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高二复数【一轮12】复数复习【学生版】2015.8.14

学科教师教学辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 课 题 年 科 一轮 12 级:Middle 目:数学 复数 课时数:3 学科教师:

教学目标 教学内容 【知识梳理】 (1)复数的加(减)法:实部之和(差)作为和(差)的实部,虚部之和(差)作为和(差)的虚部. (2)复数的乘法:设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di, 则 z1 z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i; (3)复数的乘方:i)复数的乘方运算是指几个相同复数相乘;ii)复数正整数幂的运算法则: iii) i 的正整数幂的运算 (4)复数的除法: (5)复平面上两点间的距离: (6)有关复数的几个主要结论: ? 常见的几种运算:共轭复数的运算性质:两个复数的和与差、积与商的模: (7)复数的开方运算: ? 复数的平方根:复数的立方根: (8)实系数一元二次方程: (9)实系数一元二次方程根与系数的关系:
四则运算 1、复数的四则运算:设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di (a, b, c, d ? R ) 则

z1 ? z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i z1 ? z 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc )i
z1 z2

?

ac? bd c2 ?d 2

? ad ? bc 2 2 ( z 2 ? 0) c ?d

10.共轭复数: z ? a ? bi时, z ? a ? bi ; 说明: (1) z ? a ? bi, z ? a ? bi 所对应的点 Z (a, b), Z (a,?b) 是关于 x 轴对称;
'

(2) z ? z ; 11.复数的乘方:

(3) z ? z ;

z ? z ? z?R;

z ? ? z ? z是纯虚数 ;

(1)复数的正整数指数幂的运算法则: z、z1、z2 ? C , m、n ? N

*

-1-

z m ? z n ? z m?n ;

( z m ) n ? z m?n ;

n ; ( z1 ? z2 ) n ? z1n ? z2
*

(1)i 的正整数指数幂:i1 ? i; i 2 ? ?1; i 3 ? ?i; i 4 ? 1 ; 一般地,n ? N 有 i 4 n ? 1, i 4 n ?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i; 4、有关复数的几个重要的结论: (1)常见的几种运算

(1 ? i) 2 ? ?2i;

(a ? ai) 2 ? ?2a 2i ;

(

1? i 2 ) ? ? i; 2

a ? bi ? i; b ? ai

a ? bi ? ?i; b ? ai

18.共轭复数的运算性质

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;
z?z ? z ;
2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;
z ? z ? 2 Re z ;

z1 z1 ? ( z 2 ? 0) ; z2 z2
z ? z ? 2 Im z ;

z n ? ( z)n ;

19.两个复数的和与差、积与商的模

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;
立方根与一元二次方程 A.复数的立方根:

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;

z z1 ? 1 ( z 2 ? 0) ; z2 z2

zn ? z ;

n

(1)如果复数 z1 , z2 满足 z1 ? z2 ,则称 z1是z 2 的立方根; (2)1 的立方根有1,?

2

1 3 1 3 ? i ,? ? i。 2 2 2 2

记? ? ?

1 3 1 ? i ,则: ? , ? 2 ,1 都是 1 的立方根;1 ? ? ? ? 2 ? 0,? ? ,1 ? ? ? ?? ; 2 2 ?
2

2.实系数一元二次方程 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a, b, c ? R, a ? 0)

1.

? ? 0 ? 方程有两个不相等的实数根

? b ? b 2 ? 4ac b ; ? ? 0 ? 方程有两个相等的实数根 ? ; 2a 2a

2.

? b ? 4ac ? b 2 i ; ? ? 0 ? 方程有两个共轭虚根 2a

注: (1)实系数一元二次方程的根只可能两个都是实根或两个共轭虚根; (2)解实系数一元二次方程先判断 ? 的符号,以确定根的情况; 1.实系数一元二次方程根与系数的关系

-2-

b ? x ? x ? ? 1 2 ? ? a; 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a, b, c ? R, a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ? C ,则 ? ?x ? x ? c 1 2 ? a ?
注:若 x1 ? C 则 x2 ? x1 且 x1 ? x2 ? 2 Re x1 ? ?

b c 2 ; x1 ? x2 ? x1 ? ; a a

【典型例题】 【例 1】若 z 为虚数,且 z ? 1 ,求证:

z ?1 为纯虚数. z ?1

【例 2】设方程 x 2 ? 2 2 x ? m ? 0 的两根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ? 3 ,求实数 m 的值.

【例 3】已知关于 x 的二次方程 x 2 ? zx ? 4 ? 3i ? 0 有实根,求实数 z 的模的最小值.

【例 4】 (1)在复数范围内解方程 z ? ( z ? z )i ? (2) 已知

2

3?i (i 为虚数单位) 2?i
,求复

z?

a ?i 1?i

3 (a ? 0) ,且复数 ? ? z( z ? i ) 的虚部减去它的实部所得的差等于 2

数 ? 的模

-3-

【例 5】复数 z, ? 满足 z? ? 2iz ? 2i? ? 1 ? 0
(1)若 z, ? 又满足? ? z ? 2i ,求 z, ? 。 (2)求证:若 z ?

3 ,则 ? ? 4i 是常数并求出该常数。

【课堂检测】 1.已知 z1 , z 2 , z1 ? 3, z 2 ? 4, z1 ? z 2 ? 5 ,求 z1 ? z 2

2.已知 z ? 1 ,求 z 2 ? z ? 1 的模的最大值与最小值;

4 3.设复数 z 满足 z ? ? R ,且 z - 2 ? 2 ,求 z z

4、计算:求 ? 3 ? 4i 的平方根。

5、计算: 1 的立方根。

-4-

6、求值:
(1)

3 ? 4i 6 ? 2 ? i 15 ? ?1 ? i ? 1 ? 2i

?

?

(2)

?1 ? i ?3 ?1 ? i ?2 ?9 ? 40i ?

7、设复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? a 2 ? 7a ? 6 i, 其中a ? R ,当 a 取何值时, z 所对应的点在复平面的第四象限内?

?

? ?

?

8、若 z ? a ? bi?a, b ? R ? 满足 z ? 5 ,且 ?3a ? 4b ? ? ?4a ? 3b ?i 是纯虚数,求复数 z 。

9、复数 2k ? 3k ? 2 ? k ? k i 在复平面内对应的点在第二象限,求实数 k 的取值范围。
2 2

?

? ?

?

-5-

10、复数设 z ? 2t 2 ? 5t ? 3 ? t 2 ? 2t ? 2 i, t ? R ,则判断 z 对应点的象限及 z 的性质。

?

? ?

?

11、设复数 z ? a ? bi?a, b ? R, b ? 0? , w ? a ? bi ? (1)求 z 的值; (2)求 z 的实部 a 的取值范围。

a ? bi 是实数,且 ? 1 ? w ? 2 a2 ? b2

12、已知复数 z ?

?1 ? i ?2 ? 3?1 ? i ? ,且 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a, b 的值。
2?i

-6-

【拓展训练】
《复数》测试卷(一) 1. 2. 3. 复数 z = 3 ? 2i , Im z = 。 若复数 z ? m ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是纯虚数,则实数 m ?
2

?

?

. .

复数

(1 ? i)(1 ? i) 在复平面中所对应的点到原点的距离是 i

4. 5. 6. 7. 8. 9.

已知 z∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“

z2 ? R ”的__________条件。 1? z2

复数 Z 满足 ?1 ? 2i ? Z ? 4 ? 3i ,那么 Z=________。 若复数 z 满足 z+

1 | z |=-1+2i,则 z= 2

.

设 O 是原点,向量 OA , OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , 若复数 z ?

?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应的复数是____________.

1? i 2

,则 z + z 4 ? z 8 ? _______。

2

已知复数 z 满足 | z |? 1 ,则 | z ? iz ? 1 | 的最小值为__________。
2 2

? x 10. 设非零复数 x 、 y 满足 x ? xy ? y ? 0 ,则代数式 ? ?x? ?
11. 设 f( n )= i ? i
n ?n

? ? y? ?

2008

? y ? ?? ?x? y? ? ? ?

2008

的值是____________.

(n∈N),则集合{f(n)}中元素的个数为( ) C.2 D.1 )

A.4

B.3

12. 已知 z1 , z2 都是虚数,则 z1 ? z2 的一个必要不充分条件是 ( A. z1 ? z2 ? 0 B. z2 ? z1 C. z1 ? z2 D. z1 ? z2

13. 有 下 列 命 题 : ① 若 z∈C , 则 z2≥0 ; ② 若 z1 , z2∈C , z1 - z2>0 , 则 z1>z2 ; ③ 若 z1 , z 2 ∈C , 则 | z1 + z 2 |=| z1 |+| z 2 |.④z1+z2∈R ? z2 ? z1 其中,正确命题的个数为( ) A.0 B.1
2

C.2

D.3 ( ) D.以上都不对

14. 设 x ? C ,方程 | x | ? | x |? 0 的解集为 A. {0,1} B. {0, ?1,1}

C. {0, ?1,1, ? i , i }

2m2 ? 3m ? 2 15. 当 m 为何实数时,复数 z= +(m2+3m-10)i; (1)是实数; (2)是虚数; (3)是纯虚数. 2 m ? 25
-7-

16. (1)复数 z 满足(1+2i)z+(3-10i) z =4-34i,求 z.(2)若 ω=-

3 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 1 + i,ω3=1,计算 ( ) ?( ) ; 2 2 2 2

17. 已知复数 z 满足|z-2|=2,z+

4 ∈R,求 z. z

z 18. 已知 z 是复数, z ? 2 i 、 均为实数( i 为虚数单位) ,且复数 ( z ? a i ) 2 在复平面上对应的点在第一象限,求实 2?i 数 a 的取值范围.

19. 关于 x 的方程 a(1+ i)x2+(1+a2i)x+a2+i=0 (a∈R)有实根,求 a 的值及方程的根.

20. 已知关于 t 的方程 t ? 2t ? a ? 0 的一个根为 1 ? 3i .(a ? R)
2

(1)求方程的另一个根及实数 a 的值; (2)是否存在实数 m ,使对 x ? R 时,不等式 loga ( x ? a ) ? m ? 2km ? 2k 对k ? [?1, 2] 恒成立?若存在,试
2 2

求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由..

-8-

《复数》测试卷(二) 一、填空题(5’*7) 1.若 m ? R 且复数 (m 2 ? 2m ? 3) ? (m 2 ? 1)i 在复平面内对应的点在虚轴上,则 m 的值为_____. 2.若 ( 3 ? i ) n ? (2i ) n ? 0(n ? N * ) ,则 n 的最小值为__________. 3.复数 z 满足 z ? z ? z ? z ? 3 ,则 z ? 1 的值为________________. 4.若 z ? C , 则 z ? 3i ? z ? 4 的最小值为_______________. 5.若 x ? 1 ? 1 ? 0, 则 x x
2006

? x ?2006 ? ______________.
2 2

6.若 z 是复数,则以元素 z, z, z ? z , z , z , z , z , z 2 所构成的集合中,最多有___个不同元素. 7.设复数 z ? cos ? ? (2 ? sin 2 ? )i ,当 ? ? ( ? ? , ? ) 时,复数 z 在复平面内对应点的轨迹方程是____________. 2 2 二、选择题(4’*4) 8.若 z ? 1 ? 3 i, 则 2 1 等于( 2 2 z ?z A.-1 B. 1 ? 3i ) C. ? 1 ? 3i D.1

9.已知关于 x 的方程 x 2 ? (2 ? i ) x ? (1 ? i ) ? 0 的根的判别式 ? ? ?1 ,且 x ? 1 ? i 是它的一个根,那么方程的另一个解 为( ) A. 1 ? i
2

B.不等于 1 ? i ,但不可能是实数

C. x ? 1 )

D.不存在

10. k ? R ,方程 x ? (k ? 3i ) x ? 4 ? k ? 0 一定有实根的充要条件是( A. k ? 4 B. k ? 2 ? 2 5 或 k ? 2 ? 2 5 C. k ? ?3 2

D. k ? ?4 )

11.在复平面内,若 z ? 1 ? 2i ? z ? 1 ? 2i ? 4 ,则复数 z 的对应的点的轨迹是( A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段

三、解答题(6’+10’+10’+11’+12’) 12.在复数集上分解因式 x 2 ? 2 xy cos ? ? y 2

-9-

13. 设 ? 、 ? 是实系数方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根,若 ? 是虚数,

? ?2 是实数,求 . ? ?

14. 若关于 x 的方程 x 2 ? zx ? 4 ? 3i ? 0( z ? C ) 有实数根,求 z 的最小值。

2 2 15. 已知 z1 ? 3 a ? ( a ? 1)i, z 2 ? ?3 3b ? (b ? 2)i, (a, b ? R ? ) ,且 3z1 ? z2 ? 0 ,求 z1 z 2 的值。 2

16.求同时满足条件①②的复数 z :① 1 ? z ? 10 ? 6 ;② z 的实部和虚部都是整数.
z

- 10 -

- 11 -


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