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2014-2015-1本二概率论与数理统计试卷A卷答案


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淮 海 工 学 院
2014 - 2015

5. 设 X 的方差为 1, 利用切比雪夫不等式估计 P X ? E ? X ? ? 2 ? -----( (A) 1/2 (B) 3/4 (C) 1/4 (D) 1/5

?

?

C ) .

学年第 一 学期概率论与数理统计 B 试卷(闭卷) (A 卷)答案

6.设( X 1 , X 2 ,?, X n )为来自总体 X ~ N (?, ? 2 ) 的一个样本,其中 ? , ? 2 未知, 则下面不是统计量的是----------------------------------------------------------------( D )

题号 分值 得分

一 24

二 16

三 1 7 2 7 3 7 4 7

四 8

五 8

六 8

七 8

总分 100

核分人

(A) X i

(B) X ?

1 n ? Xi n i ?1

(C)

1 n ?( X i ? X )2 n ? 1 i ?1

(D)

1 n ? ( X i ? ?)2 n i ?1

一、选择题(本大题共 8 小题,每题 3 分,共 24 分)
1.设有 50 份考卷,分别予以编号 1,2, ?50 ,任取其中 2 份进行考试,则事件“抽到 的两份都是前 10 号考卷” 的概率为---------------------------------------------------- ( B ).

2 2 7.设总体 X 服从正态分布 N ? , ? , X 1 , X 2 ,? , X n 是来自 X 的样本,? 的无偏

?

?

估计量是------------------------------------------------------------------------------------ ( B ). (A)
2 1 n Xi ? X ? ? ? n i ?1

(B)

1 (A) 25

2 C10 (B) 2 C50

2 (C) 2 C50

2 C10 (D) 502

2 1 n Xi ? X ? ? ? n ? 1 i ?1

2.设随机变量 X 的分布律为 P{ X ? k} ?

k 1 5 , k ? 1,2,3,4,5 ,则 P{ ? X ? } 的 15 2 2
( B ).

(C)

1 n 2 ? Xi n i ?1

(D) X

2

值是-------------------------------------------------------------------------------------(A) 3/5 (B) 1/5 (C) 2/5 (D) 4/5

8. 在假设检验中, 则称为犯第二类错误是 ( D ) . H 0 表示原假设, H1 为备择假设, (A) H1 不真,接受 H1 (C) H 0 不真,接受 H1 (B) H1 不真,接受 H 0 (D) H 0 不真,接受 H 0

3.设随机向量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y) ,关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) 为 --------------------------------------------------------------------------------------------------( D ) . (A) lim F ( x, y )
x ???

(B) lim F ( x, y )
y ???

(C) F ( x, 0)

(D) F (??, y)

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分)
1.设事件 A, B 分别表示甲、乙迟到,则甲乙至少有一人迟到可以表示为 A ? B ,只 有乙迟到可以表示为___ A B __ .

4.设 X 是一随机变量,则下列各式中错误的是------------------------------------( C ). (A) E (?5 X ) ? ?5E ( X ) (C) E (5 X ? 1) ? 5E ( X ) (B) D(5 ? X ) ? D( X ) (D) D(5 ? X ) ? D( X )

2. 设 连 续型 随机 变 量 X 服从 参 数为 ? ? 1 的 指 数 分布 ,则 X 的 概率 密 度函 数

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? ?e ? x f ( x) ? ? ? ?0

x ? 0 , P? X ? 1? ? x?0

0 .

?k (6 ? x ? y), 0 ? x ? 2, 2 ? y ? 4 f ( x, y) ? ? 0, 其他 ?
6. (1)确定常数 k . (2)求 P{ X ? Y ? 4} . 解 (1)由

3.随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,则 E ( X ) ? ___2___, E ( X 2 ) ?

2 4. 设 X ? N ? ? ,1 ? ,容量 n ? 16 ,均值 X ? 5.2 ,则未知参数 ? 的置信度 0.95 的

置信区间的下限为 4.71,上限为 5.69 (已知 Z0.025 ? 1.96 , Z0.05 ? 1.645 ).

? ?

?

?

?? ??

f ( x, y)dxdy ? 1 ,得1 ? ? dy ? k (6 ? x ? y)dx ? 8k ,所以
2 0

4

2

三、计算题(本大题共 4 小题,每题 7 分,共 28 分)
1 2 3 , P( B | A) ? , P ( A | B ) ? ,求 P( AB) 及 P( A ? B). 2 5 10 1 解: P ( AB ) ? P ( A) P ( B A) ? ----------------------------------------------------2 5
1.已知 P ( A) ?

1 k ? .---------------------------------3 8 (2) P{ X ? Y ? 4} ? ?? f ( x, y ) dxdy
G

? ? dy ?
2

4

4? y

0

1 (6 ? x ? y )dx ?????? 2 8

P( B ) ?

P( AB) 2 ? P( A B ) 3

----------------------------------------------------2

2 ? ??????? 2 3
4 . 设 随 机 变 量 X 和 Y 的 相 关 系 数 为 0.5 , E ( X ) ? E (Y ) ? 0,

∴ P( A ? B)

? P( A) ? P( B) ? P( AB) ?

29 ----------------------------------------3 30

?0 ?0.1 ? 2.设 X 的分布函数 F ( x) ? ? ?0.5 ? ?1
2

x ? ?1 ?1 ? x ? 1 1? x ? 3 x?3

E( X 2 ) ? E(Y 2 ) ? 2, 求 E ( X ? Y )2 .
解:由已知条件 E( X ) ? E(Y ) ? 0, E( X ) ? E(Y ) ? 2,
2 2

可得 D( X ) ? E( X ) ? ( E( X )) ? 2, 同理 D(Y ) ? 2.????????2
2 2

求(1) X 的分布列, (2)求 Y ? X 的分布.

所以 Cov( X , Y ) ? ?XY DX

DY ? 0.5 ? 2 ? 1.??????2

3 ? ? ?1 1 解: X ? ? ? ---------------------------------------4 ? 0.1 0.4 0.5 ? 9 ? ? 1 Y ? X2 ? ? ? --------------------------------3 ? 0.5 0.5 ?
3.设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

因此 Cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E( X ) E (Y ) ? E ( XY ) ? 2????1

所以,E( X ? Y )2 ? E( X 2 ) ? 2E( XY ) ? E(Y 2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 6??2

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四、计算题(本题 8 分)
对敌人的阵地进行 100 次射击, 每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量, 其数学期望为 2,标准差为 1.5,试用中心极限定理计算在 100 次射击中,有 180 颗 到 220 颗炮弹命中目标的概率。附表: ?(1.33) ? 0.9082。 解:以 X i 记第 i 次射击命中目标的炮弹数, i ? 1, 2,?,100 ,------------------1

-------------------------3

P( A1 | B) ?

P( A1B) P( A1 ) P( B | A1 ) ? P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) ? P( A2 ) P( B | A2 )

?

0.05 ?

1 1 0.05 ? ? 0.0025 ? 2 2

1 2

?

500 20 ? ? 0.952 .-------------------------3 525 21

由题设 E ( X i ) ? 2 , D( X i ) ? 1.5 ,则由中心极限定理知
2

?X
i ?1

100

i

? 2 ?100
近似服从

六、计算题(本题 8 分)
设 X1 , X 2 , ?, X n 为总体 X 的一个样本, X 的密度函数:

100 ?1.52

N (0,1) ------------------------------------------3
故所求概率为
100 ? ? X i ? 2 ?100 ? 100 ? 220 ? 2 ?100 ? ?180 ? 2 ?100 i ?1 ? ? ? P{180 ? ? X i ? 220} ? P ? ? ---2 2 2 2 i ?1 1.5 ? 100 1.5 ? 100 1.5 ? 100 ? ? ? ? ? ?

?? x ? ?1 , 0 ? x ? 1 , f ( x) ? ? 其他 ? 0,

? ? 0 , 求参数 ? 的矩估计量和最大似然估计量。
解: (1) E ? X ? ?

?

1

0

x? x ? ?1dx ?

? ? ?1

-------------------------1

? 2? (

20 ) ? 1 ? 0.8186 .--------------------------------2 15

由 X ? E?X ? ?

? ? ?1

?? 知矩估计量为 ?

X --------------------2 1? X

五、计算题(本题 8 分)
已知男子有 5%色盲, 女子有 0.25%色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑 选一人,求(1)抽到色盲的概率是多少?(2)如果抽到这个人恰好是色盲者,问 此人是男性的概率是多少? 解:以 B 表示事件“选出的人患色盲” ,以 A ,则 A2 1 表示事件“选出的是男性” 表示事件“选出的是女性” . 由 题 设 , P( A1 ) ? P( A2 ) ?

? n n ? ?1 ?? ? xi , 0 ? xi ? 1 (2) L ? ? ? ? ? --------------------2 i ?1 ? 0, 其它 ?
ln L ? ? ? ? n ln ? ? ( ? ? 1)? ln xi
i ?1 n

--------------------1

1 , P( B | A 2 ) ? 0.0025 , 1 ) ? 0.05 , P( B | A 2
-------------------------2

d ln L ? ? ? n n ? ? ? ln xi ? 0 d? ? i ?1

--------------------1

1 1 P( B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? ? 0.05 ? ? 0.0025 ? 0.02625 2 2

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最大似然估计量为 ? ?

?

?n

? ln x
i ?1

n

--------------------1

i

七、应用题(本题 8 分)
假定人的脉搏服从正态分布,正常人的脉搏平均为 72 次/分钟,现测得 16 例 慢性铅中毒患者的脉搏,计算得知 x ? 66.44, s ? 7.18 。问在显著性水平 0.05 下, 慢 性 铅 中 毒 患 者 和 正 常 人 的 脉 搏 有 无 显 著 差 异 ? ( t0.025 (15) ? 2.1315 ,

t0.05 (15) ? 1.7531 )
解 设脉搏数 X ~ N (? , ? ) ,方差 ? 未知, ? ? 0.05, n ? 16, ?0 ? 72 ,
2
2

检验假设 H0 : ? ? 72, H1 : ? ? 72 , 取检验统计量为 T ?

--------------------2

X ? ?0 , S/ n

则拒绝域为 | t |?

x ? ?0 s/ n

? t? / 2 (n ? 1) ? t0.025 (15) ? 2.1315 ,--------------------2

算得 x ? 66.44, s ? 7.18 ,代入上式, 计算得 | t |?

66.44 ? 72 ? 3.098 ? 2.1315 ,--------------------2 7.18 / 16

所以拒绝 H 0 , 即认为慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有显著差异。 --------------------2


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