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江苏专用2018版高考数学专题复习专题4三角函数解三角形第28练正弦定理余弦定理练习理


(江苏专用) 2018 版高考数学专题复习 专题 4 三角函数、 解三角形 第 28 练 正弦定理、余弦定理练习 理
训练目标 训练题型 解三角形的综合应用. (1)解三角形时可利用正弦、余弦定理列方程(组);(2)对已知两边和其中一边 解题策略 的对角解三角形时要根据图形和“大边对大角”判断解的情况; (3)判断三角形 形状可通过三角变换或因式分解寻求边角关系. 1.(2016·隆化期中)在△ABC 中,如果 sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么 cos C= ________. 2.(2016·银川月考)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸 边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A, (1)正弦定理、余弦定理;(2)解三角形. (1)正弦定理、余弦定理及其应用;(2)三角形面积;(3)三角形形状判断;(4)

B 两点间的距离为______________ m.

3.(2016·安庆检测)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c.若 a -c = 3bc, sin B=2 3sin C,则 A=________. 4.(2016·苏北四市一模)在△ABC 中,已知 AB=3,A=120°,且△ABC 的面积为 么边 BC 的长为________. 5.(2016·常州一模)在△ABC 中,已知内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 tan A=7tan 15 3 ,那 4

2

2

a2-b2 B, =3,则 c=________. c
6.(2016·东营期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面 1 2 2 2 积,若 acos B+bcos A=csin C,S= (b +c -a ),则 B=________. 4 7.(2016·南京、盐城、徐州二模) 如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,已知∠B=60°,AD=2,AC= 10,DC= 2,那么

AB=________.
1

→ → 8.已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心,且 AB=3,AC=4.若存在非零实数 x,y,使得AO=xAB → +yAC,且 x+2y=1,则 cos∠BAC 的值为________. 9.△ABC 中,A、B、C 是其内角,若 sin 2A+sin(A-C)-sin B=0,则△ABC 的形状是 ________________三角形. 10.(2016·惠州二调)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且∠C=60°,c = 3,则

a+2 3cos A =________. sin B

11.(2016·佛山期中)如图,一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一灯塔

M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时
船与灯塔的距离为________ km.

12.(2016·吉安期中)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,若△ABD 是等边三角形,且 AC=4 3, 则△ADC 的面积的最大值为________. 13.(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,a=8,

b=10,△ABC 的面积为 20 3,则△ABC 的最大角的正切值是________.
14. (2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列, 且最大边与最小边之比为

m,则实数 m 的取值范围是________.

2

答案精析 1 1.- 4 6.45° 解析 由正弦定理可知 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin(A+B)= π 3. 6

2.50 2

4.7 5.4

2Rsin C=csin C=2Rsin C·sin C, 1 1 2 2 2 ∴sin C=1,C=90°.∴S= ab= (b +c -a ),解得 a=b,因此 B=45°. 2 4 2 6 7. 3 解析 在△ADC 中,AD=2,AC= 10,DC= 2,则 cos∠ADC=- 2 ,所以∠ADC=135°, 2

AD AB 2 从而在△ABD 中,∠ADB=45°.又因为∠B=60°,由正弦定理得 = ,即 = sin B sin∠ADB 3 2 AB
2 2 8. 3 解析 设线段 AC 的中点为点 D,则直线 OD⊥AC. → → → → → → 因为AO=xAB+yAC,所以AO=xAB+2yAD. 又 x+2y=1,所以点 O、B、D 三点共线, 即点 B 在线段 AC 的中垂线上,则 AB=BC=3. 3 +4 - 3 2 在△ABC 中,由余弦定理,得 cos∠BAC= = . 2×3×4 3 9.等腰或直角 解析 因为 sin 2A+sin(A-C)-sin B =sin 2A+sin(A-C)-sin(A+C) =2sin Acos A-2sin Ccos A =2cos A(sin A-sin C)=0, 所以 cos A=0 或 sin A=sin C, π 所以 A= 或 A=C. 2 故△ABC 为等腰或直角三角形.
3
2 2 2

2 6 ,解得 AB= . 3 2

10.4

a c 2sin A+2 3cos A 解析 由正弦定理知 = =2, 所以 a=2sin A, 代入得原式= = sin A sin C sin B
sin?A+60°? 4· =4. sin B 11.30 2 解析 依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB 中,由正弦定理得 60 BM = ,解得 BM=30 2. sin 45° sin 30° 12.4 3 解析 在△ACD 中,cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2 AD2+DC2-48 1 2 2 = =- ,整理得 AD +DC =48- 2AD·DC 2AD·DC 2

AD·DC≥2AD·DC,
∴AD·DC≤16,当且仅当 AD=CD 时等号成立, 1 ∴△ADC 的面积 S= AD·DC· 2 sin∠ADC= 5 3 13. 3 1 3 π 2π 解析 由题意得 20 3= ×8×10×sin C? sin C= ? C= 或 C= (舍),由余弦定理 2 2 3 3 1 2 2 2 得 c = 8 + 10 -2×8×10× = 84 ,由三角形中大边对大角知角 B 最大,则 cos B = 2 8 +84-10
2 2

3 AD·DC≤4 3. 4

2×8× 84



3

5 3 ,所以 tan B= . 3 84

14.(2,+∞) 解析 设 A 为钝角,C 为最小角,则 A+C=120°,C∈(0°,30°),由正弦定理得 m= = sin A sin?120°-C? 3 1 3 1 = = + .而 0<tan C< ,∴ > 3,则 m>2. sin C sin C 2tan C 2 3 tan C

a c

4


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