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必修三3.2.古典概型(教案)


人教版新课标普通高中◎数学③ 必修

3.2 古典概型
教案 A 第1、2 课时
教学内容 § 3.2.1 古典概型 § 3.2.2 (整数值)随机数的产生 教学目标 一、知识与技能 1.正确理解古典概型的两大特点: 1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; 2)每个基本事件出现的可能性相等. A包含的基本事件个数 2.掌握古典概型的概率计算公式: P(A)= . 总的基本事件个数 3.了解随机数的概念. 4.利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率. 二、过程与方法 1.通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会 数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. 2.通过模拟试验, 感知应用数字解决问题的方法, 自觉养成动手、 动脑的良好习惯. 三、情感态度与价值观 通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 教学重点、难点 1.正确理解掌握古典概型及其概率公式. 2.正确理解随机数的概念,并能应用计算机产生随机数. 学法与教学用具 1.与学生共同探讨,应用数学解决现实问题. 2.通过模拟试验, 感知应用数字解决问题的方法, 自觉养成动手、 动脑的良好习惯. 教学设想 一、提出问题 引入新课 在课前,教师布置任务,以数学小组为单位,完成下面两个模拟试验: 试验一: 抛掷一枚质地均匀的硬币, 分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数, 要求每个数学小组至少完成 20 次(最好是整十数) ,最后由科代表汇总; 试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1 点”、“2 点”、“3 点”、“4 1

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点”、“5 点”和“6 点”的次数,要求每个数学小组至少完成 60 次(最好是整十数) , 最后由科代表汇总. 在课上,学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受. 教师最后汇总方法、结果和感受,并提出问题? 1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? 不好,要求出某一随机事件的概率,需要进行大量的试验,并且求出来的结果是频 率,而不是概率. 2.根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点? 二、思考交流 形成概念 在试验一中随机事件只有两个,即“正面朝上”和“反面朝上”,并且他们都是互 斥的,由于硬币质地是均匀的,因此出现两种随机事件的可能性相等,即它们的概率都 是

1 ; 2

在试验二中随机事件有六个,即“1 点”、 “2 点”、“3 点”、 “4 点”、“5 点” 和“6 点”,并且他们都是互斥的,由于骰子质地是均匀的,因此出现六种随机事件的 可能性相等,即它们的概率都是

1 . 6

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件,它是试验的每一个可能结果. 基本事件有如下的两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 特点(2)的理解:在试验一中,必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上” 组成;在试验二中,随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2 点”、“4 点”和“6 点”共同组成. 例 1 从字母 a, b, c, d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 分析:为了解基本事件,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出 来.利用树状图可以将它们之间的关系列出来. 我们一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法,一般 分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举. b a c d 解:所求的基本事件共有 6 个: b d (树状图) c c d

2

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A ? {a, b} , B ? {a, c} , C ? {a, d } , D ? {b, c} , E ? {b, d} , F ? {c, d}
观察对比,发现两个模拟试验和例 1 的共同特点: 试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2 个,并且每个 基本事件出现的可能性相等,都是

1 ; 2

试验二中所有可能出现的基本事件有“1 点”、“2 点”、“3 点”、“4 点”、“5 点”和“6 点”6 个,并且每个基本事件出现的可能性相等,都是

1 ; 6

例 1 中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6 个,并且每个基本事件出现的可能性相等,都是

1 ; 6

经概括总结后得到: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. 思考交流: (1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的, 你认为这是古典概型吗?为什么?

答:不是古典概型,因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能 结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典 概型的第一个条件. (2)如图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中 10 环、命中 9 环……命中 5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 答: 不是古典概型, 因为试验的所有可能结果只有 7 个, 而命中 10 环、 命中 9 环…… 命中 5 环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件. 三、观察分析 推导方程 问题思考:在古典概型下,基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率如何 计算? 分析: 3

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试验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”) , 由概率的加法公式,得 P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1, 因此 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)= 即P (“出现正面朝上”)= =

1 , 2

1 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 . 2 基本事件的总数

试验二中,出现各个点的概率相等,即 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”) 反复利用概率的加法公式,我们有 P(“1 点”)+P(“2 点”)+P(“3 点”)+P(“4 点”)+P(“5 点”)+P(“6 点”)=P(必然事件)=1, 所以 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”)=

1 . 6 进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如, 1 1 1 3 P(“出现偶数点”)=P(“2 点”)+P(“4 点”)+P(“6 点”)= + + = 6 6 6 6



1 . 2

3 “出现偶数点”所包含的基本事件的个数 即P (“出现偶数点”)= = . 6 基本事件的总数

根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为:
P (A)= A所包含的基本事件的个数 . 基本事件的总数

提问: (1)在例 1 的实验中,出现字母“d”的概率是多少? 出现字母“d”的概率为: “出现字母d”所包含的基本事件的个数 3 1 P (“出现字母d”)= = = . 基本事件的总数 6 2 提问: (2)在使用古典概型的概率公式时,应该注意什么? 归纳: 在使用古典概型的概率公式时,应该注意: (1)要判断该概率模型是不是古典概型; 4

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(2)要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 除了画树状图,还有什么方法求基本事件的个数呢? 四、例题分析 推广应用 例 2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个选项中选择 一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容, 他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会 做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率是多少? 分析:解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果 考生掌握或者掌握了部分考查内容,这都不满足古典概型的第 2 个条件——等可能性, 因此, 只有在假定考生不会做, 随机地选择了一个答案的情况下, 才可以化为古典概型. 解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有 4 个:选择 A、选择 B、选择 C、 选择 D,即基本事件共有 4 个,考生随机地选择一个答案是选择 A,B,C,D 的可能性 是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得:
“答对”所包含的基本事件的个数 1 P (“答对”)= = =0.25 . 基本事件的总数 4

例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解: (1)掷一个骰子的结果有 6 种,我们把两个骰子标上记号 1,2 以便区分,由 于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对, 我们用一个“有序实数对” 来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表) ,其中第一个数表示 1 号骰子的结果, 第二个数表示 2 号骰子的结果.(可由列表法得到)
1号骰子 2号骰子

1
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

1 2 3 4 5 6

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种. (2)在上面的结果中,向上的点数之和为 5 的结果有 4 种,分别为: (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) (3)由于所有 36 种结果是等可能的,其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A) 有 4 种,因此,由古典概型的概率计算公式可得

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 4 1 = = . 基本事件的总数 36 9
5

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问题思考:为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解 释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别.这时,所有可能 的结果将是: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2, 6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6)共 有 21 种,和是 5 的结果有 2 个,它们是(1,4) (2,3) ,所求的概率为

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 2 = . 基本事件的总数 21

这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了. 可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点, 感受第二种方法构造的基本事件不 是等可能事件,另外还可以利用 ExCel 展示第二种方法中构造的 21 个基本事件不是等 可能事件.从而加深印象,巩固知识. 例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数. 解:具体操作如下:键入 PRB

RAND RANDI
STAT DEG

ENTER

RANDI (1, 100) STAT DEG RAND (1,100) 3.

ENTER

STAT 反复操作 10 次即可得之. DEC 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的 应用. 例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连 续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能 用古典概型的概率公式计算, 我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概 率为 40%. 解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随机数. 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投 中的概率是 40%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组. 例如:产生 20 组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925,
6

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907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表 示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了 三次投篮中恰有两次投中的概率近似为

5 =25%. 20

小结: (1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求 解问题. (2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用 计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间. (3)随机函数 RANDBETWEEN(A,B)产生从整数 A 到整数 B 的取整数值的随 机数. 例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来. 解: (1)每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内任何一个数的可能性是相同的. (2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如 SCilAB 中产生随机数的方法.SCilAB 中用 RAN()函数来产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 RAN()函数,就产生一个随机 数,如果要产生 A~B 之间的随机数,可以使用变换 RAN()*(B-A)+A 得到. 五、总结概括 1.我们将具有 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. 2.古典概型计算任何事件的概率计算公式

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 . 基本事件的总数

3.求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法 是列举法(画树状图和列表) ,应做到不重不漏. 4. 随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替 我们自己做大量重复试验, 比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生 分配到各个考场中. 六、自我评价 课堂练习 1. 在 40 根纤维中, 有 12 根的长度超过 30mm, 从中任取一根, 取到长度超过 30mm 的纤维的概率是( ). A.

30 40

B.

12 40

C.

12 30

D.以上都不对

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合 格铁钉的概率是( ) . 7

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1 5 1 4 4 5 1 10

A.

B.

C.

D.

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率是 . 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率. 5.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数. 6.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验. 评价标准: 1.B.提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40, 且它们是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为

12 ,因此 40

选 B. 2.C.提示: (方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合 格铁订(记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

8 4 = . 10 5

(方法 2)本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取 到合格品(记为事件 A)与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事件,因此,P(A)= 1-P(B)=1-

2 4 = . 10 5

3.

7 .提示:记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事 10

件为: (红 1,红 2) , (红 1,白 1) , (红 1,白 2) (红 1,白 3) , (红 2,白 3) ,共 10 个, 其中至少有一个红球的事件包括 7 个基本事件,所以,所求事件的概率为

7 .本题还可 10

以利用“对立事件的概率和为 1”来求解, 对于求“至多”“至少”等事件的概率问题, 常采用间接法,即求其对立事件的概率 P(A),然后利用 1-P(A)求解. 4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,…,6 点 6 种不 同的结果,我们把两颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此 同时掷两颗骰子的结果共有 6× 6=36 种,在上面的所有结果中,向上的点数之和为 8 的 结果有(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6,2)5 种,所以,所求事件的概率为

5 . 36

8

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5.解:具体操作如下: 键入 PRB RAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG PANDI(1,20) 3. STAT DEG

ENTER

ENTER

反复按

ENTER

键 10 次即可得到.

6.解:具体操作如下: 键入 PRB

RAND RANDI STAT DEG RANDI(0,1) STAT DEG RANDI(0,1) 0 STAT DEG

ENTER

ENTER

9

教师备课系统──多媒体教案 教案 B 第 1 课时
教学内容 § 3.2.1 古典概型 教学目标 一、知识与技能 1. 正确理解古典概型的两大特点. 2. 掌握古典概型的概率计算公式 . 二、过程与方法 通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数 学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. 三、情感、态度与价值观 通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 教学重点、难点 教学重点:理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 教学难点:如何判断一个试验是否为古典概型,弄清在一个古典概型中某随机事件 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 教学关键:理解掌握古典概型的概念. 教法与学法导航 教学方法:采取了引导探究,讨论交流的教学模式,即通过再次考察前面做过的实 验引入课题,根据学习情况,在合适的时机提出问题,设置合理有效的教学情境,让每 一位学生都参与课堂讨论,提供学生思考讨论的时间与空间,师生一起探讨古典概型的 特点以及概率值的求法.在教学过程中,利用多媒体等手段构建数学模型,调动学生的 主体能动性,让每一个学生充分地参与到学习活动中来,并利用了情感暗示以及恰当的 评价等教学方法. 学习方法:学生在教师创设的问题情景中,通过观察类比,思考探究,概括归纳和 动手尝试相结合,体现了学生的主体地位,培养了学生由具体到抽象,由特殊到一般的 数学思维能力,形成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的求学精神. 教学准备 教师准备:硬币和骰子. 学生准备:硬币. 教学过程 一、创设情境 导入新课 师:下面我们一起分组来完成两个试验(第 1、2 小组完成试验一,第 3、4 小组完 成试验二,教师向各小组分发准备好的若干枚质地均匀的硬币或若干枚质地均匀的骰 子) : 10

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试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,至少完成 20 次,且分别记录“正面朝上”和 “反面朝上”的次数. 试验二: 抛掷一枚质地均匀的骰子, 至少完成 20 次, 且分别记录“1 点”、 “2 点”、 “3 点”、“4 点”、“5 点”和“6 点”的次数. 然后教师抽各小组的代表汇报自己的试验方法与结果,最后教师进行汇总,并提出 以下问题. 师:用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好?为什么? 生:不好,因为要求出某一随机事件的概率,需要进行大量的试验,并且求出来的 结果是频率,而不是概率. 根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 二、主题探究 合作交流 师:在试验一和试验二中随机事件分别有多少个?各随机事件间有什么关系? 生:在试验一中随机事件只有两个,即“正面朝上”和“反面朝上”,并且它们都 是互斥的.在试验二中随机事件有六个,即“1 点”、“2 点”、“3 点”、“4 点”、 “5 点”和“6 点”,并且它们也都是互斥的. 师:我们把上述试验中的随机事件称为基本事件,它是试验的每一个可能结果. 师:那基本事件有什么特点呢?(让学生交流讨论,教师再加以总结、概括) 基本事件有如下两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不 可能事件)都可以表示成基本事件的和. 师:在试验一中,必然事件由哪些基本事件组成? 在试验二中,随机事件“出现奇数点”由哪些基本事件组成? 例 1 从字母 a, b, c, d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 师:为了得到基本事件,我们可以按照某种顺序,把所有可能的结果写出来,本小 题我们可以按照字母排序的顺序,用列举法列出所有基本事件的结果. 解:所求的基本事件共有 6 个:

A ? {a, b} ,

B ? { a, c} , C ? {a, d } , D ? {b, c} , E ? {b, d } , F ? {c, d }

师:你能发现前面两个数学模拟试验和例 1 有哪些共同特点吗?(先让学生交流讨 论,然后教师抽学生回答,并在学生回答的基础上再进行补充) 试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2 个,并且每个 基本事件出现的可能性相等,都是

1 ; 2

试验二中所有可能出现的基本事件有“1 点”、“2 点”、“3 点”、“4 点”、“5 点”和“6 点”6 个,并且每个基本事件出现的可能性相等,都是 经概括总结后得到: 11

1 ; 6

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①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 师:在古典概型下,前面两个数学模拟试验和例 1 中基本事件出现的概率分别是多 少?随机事件出现的概率如何计算?(让学生讨论、思考交流) 生:实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即 P(“正面朝上”) =P(“反面朝上”) , 由概率的加法公式,得 P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件) =1 因此 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=

1 , 2

1 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 即P (“出现正面朝上”)= = . 2 基本事件的总数
生:试验二中,出现各个点的概率相等,即 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)=P(“6 点”), 由概率的加法公式,得 P(“1 点”)+P(“2 点”)+P(“3 点”)+P(“4 点”)+P(“5 点”)+P(“6 点”)=P(必然事件)=1, 因此 P(“1 点”)=P(“2 点”)=P(“3 点”)=P(“4 点”)=P(“5 点”)= P(“6 点”)=

1 . 6
1 1 1 + + = 6 6 6

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如, P(“出现奇数点”)=P(“1 点”)+P(“3 点”)+P(“5 点”)=

3 1 = , 6 2

即P“ ( 出现奇数点” )?

3 “出现奇数点”所包含的基本事件的个数 ? . 6 基本事件的总数

师:根据上述两个模拟试验,你能概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算 公式吗?

A所包含的基本事件的个数 生: P (A)= . 基本事件的总数
师:我们在使用古典概型的概率公式时,应该还要注意些什么呢?(先让学生自由 说,教师再加以归纳)在使用古典概型的概率公式时,应该注意: ①要判断该概率模型是不是古典概型; ②要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 12

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三、拓展创新 应用提高 例 2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个选项中选择 一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容, 他可以选择惟一正确的答案.假设考生不会 做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率是多少? 师:如果考生掌握或者掌握了部分考查内容,它是古典概型的问题吗?为什么? 生:因为它不满足古典概型的第 2 个条件——等可能性. 师:那么在什么情况下,该问题可以化为古典概型呢? 生:只有在假定考生不会做的情况下,才可以看成古典概型. 师:说得很好.运用古典概型解决问题时,两个条件缺一不可,即要满足有限性和 等可能性. 解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有 4 个:选择 A、选择 B、选择 C、 选择 D,即基本事件共有 4 个,考生随机地选择一个答案是选择 A,B,C,D 的可能性 是相等的. 从而由古典概型的概率计算公式得: “答对”所包含的基本事件的个数 1 P (“答对”)= = =0.25 . 基本事件的总数 4 探究:在标准化考试中既有单选题又有多选题,多选题是从 A,B,C,D 四个选 项中选出所有正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难 猜对,这是为什么? 例 3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? (教师先让学生独立完成,再抽两位不同答案的学生回答) 学生 1:①所有可能的结果是: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2, 6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6) 共有 21 种. ②向上的点数之和为 5 的结果有 2 个,它们是(1,4) (2,3). ③向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 2 种,因此,由古典概型的概率计算 公式可得

P (A)=

A所包含的基本事件的个数 2 . = 基本事件的总数 21

学生 2:①掷一个骰子的结果有 6 种,我们把两个骰子标上记号 1,2 以便区分,由 于 1 号骰子的每一个结果都可与 2 号骰子的任意一个结果配对, 组成同时掷两个骰子的 一个结果,我们可以用列表法得到(如图) ,其中第一个数表示 1 号骰子的结果,第二 个数表示 2 号骰子的结果.

13

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2号骰子

1号骰子

1
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

1 2 3 4 5 6

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种. ②在上面的所有结果中,向上的点数之和为 5 的结果有 4 种: (1,4) , (2,3) , (3, 2) , (4,1). ③由于所有 36 种结果是等可能的,其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A) 有 4 种,因此,由古典概型的概率计算公式可得
P (A)= A所包含的基本事件的个数 4 1 . = = 基本事件的总数 36 9

师:上面同一个问题为什么会有两种不同的答案呢?(先让学生交流讨论,教师再 抽学生回答) 生:答案 1 是错的,原因是其中构造的 21 个基本事件不是等可能发生的,因此就 不能用古典概型的概率公式求解. 师:很好,我们今后用古典概型的概率公式求解时,特别要验证“每个基本事件出 现是等可能的”这个条件, 否则计算出的概率将是错误的. 同时学生 2 用列表来列举试 验中的基本事件的总数,可以作到列举的时候不重不漏,它是列举法的一种基本方法. 四、小结 (1)基本事件的两个特点; (2)古典概型的定义和特点; (3)古典概型计算任何事件的概率计算公式; (4)古典概型解题步骤. 课堂练习 P130 练习 1,2,3. 课后作业 P133-134 A 组 1,2,3,4,5,6, B 组 1,2 .

第 2 课时
教学内容 § 3.2.2 (整数值)随机数的产生 14

人教版新课标普通高中◎数学③ 必修
教学目标 一、知识与技能 1. 了解随机数的概念、 掌握随机数产生的三种方法 (①用带有 PRB 功能的计数器; ②用常用的科学计数器;③用计算机产生的随机数) ; 2. 掌握随机模拟法估计概率的步骤. 二、过程与方法 1. 通过在现实生活中具体的概率问题的研究,感知应用数学解决问题的方法,体 会数学知识与社会的联系,培养逻辑推理能力. 2. 通过模拟实验,感知应用数学解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习 惯. 三、情感、态度与价值观 通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义. 教学重点、难点 教学重点:随机数产生的三种方法与随机模拟法估计概率的数学思想. 教学难点:理解随机数的产生,应用随机模拟法估计概率. 教学关键:理解随机数的产生,应用随机模拟法估计概率. 教法与学法导航 教学方法:试验法. 学习方法:探究式学习. 教学准备 教师准备:多媒体、实物投影仪. 教学过程 一、创设情境 导入新课 1.基本事件、古典概型分别有哪些特点? 基本事件: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性) ; (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性). 2.在古典概型中,事件 A 发生的概率如何计算? P(A)=事件 A 所包含的基本事件的个数/基本事件的总数. 3.通过大量重复试验,反复计算事件发生的频率,再由频率的稳定值估计概率, 是十分费时的.对于实践中大量非古典概型的事件概率, 又缺乏相关原理和公式求解.因 此,我们设想通过计算机模拟试验解决这些矛盾. 二、主题探究 合作交流 思考 1:对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回随机取出的一个数都称为随 机数. 那么你有什么办法产生 1~20 之间的随机数. 提示:抽签法 思考 2:随机数表中的数是 0~9 之间的随机数,你有什么办法得到随机数表? 我们可以利用计算器产生随机数, 其操作方法见教材 P130 及计算器使用说明书.我 们也可以利用计算机产生随机数. 15

教师备课系统──多媒体教案
提示:用 ExCel 演示: (1)选定 Al 格,键入“=RANDBETWEEN(0,9)”,按 Enter 键,则在此格中 的数是随机产生数; (2)选定 Al 格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如 A2 至 A100,点击 粘贴, 则在 A1 至 A100 的数均为随机产生的 0~9 之间的数, 这样我们很快就得到了 100 个 0~9 之间的随机数,相当于做了 100 次随机试验. 思考 3: 抛掷一枚均匀的骰子 30 次, 如果没有骰子, 你有什么办法得到试验的结果? 提示:用 ExCel 演示,由计算器或计算机产生 30 个 1~6 之间的随机数. 思考 4: 抛掷一枚均匀的硬币 50 次, 如果没有硬币, 你有什么办法得到试验的结果? 提示:用 ExCel 演示,记 1 表示正面朝上,0 表示反面朝上,由计算器或计算机产 生 50 个 0,1 两个随机数. 思考 5:一般地,如果一个古典概型的基本事件总数为 n,在没有试验条件的情况 下,你有什么办法进行 m 次实验,并得到相应的试验结果? 提示:将 n 个基本事件编号为 1,2,…,n,由计算器或计算机产生 m 个 1~n 之 间的随机数. 思考 6:如果一次试验中各基本事件不都是等可能发生,利用上述方法获得的试验 结果可 靠吗? 随机模拟方法 思考 1:对于古典概型,我们可以将随机试验中所有基本事件进行编号,利用计算 器或计算机产生随机数,从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法, 称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法 (Monte Carlo) .你认为这种方法的最大优点是什么? 不需要对试验进行具体操作,可以广泛应用到各个领域. 思考 2:用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币 100 次,那么如何统计这 100 次试验 中“出现正面朝上”的频数和频率. 除了计数统计外,我们也可以利用计算机统计频数和频率,用 ExCel 演示. (1)选定 C1 格,键人频数函数“=FREQUENCY(Al:A100,0.5)”,按 Enter 键,则此格中的数是统计 Al 至 Al00 中比 0.5 小的数的个数,即 0 出现的频数,也就是 反面朝上的频数; (2)选定 Dl 格,键入“=1-C1/100”,按 Enter 键,在此格中的数是这 100 次试 验中出现 1 的频率,即正面朝上的频率. 思考 3:把抛掷两枚均匀的硬币作为一次试验,则一次试验中基本事件的总数为多 少?若把这些基本事件数字化,可以怎样设置? 可以用 0 表示第一枚出现正面,第二枚出现反面,1 表示第一枚出现反面,第二枚 出现正面,2 表示两枚都出现正面,3 表示两枚都出现反面. 思考 4:用随机模拟方法抛掷两枚均匀的硬币 100 次,如何估计出现一次正面和一 次反面的概率? 用频率估计概率,ExCel 演示. 三、拓展创新,应用提高 例 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,用随机模拟方法 16

人教版新课标普通高中◎数学③ 必修
估计这三天中恰有两天下雨的概率约是多少? 要点分析: (1)今后三天的天气状况是随机的,共有四种可能结果,每个结果的出现不是等 可能的. (2)用数字 1,2,3,4 表示下雨,数字 5,6,7,8,9,0 表示不下雨,体现下 雨的概率是 40%. (3)用三个随机数作为一组,代表三天的天气状况. (4)产生 30 组随机数,相当于做 30 次重复试验,以其中表示恰有两天下雨的随 机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近似值. ExCel 演示 (5) 据有关概率原理可知, 这三天中恰有两天下雨的概率 P=3× 0.42× 0.6=0.288. 三、小结 1. 用计算机或计算器产生的随机数, 是依照确定的算法产生的数, 具有周期性 (周 期很长),这些数有类似随机数的性质,但不是真正意义上的随机数,称为伪随机数. 2. 随机模拟方法是通过将一次试验所有等可能发生的结果数字化,由计算机或计 算器产生的随机数,来替代每次试验的结果,其基本思想是用产生整数值随机数的频率 估计事件发生的概率,这是一种简单、实用的科研方法,在实践中有着广泛的应用. 课堂作业 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次 投篮中,恰有两次投中的概率是多少? 解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随机数. 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投 中的概率是 40%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组. 例如:产生 20 组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表 示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了 三次投篮中恰有两次投中的概率近似为 25%.

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