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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)第九章第9讲知能训练轻松闯关

1.(2016· 茂名模拟)若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 a a2 P 2 2 则 X 的数学期望 E(X)=( ) 1 A.2 B.2 或 2 1 C. D.1 2 a a2 解析:选 C.因为分布列中概率和为 1,所以 + =1,即 a2+a-2=0,解得 a=-2(舍 2 2 1 去)或 a=1,所以 E(X)= . 2 2.(2016· 潍坊质检)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ 2),且 P(X<5)=0.8,则 P(1 <X<3)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:选 C.由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故 P(X>1)=P(X<5) =0.8,所以 P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1<X<3)=P(X<3)-P(X≤1)=0.5-0.2=0.3. 3.(2016· 嘉峪关质检)签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的六支签,从中任意取 3 支, 设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 解析:选 B.由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, 1 1 C2 3 3 P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= , C6 20 C6 20 C2 3 C2 1 4 5 P(X=5)= 3= ,P(X=6)= 3= . C6 10 C6 2 1 3 3 1 由数学期望的定义可求得 E(X)=3× +4× +5× +6× =5.25. 20 20 10 2 4.设随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ 2),且二次方程 x2+4x+X=0 无实数根的概率 1 为 ,则 μ 等于( ) 2 A.1 B.2 C.4 D.不能确定 1 解析:选 C.因为方程 x2+4x+X=0 无实数根的概率为 , 2 由 Δ=16-4X<0,得 X>4, 1 即 P(X>4)= =1-P(X≤4), 2 1 故 P(X≤4)= ,所以 μ=4. 2 5.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为________. 解析:记不发芽的种子数为 Y,则 Y~B(1 000,0.1), 所以 E(Y)=1 000×0.1=100.又 X=2Y,所以 E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200. 答案:200 6.(2016· 贵州省七校第一次联考)在某校 2015 年高三 11 月月考中理科数学成绩 X~ N(90,σ 2)(σ>0),统计结果显示 P(60≤X≤120)=0.8,假设该校参加此次考试的有 780 人, 那么试估计此次考试中,该校成绩高于 120 分的有________人. 解析: 因为成绩 X~N(90, σ2), 所以其正态曲线关于直线 x=90 对称. 又 P(60≤X≤120) 1 =0.8,由对称性知成绩在 120 分以上的人数约为总人数的 (1-0.8)=0.1,所以估计成绩高 2 于 120 分的有 0.1×780=78 人. 答案:78 7.(2015· 高考山东卷)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数 字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数, 且只能抽取一次. 得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但 不能被 10 整除,得-1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X). 解:(1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C3 9=84, 随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此 C3 8 2 P(X=0)= 3= , C9 3 C2 1 4 P(X=-1)= 3= , C9 14 1 2 11 P(X=1)=1- - = . 14 3 42 所以 X 的分布列为 0 1 -1 2 1 11 P 3 14 42 2 1 11 4 则 E(X)=0× +(-1)× +1× = . 3 14 42 21 8.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要 面试合格就签约,乙、丙约定两人面试都合格就一同签约,否则两个人都不签约.设甲面试 1 1 合格的概率为 ,乙、丙面试合格的概率都为 ,且面试是否合格相互不影响. 2 3 (1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数 X 的分布列和数学期望. 解:(1)用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 1 1 且 P(A)= ,P(B)=P(C)= ,所以至少有一人面试合格的概率为 2 3 1?? 1?? 1? 7 - -- 1-P( A B C )=1-? ?1-2??1-3??1-3?=9. (2)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,3. 4 - -- - - - - P(X=0)=P( A B C )+P( A B C )+P( A B C)= ; 9 - - -- 4 P(X=1)=P(A B C)+P(AB C )+P(A B C )= ; 9 1 1 - P(X=2)=P( A BC)= ;P(X=3)=P(ABC)= . 18 18 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 1 1 P 9 18 18 4 4 1 1 13 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 9 9 18 18 18 9.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n

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