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201709年高考数学立体几何奥赛辅导专题.doc


高中数学奥赛辅导专题——立体几何(传统方法与向量方法)

立体几何(传统方法)
知识精要 1. 直线与平面问题,主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合 问题进行研究.这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合,因而在解题过程中,要 力求做到概念清晰,方法得当,转化适时,突破得法. 2. 四面体是一种最简单的多面体,它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得 来.较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决.解决这一类问题的所常用的数学思 想方法有:变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法. 3. 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用.在解决球相切问题时,注意球心连线 通过切点,球心距等于两球半径之和.因此,研究多球相切问题时,连结球心,从而转 化为多面体问题. 例题 1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选 出 k 条,使得其中任意两条线段所在直线 都是异面直线,求 k 的最大值. 解答 考察如图所示的正方体上的四条 线段 AC,BC1,D1B1, A1D,它们所 在直线两两都是异面直线.又若有 5 条 或 5 条以上两两异面的直线,则它们的 D1 端点相异且个数不少于 10,与正方体只 有 8 个顶点矛盾.故 K 的最大值是 4. 练习 1: 在正方体的 8 个顶点、 12 条棱的中点、 6 个面的中心及正方体的中心共计 27 个点中, A1 B1 问共线的三点组的个数是多少 解答:两端点都为顶点的共线三点组共有

C

8? 7 ? 28 个;两端点都为面的中心共线三点组共 D 2 6 ?1 12 ? 3 ? 3 个;两端点都为各棱中点的共线三点组共有 ? 18 个,且没有别的类 有 2 2 A 型的共线三点组,所以总共有 28 ? 3 ? 18 ? 49 个.

C

B

例题 2:已知一个平面与一个正方体的 12 条 棱的夹角都等于 ? ,求 sin ? . 解答:如右图所示,平面 BCD 与正方体的 12 条 棱的夹角都 等于 ? ,过 A 作 AH 垂直平 面 BCD.连 DH,则 ? ? ?ADH .设正方 体的边长为 b,则
D H A

2 6 DH ? ? 2b sin 600 ? b 3 3

? 6 ? 3 AH ? b ? ? ? 3 b? ? ? 3 b ? ?
2

2

所以 sin ? ? sin ?ADH ?

AH 3 . ? AD 3

练习 2:如图所示,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得

AE CF ? ? ? (0 ? ? ? ??) ,记 f (? ) ? ?? ? ?? , EB FD
其中

A

? ? 表示 EF 与 AC 所成的角, ?? 表示 EF 与

E D B

BD 所成的角,证明 f ?(? ) ? 0 ,即 f (? ) 为常数. 解答:因 ABCD 是正四面体,故 AC 垂直 BD,作 EG 平行 AC 交 BC 于 G,连 GF,则 ?? ? ?GEF ,
G C F

CG AE CF ? ? 且 ,所以 GF 平行 BD. GB FD FD
所以 GF 垂直 EG,且 ?? ? ?EFG .所以 f (? ) 为常数. 例题 3:三棱锥 P-ABC 中,若棱 PA=x,其余棱长均为 1,探讨 x 是否有最值. 解答:当 P-ABC 为三棱锥时,x 的最小极限是 P、A 重合,取值为 0,若 ?PBC 绕 BC 顺时针旋转,PA 变大,最大极限是 P、A、B、C 共面时,PA 为菱形 ABPC 的对 角线,长度为 3 .所以无最值. 练习 3:若正三棱锥底面棱长棱长均为 1,探讨其侧棱否有最值. 解答:若 P 在底面的射影为 O,易知 PO 越小,侧棱越小.故 P、O 重合时,侧棱取最小极 值

3 ,PO 无穷大时,侧棱也无穷大.所以无最值. 3

例题 4:在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+D1P 最短,求 AP+D1P 的最小值. 解答:将等腰直角三角形 AA1B 沿 A1B 折起至 A?A1B ,使三角形 A?A1B 与四边形 A1BCD1 共 面,联结 A?D1 ,则 A?D1 的长即为 AP+D1P 的最小值,所以,

A?D1 ? 12 ? 12 ? 2 ?1?1? cos1350 ? 2 ? 2
练习 4:已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对棱 BB1、D1 上有两个动点 E、F,BE=D1F= ? (0 ? ? ? 值. 解答:当 ? ? 值为

1 ) .设 EF 与 AB 所成的角为 ? ,与 BC 所成的角为 ? ,求 ? ? ? 的最小 2

? . 2

1 ? 时,? ? ? ? .不难证明 ? ? ? ? f (? ) 是单调减函数.因此 ? ? ? 的最小 2 2

例题 5:在正 n 棱锥中,求相邻两侧面所成的二面角的取值范围. 解答:当顶点落在底面的时候,相邻两侧面所成的二面角为 ? .当顶点在无穷远处的时候, 正 n 棱锥变为正 n 棱柱,这时相邻两侧面所成的二面角为

( n ? 2)? . n

练习 5:已知直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的各条棱长均为 3,角 BAD=600,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动, 另一端点 N 在底面 ABCD 上运动, 求 MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与共一顶点 D 的三个面所围成的几何体的体积. 解答:联结 DP、DN,在三角形 MDN 为直角三角形,且 DP=MN/2=1,又由已知角 BAD=600, 角 ADC=1200,所以点 P 的轨迹以点 D 为球心,半径为 1 的 1/6 球面,所以其与顶点 D 以及三个面围成的几何体的体积为 ? ? ? 1 ?
3

1 4 6 3

2 ?. 9

立体几何(向量方法)
知识精要 1.证明两条直线平行,只需证明这两条直线上的向量共线(即成倍数关系) .证明两条 直线平行,只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零. 2.通过法向量,把线面、面面的角转化为线线的角.从而可以利用公式

cos? ? ? ?? | ? || ? | 求解.
3.建立空间直角坐标系.
1 例题 1 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= PA, 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, 2 P OP⊥底面 ABC. (Ⅰ)求证 OD ∥平面 PAB ; D (Ⅱ) 求直线 OD 与平面 PBC 所成角的大小.
C B

A

O

解答? OP ? 平面ABC,OA ? OC,AB ? BC,
? OA ? OB,OA ? OP,OB ? OP.

以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O ? xyz ?如图?,
? 2 ? ? ? ? ? 2 2 设AB ? a,则A ? a ,0,0 , B 0, a ,0 , C ? a ,0,0 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

z

P D

设OP ? h,则P ? 0,0, h?. Ⅰ ? ?? D为PC的中点,

A

???? ? ??? ? ? 2 ? 2 1 ? ? OD ? ? ? a ,0, h , 又 PA ?? a,0, ?h ? ? ? 4 ? ? ?, 2 ? ? ? 2 ?

x

O B

C

y

???? ? 1 ??? ? OD ? ? PA. 2

???? ??? ? ? OD∥PA.

? OD∥平面PAB.

?Ⅱ??

PA ? 2a, ? h ?

???? ? 7 2 14 ? a, ? OD ? ? ? a,0, a ?, ? 2 4 ? ? 4 ?

???? ? ???? ? ? ? OD ? n 210 1? ? cos?OD, n? ? ???? ? ? . 可求得平面PBC的法向量n ? ? ? 1,1, , ? ? 30 7? OD ? n ? ?

???? ? 210 设OD与平面PBC所成的角为?, 则 sin ? ? cos?OD, n? ? , 30 ? OD与平面PBC所成的角为arcsin 210 . 30

BD 与平面 AA1B1B 所 练习 1 如图,已知长方体 ABCD ? A 1 ? 1 ,直线 1B 1C1D 1 , AB ? 2, AA
成的角为 30 , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1B1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (Ⅱ)求平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角(锐角)的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 BDF 的距离
F
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0

A1

D1

B1

A

C1 E C

D

AB 所在直线为 x 解答 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,以
轴, AD 所在直线为 y 轴, AA 1 所在直线为 z 轴建立空间直 角坐标系如图.
B

AD ? 平面 AA1B1B , 由已知 AB ? 2, AA 1 ? 1 ,可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F (1,0,1) .又
从面 BD 与平面 AA 1B 1B 所成的角即为 ?DBA ? 30
0

A1 F

z
D1

2 3 又 AB ? 2, AE ? BD, AE ? 1, AD ? 3
从而易得 E ( ,

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B1

A

C1 E

D

y

1 3 2 3 , 0), D(0, , 0) 2 2 3

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x

B

C

1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 3 ??? ? 2 AE ?BF (Ⅰ) ? AE ? ( , , 0), BF ? (?1, 0,1) ? cos ? AE, BF ?? ??? ? ??? ? ? 2 ?? 4 2 2 2 AE BF
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即异面直线 AE 、 BF 所成的角为 arccos

2 4

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(Ⅱ) 易知平面 AA1 B 的一个法向量 m ? (0,1,0) 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 BDF 的一个法向
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?

?

??? ? 2 3 量 . BD ? (?2, , 0) 3

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? ? ??? ? ? n ? BF 由 ? ? ??? ? ? ?n ? BD

? ? ??? ? ? n ?BF ? 0 ? ? ? ??? ? ? ?n ?BD ? 0

? ?x ? x ? 0 ? ?? 2 3 y?0 ?2 x ? 3 ?
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? ? ? ? ? x?z ?? 取 n ? (1, 3,1) ∴ cos ? m, n ?? ? ? 3x ? y
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? ? m?n 3 15 ? ? ? ? m n 1? 5 5

即平面 BDF 与平面 AA1 B 所成二面角(锐角)大小为 arccos

15 5
?

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(Ⅲ)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值

??? ?

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??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB?n | AB?n | 2 2 5 ? ? ? cos ? AB, n ? ? | AB |? ??? 所以距离 d ? | AB |? ? ? ? |n| 5 | AB |? |n| 5
所以点 A 到平面 BDF 的距离为

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2 5 5

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例题 2 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形,将它沿对 称轴 OO1 折成直二面角,如图 2
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(Ⅰ)证明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.
D O1 C
D

O1
O1 C

z

C

D

A

O

B
A

O

B

O
x A
图3

B y

图1

图2

解答(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平 面角,即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0,0) ,B(0,3,0) ,C (0,1, 3 )O1(0,0, 3 ) . 从而 AC ? (?3,1, 3), BO1 ? (0,?3, 3), AC ? BO1 ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0. 所以 AC⊥BO1. (II)解:因为 BO 1 ? OC ? ?3 ? 3 ? 3 ? 0, 所以 BO1 ⊥OC ,由( I)AC⊥ BO1 ,所以 BO1⊥平面 OAC, BO1 是平面 OAC 的一个法向量.设 n ? ( x, y, z) 是 0 平面 O1AC 的一
?n ? AC ? 0 ?? 3x ? y ? 3z ? 0, 个法向量, 由? ?? ? ?n ? O1C ? 0 ? y ? 0. ? 取z ? 3, 得 n ? (1,0,

3) . 设二面角

O—AC—O1 的大小为 ? , 由n 、 所以 COS ? ? cos ? n , BO1 的方向可知 ? ?? n , BO1 >,

BO1 >= n ? BO1

| n | ? | BO1 |

?

3 即二面角 O—AC—O 的大小是 arccos 3 . 1 . 4 4

D为 练习 2 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA 1 ? 4 ,点 AB 的中点
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(Ⅰ)求证 AC ? BC1 ; (Ⅱ) 求证 AC1 ? 平面CDB1 ; (Ⅲ)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值
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C1 A1

B1

C A D

B

解答∵直三棱锥 ABC ? A1B1C1 底面三边长

AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 , AC, BC, CC1 两两垂直 如图建立坐标系,则
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3 ,2,0) 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? (Ⅰ)? AC1 ? (?3,0,0), BC1 ? (0,4,4) ,? AC1 ? BC1 ? 0,? AC1 ? BC1 C1 z (Ⅱ)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,则 E(0,2,2) A1 E ???? ???? ? 3 ? DE ? (? , 0, 2), AC1 ? (?3, 0, 4) 2 ???? 1 ???? ? ???? ???? ? ? DE ? AC1 ,? DE // AC1 A C D 2 x ? DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ? AC1 // 平面CDB1
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(
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B1

B y

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???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? AC1 ? CB1 2 2 ? ???? ? , ∴异 ( Ⅲ ) ? AC1 ? (?3,0,4), CB1 ? (0,4,4), ? cos ? AC1 , CB1 ?? ???? 5 | AC1 || CB1 |
面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 5

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例题 3 在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 SINA. , cos B ? 3 6

解答 以 B 为坐标原点, BC 为 x 轴正向建立直角坐标指法,且不妨设点 A 位于第一象 限
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由 sin B ?

??? ? 4 6 30 4 6 4 4 5 ,则 BA ? ( , cos B , sin B) ? ( , ) ,设 BC =(x,0) 6 3 3 3 3 4 ? 3x 2 5 4 ? 3x 2 2 5 2 , ) ,由条件得 | BD |? ( ) ?( ) ? 5 ,从而 x=2, 6 3 6 3

则 BD ? (

??? ?

x??

??? ? 14 2 4 5 ) .于是 (舍去) ,故 CA ? (? , 3 3 3

cos A ?

BA ? CA | BA | ? | CA |

?

?

8 80 ? 9 9

?

16 80 4 80 ? ? ? 9 9 9 9

3 14 14

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∴ sin A ? 1 ? cos A ?
2

70 14

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练习 3 在平面上给定 ?ABC ,对于平面上的一点 P,建立如下的变换 f : AP 的中点为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点为 P , f ( P) ? P' ,求证 f 只有一个不动点(指 P 与 P 重合的
' '

点) . 解 答 : 依 提 意 , 有 AQ ?

? ??? ? 1 ??? ? ???? ? ??? 1 ??? 1??? 1? AP , 且 AR ? ( AB ? AQ) ? AB ? AP , 2 2 2 4 ???? ? 1 ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 1 1 AP ' ? ( AC ? AR ) ? AC ? ? AB ? AP , 要 使 P' 与 P 重 合 , 应 2 2 4 8 ??? ? 1 ???? 1 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? AP ? AC ? AB ? AP ,得 AP ? (4 AC ? 2 AB) ,对于给定的 ?ABC ,满足条件 2 4 8 7

????

的不动点 P 只有一个. 例题 4 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,E 是 AB 上一 点, PE⊥EC. 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 ,求 2

P D C A E B

(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E—PC—D 的大小. 解答 (Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得 D(0,0,0) ,P(0,0, 2 ) , C(0,2,0)设 A( x,0,0)(x ? 0),则B( x,2,0),

z
P G F C y B

1 1 3 E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 2 2 2

D A

3 3 由 PE ? CE得PE ? CE ? 0 ,即 x 2 ? ? 0, 故x ? . 4 2
由 DE ? CE ? (

x

E

3 1 3 3 , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE , 2 2 2 2

又 PD⊥DE,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线 PD、 CE 的距离为 1. (Ⅱ)作 DG⊥PC,可设 G(0,Y,Z) .由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z) ? (0,2,? 2 ) ? 0 ,即

,则 z ? 2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF⊥PC 于 F,设 F(0,M,N)

EF ? (?

3 1 , m ? , n). 2 2
3 1 , m ? , n) ? (0,2,? 2 ) ? 0,即2m ? 1 ? 2n ? 0 , 2 2

由 EF ? PC ? 0得(?

又由 F 在 PC 上得 n ? ?

2 2 3 1 2 m ? 2 , 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 2 2 2 2 2

因 EF ? PC, DG ? PC, 故平面 E—PC— D 的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹 角. 故 cos ? ?

DG ? EF | DG || EF |

?

2 ? ,? ? , 2 4

即二面角 E—PC—D 的大小为

? . 4

练习 4 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥侧面 BB1C1C,E 为棱 CC1 上异于 C、C1 的一 点,EA⊥EB1,已知 AB= 2 ,BB1=2,BC=1,∠BCC1= (Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (Ⅱ)二面角 A—EB1—A1 的平面角的正切值. 解答(I)以 B 为原点, BB1 、 BA 分别为 Y、Z 轴建立 空间直角坐标系. 由于 BC=1,BB1=2,AB= 2 , ∠BCC1=

? ,求: 3
A

A1

B C E C1

B1

? ,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中有 3

z
A

A1

B(0,0,0) ,A(0,0, 2 ) ,B1(0,2,0) ,
B

3 1 3 3 C ( ,? ,0), C1 ( , ,0) 2 2 2 2
设 E(

C

B1 y E C1

x

3 , a,0),由EA ? EB1 , 得EA ? EB1 ? 0,即 2
3 3 3 3 , ? a, 2 ) ? ( ? ,2 ? a,0) ? ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? , 4 4 2 2

0 ? (?

1 3 1 3 3 1 得(a ? )(a ? ) ? 0,即a ? 或a ? (舍去),故E ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 ? ( , ,0) ? (? ? ? 0) ? ? ? ? 0,即BE ? EB1 . 2 2 2 2 4 4
又 AB⊥面 BCC1B1,故 AB⊥BE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB1 的公垂线, 则 | BE |?

3 1 ? ? 1 ,故异面直线 AB、EB1 的距离为 1. 4 4

(II)由已知有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 故二面角 A—EB1—A1 的平面角 ? 的大小为向量

B1 A1与EA 的夹角.
因B1 A1 ? BA ? (0,0, 2 ), EA ? (? 故 cos? ? 即 tan? ? EA ? B1 A1 | EA || B1 A1 | 2 . 2 ? 2 3 , 3 1 ,? , 2 ), 2 2


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