF=90° ,所以∠AEF+∠AMB=180° , 因此 A、E、F、M 四点共圆. (2)连结 AC,由 A、E、F、M 四点共圆, 可知 BF·BM=BE·BA, 在 Rt△ABC 中,BC2=BE·BA, 又由 MF=4BF=4 知 BF=1,BM=5,所以 BC2=5,BC= 5. 4. 解析 (1)证明:连结 BA, ∵AC 是☉O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (2)设 BP=x,PE=y,∵BP·PE=AP·PC,PA=6,PC=2, ∴xy=12.① 由(1)知 AD∥EC,∴ = ,∴ 由①、②解得 = 3, = 4,
9+ 6

=2.②

∴DE=9+x+y=16, ∵AD 是☉O2 的切线, ∴AD2=DB·DE=9× 16,∴AD=12. 5. 证明 (1)∵PAE、PDB 都是☉O2 的割线, ∴PA·PE=PD·PB.①

又∵PA、PCB 分别是☉O1 的切线与割线, ∴PA2=PC·PB,② 由①,②得,PA·PD=PE·PC. (2)连结 AC、DE,设 DE 与 AB 相交于点 F.

∵BC 是☉O1 的直径,∴∠CAB=90° , ∴AC 是☉O2 的切线. 由(1)知, = ,∴AC∥ED,∴AB⊥ED, ∠CAD=∠ADE,


∵AC 是☉O2 的切线,∴∠CAD=∠AED, ∴∠ADE=∠AED, ∴AD=AE. B组 1. 答案 6 解析 因为 AC 与☉O1 相切,切点为 A,所以∠BAC=∠ADB, 又∠BAC=∠BEC,所以∠ADB=∠BEC. 所以 AD∥CE,所以△CPE∽△APD,所以 = =6=3, 即 CE=3AD,因为 AP 为☉O1 的切线,PBD 为☉O1 的割线,所以由切割线定理得 PA2=PB·PD=PB·(PB+BD),即 36=PB·(PB+9),解得 PB=3,在☉O2 中,由相交弦定理知 PB·PE=PA·PC,即 3PE=2× 6,得 PE=4,又因为 AD 为☉O2 的切线,DBE 为☉O2 的割线,所以由切割 线定理可得 DA2=DB·DE,即 DA2=9× (9+3+4),得 DA=12,所以 CE=4.易证△BPA∽△CPE,所以
6 3 4 2 1 2 1

2014—2015 年模拟·提升题组

= = = ,所以 AB=2CE=6.

3

2. 解析 (1)证明:∵DE2=EF·EC,∠DEF=∠CED,

∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C.(2 分) 又∵CD∥AP,∴∠P=∠C,∴∠EDF=∠P,又∠DEF=∠PEA, ∴△EDF∽△EPA,∴ = , ∴EA·ED=EF·EP.(4 分) 又∵EA·ED=CE·EB,∴CE·EB=EF·EP.(5 分) (2)∵DE2=EF·EC,DE=3,EF=2, ∴EC= ,∵CE∶BE=3∶2,∴BE=3.
2 9

由(1)可知:CE·EB=EF·EP,解得 EP= 4 .(7 分) ∴BP=EP-EB= .
4 15

27

∵PA 是☉O 的切线,PBC 是☉O 的割线, ∴PA2=PB·PC, ∴PA2= 4 ×
15 27 4

+ 2 ,解得 PA=

9

15 3 4

.(10 分)

3. 解析 (1)证明:∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAB=∠ACP, 又∠P 为公共角,∴△PAB∽△PCA, ∴ = .


(2)∵PA 为圆 O 的切线,PBC 是过点 O 的割线,∴PA2=PB·PC,∴PC=20,BC=15. 由题意知∠CAB=90° ,∴AC2+AB2=BC2=225, 又由(1)知 = =2,∴AC=6 5,AB=3 5. 连结 EC,∵AE 平分∠BAC,∴∠CAE=∠EAB,又∠E=∠ABD, ∴△ACE∽△ADB,∴ = ,即 AD·AE=AB·AC=3 5× 6 5=90. 4. 解析 (1)证明:因为 AB 为圆 O 的一条直径,
1

所以∠AFB=90° ,所以∠BFH=90° . 又 DH⊥BD, 所以∠HDB=90° ,所以∠BFH+∠HDB=180° , 所以 B、D、H、F 四点共圆. (2)由题意知 AH 与圆 B 相切于点 F,由切割线定理得 AF2=AC·AD,即(2 2)2=2·AD,解得 AD=4, 所以 BD=2(AD-AC)=1,BF=BD=1. 易证△ADH∽△AFB, 所以 = ,得 DH= 2, 连结 BH,由(1)可知 BH 为△BDF 外接圆的直径, BH= 2 + D 2 = 3,故△BDF 外接圆的半径为 2 .
3 1

5. 解析 (1)根据弦切角定理,知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB,故△ABC∽△DBA,则 AB2=BC·BD=50,AB=5 2. (2)根据切割线定理,知 CA2=CB·CF,DA2=DB·DE,两式相除,得2 = · . 由△ABC∽△DBA,得 = 又
5 2 2





= ,故

=

10

= ,

2 2 1

2 2 2

= ,

10 2

= = ,所以 =1.


5

1



6. 解析 (1)连结 OB,OD,OE,则 ∠A+∠EBD+∠C+∠BDA+∠BEC=2(∠COD+∠DOE+∠EOA+∠AOB+∠BOC)=2× 360° =180° . (2)连结 OM 和 CD,因为 AC 为☉O 的直径,
1 1

所以∠ADC=90° ,又 E,D 为的三等分点, 所以∠A=∠ACE= ∠EOA= × × 180° =30° ,
2 2 3 1 1 1

所以 OM⊥AC.因为☉O 的半径为 2 ,即 OA= 2 ,所以 AM=cos ∠=cos 30°=1. 在 Rt△ADC 中,AD=AC·cos∠A=2× × = ,
2 2 2 3 3 3

3

3





则 MD=AD-AM=2.

1


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