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常微分方程的初等解法


常微分方程的初等解法 常微分方程的初等解法 1.常微分方程的基本概况 1.1.定义: 自变量﹑未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式,得到的便是微分方程, 通过求解微分方程求出未知函数,自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象: 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动﹑演化和变化规 律的最为基本的数学理论和方法。 物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济 和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万 有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票 的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。 对这些规律的描述﹑认识和分析就 归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学, 而且越来越多的应 用于社会科学各个领域。 1.3.特点: 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及 解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简 述一下, 以了解常微分方程的特点。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标, 一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表 达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需 要的性能,还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用: 现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电 子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程 稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性 质的问题。应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现 有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加 完善。 1 常微分方程的初等解法 2.一阶的常微分方程的初等解法 一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的 类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子, 下面我们就具体分析一 阶常微分方程的初等解法。 2.1、变量分离方程法 形如 dy ? f ( x)? ( y ) , (2.1)的方程,称为变量分离方程,这里的 f ( x) , ? ( y ) 分别 dx 是 x,y 的连续函数。如果 ? ( y ) ? 0 ,我们可将(2.1)改写成 dy ? f ( x)dx ,这样变量 ? ( y) 就“分离”开来了。两边积分得到 ? dy f ( x)dx ? c , (2.2) 。 ? ( y) ? 例 1:方程 dy x ? ? 就可以用变量分离法求解方程 dx y 解: 变量分离,得到 ydy ? ? xdx , 两边积分,即得 y2 x2 c ?? ? , 2 2 2 因而,通解为 (c 为任意常数) x2 ? y2 ? c , 2.2、可化为变量分离方程的类型 (1) 形如 dy y ? g( ) , (2.3)的方程,称为齐次微分方程,这里 g (u ) 是 u 的连续函数。作 dx x y dy du ?x ?u, 变量变换 u ? , (2.4)即 y ? ux ,于是 (2.5).将(2.4) , (2.5)代入 dx dx x du du g (u ) ? u ? u ? g (u ) ,整理后,得到 ? (2.3) ,则原方程变为 x ,(2.6).方程(2.6) dx dx x 是一个变量分离方程,这就所为的可以化为变量分离的方程。

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