当前位置:首页 >> 数学 >>

西藏拉萨中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

西藏拉萨中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 11 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知两个集合 A={x|y=ln(﹣x +x+2)}, A. B. C.(﹣1,e)
2

,则 A∩B=() D.(2,e)

2. (5 分)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,且(a+i)i=b﹣2i,则 a+b=() A.1 B . ﹣1 C . ﹣2 D.﹣3

3. (5 分)在等比数列{an}中,a5?a11=3,a3+a13=4,则 A.3 B. ﹣ C. 3 或

=()

D.﹣3 或﹣

4. (5 分)已知 l、m 是两条不同的直线,a 是个平面,则下列命题正确的是() A.若 l∥a,m∥a,则 l∥m B. 若 l⊥m,m∥a,则 l⊥a C. 若 l⊥m,m⊥a,则 l∥a D.若 l∥a,m⊥a,则 l⊥m 5. (5 分)在(1﹣x) =a0+a1x+a2x +a3x +…+anx 中,若 2a2+an﹣5=0,则自然数 n 的值是() A.7 B. 8 C. 9 D.10 6. (5 分)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是()
n 2 3 n

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)如图中,x1,x2,x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最 终得分,当 x1=6,x2=9,p=9.5 时,x3 等于()

A.10 8. (5 分)函数 y=2 A.[2kπ﹣
sinx

B. 9 的单调增区间是() ](k∈Z)

C. 8

D.7

,2kπ+

B. [2kπ+

,2kπ+

](k∈Z)

C. [2kπ﹣π,2kπ](k∈Z) 9. (5 分)函数 y=1﹣ 的图象是()

D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过点( ,﹣3) ,则 a 的值() A.2 B . ﹣2 C. ﹣ D.

11. (5 分)给出定义:若 x∈(m﹣ ,m+ ](其中 m 为整数) ,则 m 叫做实数 x 的“亲密的整 数”,记作{x}=m,在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)在 x∈(0,1)上是增函数; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称;

③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. 其中正确命题的序号是() A.②③④ B.②③ C.①②

D.②④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 12. (5 分)函数 的最大值.

13. (5 分)

(3x +k)dx=10,则 k=.

2

14. (5 分)不等式|2x﹣1|<1 的解集是. 15. (5 分)已知 则 a13+a2014=. ,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an+2=f(an) ,若 a12=a14,

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ + (x>0) . (1)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明; (2)解关于 x 的不等式 f(x)>0; (3)若 f(x)+2x≥0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 17. (12 分)如图 ABCD 是正方形,PD⊥面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. (1)证明:DE⊥面 PBC; (2)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

18. (12 分) 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究, 对该校 2014-2015 学年高二年级 800 名学生上学期期末语文和外语成绩,按优秀和不优秀分类得结果:语文和

外语都优秀的有 60 人,语文成绩优秀但外语不优秀的有 140 人,外语成绩优秀但语文不优秀 的有 100 人. (Ⅰ)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校 2014-2015 学年高二年纪学生成绩中,有放 回地随机抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的 个数为 X,求 X 的分布列和期望 E(X) . p(K ≥k0) k0 附:
2

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 .

19. (12 分)已知点 M 是椭圆 C:

=1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右

焦点,|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△ F1MF2 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 N(0,2) ,过点 p(﹣1,﹣2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、 NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值. 20. (11 分)已知函数 f(x)=2lnx﹣x +ax(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax+m 在[ ,e]上有两个零点,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 0<x1<x2, 求证:f′( )<0(其中 f′(x)是 f(x)的导函数) .
2

四、选修 4-5:不等式选讲 22. (10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: (Ⅰ) + + ≥8;

(Ⅱ) (1+ ) (1+ )≥9.

西藏拉萨中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 11 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知两个集合 A={x|y=ln(﹣x +x+2)}, A. B. C.(﹣1,e)
2

,则 A∩B=() D.(2,e)

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中函数的定义域确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的 交集即可. 解答: 解:由 A 中的函数 y=ln(﹣x +x+2)}, 2 2 得到﹣x +x+2>0,即 x ﹣x﹣2<0, 整理得: (x﹣2) (x+1)<0,即﹣1<x<2, ∴A=(﹣1,2) , 由 B 中的不等式变形得: (2x+1) (e﹣x)≤0,且 e﹣x≠0, 即(2x+1) (x﹣e)≥0,且 x≠e, 解得:x≤﹣ 或 x>e, 即 B=(﹣∞,﹣ ]∪(e,+∞) , 则 A∩B=(﹣1,﹣ ]. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,且(a+i)i=b﹣2i,则 a+b=() A.1 B . ﹣1 C . ﹣2 D.﹣3 考点: 复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的等式左边的复数利用复数的多项式乘法运算化简,然后利用复数相等的条 件求出 a 和 b,则 a+b 可求. 解答: 解:由(a+i)i=b﹣2i, 可得:﹣1+ai=b﹣2i. ∴ .∴a+b=﹣3.
2

故选:D. 点评: 本题考查复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部, 此题是基础题.

3. (5 分)在等比数列{an}中,a5?a11=3,a3+a13=4,则 A.3 B. ﹣ C. 3 或

=()

D.﹣3 或﹣

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接由等比数列的性质和已知条件联立求出 a3 和 a13,代入 转化为公比得答案.

解答: 解:由数列{an}为等比数列, 则 a3a13=a5a11=3,又 a3+a13=4,联立解得:a3=1,a13=3 或 a3=3,a13=1. ∴ = =3 或 = .

故选 C. 点评: 本题考查了等比数列的性质,考查了转化思想方法,是基础的计算题. 4. (5 分)已知 l、m 是两条不同的直线,a 是个平面,则下列命题正确的是() A.若 l∥a,m∥a,则 l∥m B. 若 l⊥m,m∥a,则 l⊥a C. 若 l⊥m,m⊥a,则 l∥a D.若 l∥a,m⊥a,则 l⊥m 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之 间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线面位置关系判定与性质定理即可得出. 解答: 解:A.由 l∥a,m∥a,则 l∥m 或相交或异面直线,因此不正确; B.由 l⊥m,m∥a,则 l 与 a 相交或平行或 l?a,因此不正确; C.由 l⊥m,m⊥a,则 l∥a 或 l?a,因此不正确; D.由 l∥a,m⊥a,利用线面垂直与平行的性质定理可得:l⊥m. 故选:D. 点评: 本题考查了空间中线面位置关系判定与性质定理,属于中档题. 5. (5 分)在(1﹣x) =a0+a1x+a2x +a3x +…+anx 中,若 2a2+an﹣5=0,则自然数 n 的值是() A.7 B. 8 C. 9 D.10 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 由二项展开式的通项公式 Tr+1=
2 n 2 3 n

?(﹣1) x 可得 ar=(﹣1) ?

r r

r

,于是有 2(﹣1)

+(﹣1)

n﹣5

=0,由此可解得自然数 n 的值. ?(﹣1) x ,
r r

解答: 解:由题意得,该二项展开式的通项公式 Tr+1=

∴该项的系数 ar=(﹣1) ? ∵2a2+an﹣5=0, ∴2(﹣1)
2

r



+(﹣1)

n﹣5

=0,即 2

+(﹣1)

n﹣5

?

=0,

∴n﹣5 为奇数, ∴2 ∴2× = = = , ,

∴(n﹣2) (n﹣3) (n﹣4)=120. ∴n=8. 故答案为:8. 点评: 本题考查二项式定理的应用,着重考查二项式系数的概念与应用,由二项展开式的 通项公式得到二项式系数 an=(﹣1) ?
r

是关键,属于中档题.

6. (5 分)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键,可以判断出该几何体是 圆锥,下面细上面粗的容器,判断出高度 h 随时间 t 变化的可能图象. 解答: 解:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗, 随时间的增加,可以得出高度增加的越来越慢. 刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后,高度增加的越来越慢,图形越平稳. 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的辨别能力,考查学生对两变量变化趋势的直观把握能力,通过 曲线的变化快慢进行筛选,体现了基本的数形结合思想.

7. (5 分)如图中,x1,x2,x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最 终得分,当 x1=6,x2=9,p=9.5 时,x3 等于()

A.10

B. 9

C. 8

D.7

考点: 选择结构. 专题: 计算题;图表型. 分析: 根据已知中 x1=6,x2=9,p=9.5,根据已知中的框图,分类讨论条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2| 满足和不满足时 x3 的值,最后综合讨论结果,即可得答案. 解答: 解:当 x1=6,x2=9 时,|x1﹣x2|=3 不满足|x1﹣x2|≤2, 故此时输入 x3 的值,并判断|x3﹣x1|<|x3﹣x2|, 若满足条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,此时 p= = =9.5,解得,x3=13,

这与|x3﹣x1|=7,|x3﹣x2|=4,7>4 与条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|矛盾,故舍去, 若不满足条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,此时 p= ,解得,x3=10,

此时|x3﹣x1|=4,|x3﹣x2|=1,|x3﹣x1|<|x3﹣x2|不成立,符合题意, 故选 A. 点评: 本题考查的知识点是选择结构,是选择结构在实际中的应用问题,分类讨论是解答 本题的关键. 还同时考查了学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识, 考查学生 对赋值语句的理解和认识, 考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力, 考查学生的算法 思想和简单的计算问题.属于基础题. 8. (5 分)函数 y=2 A.[2kπ﹣
sinx

的单调增区间是() ](k∈Z) B. [2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z)

,2kπ+

C. [2kπ﹣π,2kπ](k∈Z) 考点: 复合三角函数的单调性.

D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)

专题: 计算题;综合题. 分析: 由于 y=2 是增函数,只需求 u=sinx 的增区间即可. x sinx 解答: 解:因为 y=2 是增函数,求函数 y=2 的单调增区间,就是 g(x)=sinx 的增区间, 它的增区间是[2kπ﹣π/2,2kπ+π/2](k∈Z) 故选 A. 点评: 本题考查复合函数的单调性,是基础题. 9. (5 分)函数 y=1﹣ 的图象是()
u

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 作图题. 分析: 把函数 解答: 解:把 把 把 先向右平移一个单位,再关于 x 轴对称,再向上平移一个单位. 的图象向右平移一个单位得到 的图象, 的图象. 的图象,

的图象关于 x 轴对称得到 的图象向上平移一个单位得到

故选:B. 点评: 本题考查函数图象的平移,对称,以及学生的作图能力.

10. (5 分)设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过点( ,﹣3) ,则 a 的值() A.2 B . ﹣2 C. ﹣ D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: 因为函数图象过点( ,﹣3) ,把点的坐标代入函数解析式即可求得 a 的值. 解答: 解:因为函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过点( ,﹣3) , 所以 ,所以 ,所以 a=2.

故选 A. 点评: 本题考查了对数函数的图象和性质,考查了对数式和指数式的互化,此题是基础题.

11. (5 分)给出定义:若 x∈(m﹣ ,m+ ](其中 m 为整数) ,则 m 叫做实数 x 的“亲密的整 数”,记作{x}=m,在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)在 x∈(0,1)上是增函数; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称; ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. 其中正确命题的序号是() A.②③④ B.②③ C.①② 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 压轴题. 分析: ①x∈(0,1)时,m= ,可得 f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣ |,从而可得函数的单调性; ②利用新定义,可得{k﹣x}=k﹣m,从而可得 f(k﹣x)=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣(k﹣m)|=|x ﹣{x}|=f(x) ; ③验证{x+1}={x}+1=m+1,可得 f(x+1)=|(x+1)﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f(x) ; ④由上,在同一坐标系中画出函数图象,即可得到当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. 解答: 解:①x∈(0,1)时,m= ,∴f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣ |,函数在(﹣∞, )上是 减函数,在( ,+∞)上是增函数,故①不正确; ②∵x∈(m﹣ ,m+ ],∴k﹣m﹣ <k﹣x≤k﹣m+ (m∈Z) ∴{k﹣x}=k﹣m ∴f(k﹣x)=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣(k﹣m)|=|x﹣{x}|=f(x) ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称,故②正确; ③∵x∈(m﹣ ,m+ ],∴﹣ <(x+1)﹣(m+1)≤ , ∴{x+1}={x}+1=m+1,∴f(x+1)=|(x+1)﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f(x) , ∴函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④由题意,当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. ∴正确命题的序号是②③④ 故选 A. 点评: 本题为新定义题目,考查了函数奇偶性,周期性,单调性,对称性的判断,解题的 关键是读懂定义内涵,尝试探究解决,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 12. (5 分)函数 的最大值 5.

D.②④

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 因为 , ,所以可以考虑用三角换元来求最值,设 一个为某个角的正弦,则另一个必为同角的余弦,再利用辅助角公式,化一

角一函数,最后利用正弦函数的有界性即可求出 y 的最大值. 解答: 解:∵ (α∈[0, ] 变形为 y=3sinα+4cosα=5sin(α+?) , (tan?= ) 当 α+?= 时,y 有最大值 5 ,∴可设 =sinα,则 =cosα,

故答案为 5 点评: 本题考查了换元法在求最值中的应用,做题时应注意观察,找到突破口. 13. (5 分) (3x +k)dx=10,则 k=1.
2

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 欲求 k 的值, 只须求出函数 3x +k 的定积分值即可,故先利用导数求出 3x +k 的原函 数,再结合积分定理即可求出用 k 表示的定积分.最后列出等式即可求得 k 值. 解答: 解:∵∫0 (3x +k)dx 3 2 =(x +kx)|0 3 =2 +2k. 由题意得: 3 2 +2k=10, ∴k=1. 故答案为:1. 点评: 本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识, 考查运算求解能力.属于基础题. 14. (5 分)不等式|2x﹣1|<1 的解集是(0,1) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用绝对值不等式的等价形式,转化求解即可. 解答: 解:不等式|2x﹣1|<1?﹣1<2x﹣1<1, ?0<2x<2?0<x<1. ∴不等式|2x﹣1|<1 的解集是: (0,1) 故答案为: (0,1)
2 2

点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查计算能力.

15. (5 分)已知 则 a13+a2014= .

,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an+2=f(an) ,若 a12=a14,

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由题意,an+2= 解答: 解:由题意,an+2= ,再分奇数项、偶数项,求出 a13、a2014,即可求得结论. . ,a13= ,

∵a1=1,∴a3= ,∴a5= ,a7= , a9= ,a11= ∵a12=a14,∴a12= ∵a12>0,∴a12= ∴a13+a2014= 故答案为: ,且偶数项均相等. ,∴a2014= . . ,

点评: 本题考查数列与函数的结合,考查学生的计算能力,解题的关键是确定 a13、a2014. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ + (x>0) . (1)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明; (2)解关于 x 的不等式 f(x)>0; (3)若 f(x)+2x≥0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;存在型;分类讨论. 分析: (1)求导,判断导数在(0,+∞)上的符号,判断出单调性,本题是先判断后证明, 格式应为“f(x)在(0,+∞)上为减函数,证明如下:… (2)由 f(x)>0 得﹣ + >0,整理得 分类解不等式; (3)对恒等式进行变形,得到 ≤ +2x.求出 +2x 的最小值,令 小于等于它即可解出参数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)f(x)在(0,+∞)上为减函数,证明如下: <0.求解时要对参数 a 的范围进行分类讨论,

∵f'(x)=﹣

<0,

∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. (2)由 f(x)>0 得﹣ + >0, 即 <0.

①当 a>0 时,不等式解集为{x|0<x<2a}. ②当 a<0 时,原不等式为 >0.

解集为{x|x>0}. (3)若 f(x)+2x≥0 在(0,+∞)上恒成立, 即﹣ + +2x≥0.∴ ≤ +2x. ∵ +2x≥4,∴ ≤4. 解得 a<0 或 a≥ . 点评: 本题考查用导数法证明函数的单调性、利用单调性解不等式以及恒成立的问题求参 数.解题中变形灵活,转化得当,值得借鉴. 17. (12 分)如图 ABCD 是正方形,PD⊥面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. (1)证明:DE⊥面 PBC; (2)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (1)由 PD⊥平面 ABCD 得 DE⊥BC,DE⊥PC.由线面垂直的判定定理得 DE⊥平 面 PBC. (2)由 PB⊥FD.结合 EF⊥PB,由二面的定义可得∠EFD 就是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角, 解三角形 EFD 即可得到答案. 解答: 证明: (1)∵PD⊥面 ABCD,BC?面 ABCD ∴PD⊥BC, 又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,PD,DC?面 PDC

∴BC⊥面 PDC 又∵ED?面 PDC ∴BC⊥DE, 又∵PD=DC,E 是 PC 的中点 ∴DE⊥PC 又∵BC∩PC=C,BC,PC?面 PBC ∴DE⊥面 PBC (2)作 EF⊥PB 于 F,连 DF, ∵DE⊥面 PBC,PB?面 PBC ∴DF⊥PB 所以∠EFD 是二面角的平面角 ∵PD=DC=BC=2,∴PC=DB=2 ∵PD⊥DB, ∴PB= DF= = =2 ,DE= PC=

由(1)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P,∴DE⊥平面 PBC. ∵EF?平面 PBC,∴DE⊥EF. 在 Rt△ DEF 中,sin∠EFD= =

∴∠EFD=60°.故所求二面角 C﹣PB﹣D 的大小为 60°.

点评: 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与 平面垂直的判定, 二面角的平面角及求法, 其中几何法的关键是熟练掌握空间直线与平面位置 关系的定义、判定、性质及几何特征,建立良好的空间想像能力,几何法的关键是建立适当的 空间坐标系,将空间线面关系及线面夹角问题转化为向量夹角问题. 18. (12 分) 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究, 对该校 2014-2015 学年高二年级 800 名学生上学期期末语文和外语成绩,按优秀和不优秀分类得结果:语文和 外语都优秀的有 60 人,语文成绩优秀但外语不优秀的有 140 人,外语成绩优秀但语文不优秀 的有 100 人. (Ⅰ)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校 2014-2015 学年高二年纪学生成绩中,有放 回地随机抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的 个数为 X,求 X 的分布列和期望 E(X) . 2 p(K ≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 附: .

考点: 离散型随机变量及其分布列;独立性检验;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意得列联表,可计算 K ≈16.667>10.828,可得结论; (Ⅱ)可得语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 , X~B (3, ) , P(X=k) =
k 2

( )

( )

8﹣k

,k=0,1,2,3,计算可得各个概率,可得分布列,进而可得期望.

解答: 解: (Ⅰ)由题意得列联表: 语文优秀 语文不优秀 外语优秀 60 100 外语不优秀 140 500 总计 200 600 因为 K =
2

总计 160 640 800 ≈16.667>10.828,

所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关 系.…(5 分) (Ⅱ)由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 . 则 X~B(3, ) ,P(X=k)= X 的分布列为 X 0 1 p 所以 E(X)=3× = .…(12 分) 点评: 本题考查离散型随机变量及其分布列,涉及独立性检验,属中档题. ( )( )
k 3﹣k

,k=0,1,2,3.

2

3

19. (12 分)已知点 M 是椭圆 C:

=1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右

焦点,|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△ F1MF2 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设 N(0,2) ,过点 p(﹣1,﹣2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、 NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I) 由余弦定理可得
2 2

=|MF1| +|MF2| ﹣2|MF1||MF2|cos60°, 结合|F1F2|=2c=4,

2

2

|MF1|+|MF2|=2a,求出 a ,b 的值,可得椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1) ,与出椭圆方程联立后,利用韦达定 理,化简 k1+k2 可得定值;当直线 l 斜率不存在时,求出 A,B 两点坐标,进而求出 k1、k2, 综合讨论结果,可得结论. 解答: 解: (I)在△ F1MF2 中,由 |MF1||MF2|sin60°= 由余弦定理,得 (1+cos60°) 又∵|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a 2 故 16=4a ﹣16, 2 2 2 2 解得 a =8,故 b =a ﹣c =4 故椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1)
2 2 2 2 2

,得|MF1||MF2|=


2

=|MF1| +|MF2| ﹣2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|+|MF2|) ﹣2|MF1||MF2|



,得(1+2k )x +4k(k﹣2)x+2k ﹣8k=0

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ,x1x2= ,

从而 k1+k2=

+

=

=2k﹣(k﹣4)

=4.

11 分

当直线 l 斜率不存在时,得 A(﹣1,

) ,B(﹣1,﹣



此时 k1+k2=4 综上,恒有 k1+k2=4. 点评: 本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用.第一问是利用三角形面积公式、 余弦定理、椭圆的定义,三个方程联立,解出 a,再根据 a,b,c 的关系求出 b,本问分析已 知条件是解题的关键;第二问是直线与椭圆相交于 A,B 两点,先设出 A,B 两点坐标,本题

的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积,整理斜率的表达式,但是在本问中需 考虑直线的斜率是否存在,此题中蕴含了分类讨论的思想的应用. 20. (11 分)已知函数 f(x)=2lnx﹣x +ax(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax+m 在[ ,e]上有两个零点,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,且 0<x1<x2, 求证:f′( )<0(其中 f′(x)是 f(x)的导函数) .
2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)利用导数的几何意义即可得出; (II)利用导数研究函数的单调性极值、最值,数形结合即可得出; (III)由于 f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,可得方程 2lnx﹣ x +ax=0 的两个根为 x1,x2,得到
2

.可得

=

.经过变形只要证明

,通过换元再利用导数研究其单调性即可得出.
2

解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=2lnx﹣x +2x, 1) , 切线的斜率 k=f′(1)=2, ∴切线方程为 y﹣1=2(x﹣1) ,即 y=2x﹣1. (Ⅱ)g(x)=2lnx﹣x +m,则 ∵ 当 ,故 g′(x)=0 时,x=1. 时,g′(x)>0;当 1<x<e 时,g′(x)<0.
2

,切点坐标为(1,



故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m﹣1. 又 ,g(e)=m+2﹣e , ,∴ ∴g(x)在 上的最小值是 g(e) . ,
2

g(x)在

上有两个零点的条件是

解得

, .

∴实数 m 的取值范围是

(Ⅲ)∵f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) , ∴方程 2lnx﹣x +ax=0 的两个根为 x1,x2,则
2

两式相减得
2



又 f(x)=2lnx﹣x +ax,





=



下证

(*) ,即证明





,∵0<x1<x2,∴0<t<1,

即证明

在 0<t<1 上恒成立.

∵ 又 0<t<1, ∴u′(t)>0, ∴u(t)在(0,1)上是增函数,则 u(t)<u(1)=0,从而知





故(*)式<0,即

成立.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、 方程实数根的个数转化为图象的交点,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 四、选修 4-5:不等式选讲 22. (10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:

(Ⅰ) + +

≥8;

(Ⅱ) (1+ ) (1+ )≥9.

考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;综合法;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)利用“1”的代换,结合基本不等式,即可证明结论; (Ⅱ) (1+ ) (1+ )=1+ + + ,由(Ⅰ)代入,即可得出结论.

解答: 证明: (Ⅰ)∵a+b=1,a>0,b>0, ∴ + + =2( ∴ + + = =2( )=2( )

)+4≥4+4=8, (当且仅当 a=b 时,取等号) , ≥8; ,

(Ⅱ)∵(1+ ) (1+ )=1+ + + 由(Ⅰ)知, + + ∴1+ + + ≥ 9, ≥8,

∴(1+ ) (1+ )≥9. 点评: 本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


相关文章:
西藏拉萨中学2015届高三第一次月考数学(理)试题.doc
西藏拉萨中学2015届高三第一次月考数学(理)试题 - 西藏拉萨中学 2015 届高三第一次月考数学(理)试题 (满分 150 分,考试时间 120 分钟,请将答案填写在答题卡...
西藏自治区拉萨中学2019届高三上学期第一次月考数学(理....doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题 - 拉萨中学 2019 届高三第一次月考理科数学试题 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 ...
西藏自治区拉萨中学2019届高三第一次月考数学(理)试卷....doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三第一次月考数学(理)试卷含答案 - 西藏自治区拉萨中学 2019 届高三第一次月考 理科数学试题 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小...
西藏自治区拉萨中学2018届高三上学期第一次月考数学(理....doc
西藏自治区拉萨中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题 扫描版含答案_数学_高中教育_教育专区 1人阅读|次下载 西藏自治区拉萨中学2018届高三上学期第一次...
西藏拉萨中学2019年高三上学期第一次月考数学(理)试题 ....doc
西藏拉萨中学2019年高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案 -
西藏拉萨中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题 ....doc
西藏拉萨中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。高三第一次月考数学理科 黄昌元 时间:120 分钟 满分:150...
2019届西藏自治区拉萨中学高三第一次月考数学(理)试卷.doc
2019届西藏自治区拉萨中学高三第一次月考数学()试卷 - 2019 届西藏自治区拉萨中学高三第一次月考 数学()试卷 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每...
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试....doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理 - 拉萨中学 2019 届高三第一次月考理科数学试题 第Ⅰ 卷一、 选择题:本大 题共 12 小题,每 小...
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理.doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理 - 。。 内部文件,版权追溯 拉萨中学 2019 届高三第一次月考理科数学试题 第Ⅰ卷一、选择题:本大题...
西藏拉萨中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试卷.doc
西藏拉萨中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试卷 - 拉萨中学高三年级(2016 届)第一次月考文科数学试卷 命题: 审定: (满分 150 分,考试时间 120 分钟,...
西藏拉萨中学2015届高三第一次月考数学(理)试题.doc
西藏拉萨中学2015届高三第一次月考数学(理)试题 - (满分 150 分,考试时间 120 分钟,请将答案填写在答题卡上) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共...
西藏拉萨中学2011届高三第一次月考理科数学试卷 doc.doc
拉萨中学高三年级(2011 届)第一次月考理科数学试卷 命题:罗布 审定:田金有 (满分 150 分,考试时间 120 分钟,请将答案填写在答题卡上) 一、选择填空(每小题 ...
...拉萨北京实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试....doc
西藏拉萨北京实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理(含答案) - 20182019 学年高三第一次月考 (理科数学)试卷 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分,...
...拉萨北京实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试....pdf
西藏拉萨北京实验中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理20180919036 - 20182019 学年高三第一次月考 (理科数学)试卷 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分,...
西藏自治区拉萨中学2017届高三上学期第一次月考数学(文....doc
西藏自治区拉萨中学2017届高三上学期第一次月考数学(文)试题(附答案)$715816_数学_高中教育_教育专区。拉萨中学高三年级(2017 届)第一次月考文科数学试卷 命题:...
西藏拉萨中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题_....pdf
西藏拉萨中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题_高三英语_英语_高中教育_教育专区 人阅读|次下载 西藏拉萨中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题_...
西藏拉萨中学高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版....doc
西藏拉萨中学高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)-word文档资料_数学_高中教育_教育专区。西藏拉萨中学高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)-word...
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试....doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理 - 借鉴借鉴 家酷酷 酷卡 拉萨中学 2019 届高三第一次月考理科数学试题 第Ⅰ卷一、选择题:本大题...
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试....doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理 - 我爱你中 国亲爱 的祖国 拉萨中学 2019 届高三第一次月考理科数学试题 第Ⅰ 卷一、 选择题:本...
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试....doc
西藏自治区拉萨中学2019届高三数学上学期第一次月考试题 理 - 拉萨中学 2019 届高三第一次月考理科数学试题 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5...