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排列组合常见题型及解题策略

可重复的排列求幂法 相邻问题捆绑法 相离问题插空法 元素分析法(位置分析法) 多排问题单排法 定序问题缩倍法(等几率法) 标号排位问题(不配对问题) 不同元素的分配问题(先分堆再分配) 相同元素的分配问题隔板法: 多面手问题( 分类法---选定标准) 走楼梯问题 (分类法与插空法相结合) 排数问题(注意数字“0”) 染色问题 “至多”“至少”问题用间接法或分类: 几何中的排列组合问题:
排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不 易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用 题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一. 可重复的排列求幂法: 重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看 作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住 店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例 1】 (1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少 种不同的报名方法? (2)有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则有多少种不同投法?

二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参 与排列.高☆考♂资♀源网
【例 1】 A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那
么不同的排法种数有

【例 2】(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两

端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )

A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

二. 相离问题插空法 :

元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的

几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例 1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有



不同的插法(具体数字作答)

【例 3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节 目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是

【例 4】 某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进 行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立 即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法种数是

【例 2】 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法?

【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有( )

A、 83

B、 38

C、 A83

D、 C83

【例 5】某市春节晚会原定 10 个节目,导演最后决定添加 3 个与“抗冰救灾”有关的

节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的 10 个

节目的相对顺序不变,则该晚会的节目单的编排总数为

种.

【例 6】.马路上有编号为 1,2,3…,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉

相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少

种? 【例 7】 3 个人坐在一排 8 个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有 多少种?
【例 8】 停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放.要求空车位置连在一 起,不同的停车方法有多少种?

个元素排在后排,有多少种不同排法? 五.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序, 可用缩小倍数的方法.
【例 1】. A, B, C, D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以
不相邻)那么不同的排法种数是

四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个

元素;再排其它的元素。

【例 1】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中

选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小

赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案

共有

( ) 高☆考♂资♀源网 ☆

A. 36 种

B. 12 种

C. 18 种

D. 48 种

【例 2】 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排 法有多少种?

【例 3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?

五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。高☆考

♂资♀源网 ☆

【例 1】(1) 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是

()

A、36 种

B、120 种

C、720 种 D、1440 种

(2)把 15 人分成前后三排,每排 5 人,不同的排法种数为

(A) A155 A150

(B) A155 A150 A55 A33 (C) A1155 (D) A155 A150 A55 ? A33

(3)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有多少 种不同的插法?高☆考 ♂资♀源网 ☆ 【例 3】将 A、B、C、D、E、F 这 6 个字母排成一排,若 A、B、C 必须按 A 在前,B 居中,
C 在后的原则(A、B、C 允许不相邻),有多少种不同的排法? 【解析】 :

法一: A63

法二:

1 A 33

A66

六.标号排位问题(不配对问题)

把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排

入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可成.

【例 1】 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,

则每个

方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )

A、6 种

B、9 种

C、11 种 D、23 种高☆考♂资♀源网 ☆

【解析】 :先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对

应数字填

入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×

3×1=9

种填法,选 B .
【例 2】 编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,

其中

有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( )

A 10 种

B 20 种

C 30 种

D 60 种

答案:B

【例 3】:同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺

年卡,

则 4 张贺年卡不同的分配方式共有( )

(A)6 种 (B)9 种

(C)11 种

(D)23 种

【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为 a、b、c、d。

第一步,甲取其中一张,有 3 种等同的方式;

第二步,假设甲取 b,则乙的取法可分两类:

(1)乙取 a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,

(2)乙取 c 或 d(2 种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理,一共有 3 ? (1 ? 2) ? 9 种分配方式。 故选(B)

【例 4】:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站

队方式共有( )高☆考♂(A)60 种(B)44 种 (C)36 种

(D)24 种

答案:B

六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法

【例 1】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?高☆

考♂资♀源网 ☆

(1) 分成 1 本、2 本、3 本三组;

(2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人 1 本,一个人 2 本,一个人 3 本;

(3) 分成每组都是 2 本的三个组;

(4) 分给甲、乙、丙三人,每个人 2 本;

(5) 分给 5 人每人至少 1 本。

【解析】

:(1)C

61C

2 5

C

3 3

(2)C61C52C33 A33

(3)C62C42C22 A33

(4)C

2 6

C

2 4

C

2 2

(5)

C52C15C14C13C12C11 A 44

A55

【例 2】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方

案有

种(用数字作答).高☆考♂资♀源网 ☆

【解析】:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有 C42 ? C21 ? C11 ; A22

第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,其分法有 A33 所以满足条件得分配的方案有

C42

? C21 A22

? C11

?

A33

?

36

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 【例3】 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方

法共有

(A)150种

(B)180种

(C)200种

(D)280种

【解析】:人数分配上有

1,2,2



1,1,3

两种方式,若是

1,2,2,则有

C53C21C11 A22

?

A33



60 种,若是 1,1,3,

☆则有

C51C42C22 A22

?

A33

=90

种,所以共有

150

种,选

A

【例 4】 将 9 个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的 种数为( )

A.70

B.140

C.280

D.840

答案 :( A )

【例 5】 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,

则不同的分配方案有( )

(A)30种

(B)90种

(C)180种

(D)27

0种

【解析】:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,

则将 5

名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有 C51 ? C42 A22

? 15 种方法,再将 3 组分

到 3 个班,

共有15 ? A33 ? 90 种不同的分配方案,选 B.

【例 6】 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项

目不超

过 2 个,则该外商不同的投资方案有( )种 高☆考 A.16 种 B.36 种

C.42



D.60 种

【 解 析 】: 按 条 件 项 目 可 分 配 为 2,1, 0, 0 与 1,1,1, 0 的 结 构 , ∴

C42C32 A22 ? C43 A33 ? 36 ? 24 ? 60 故选 D;

【例 7】(1)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数

为( )

A、480 种 B、240 种

C、120 种 D、96 种

答案: B .
(2)12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的

分配方案有多少种?

答案:

C142C84C44 A33

A33

高☆考♂资♀源网



【例 8】 有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4

人承担

这三项任务,不同的选法种数是( )

A、1260 种

B、2025 种

C、2520 种 D、5040 种

【解析】:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,



三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C120C81C71 ? 2520 种,选

C.
【例 9】.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经 济开发
建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?高☆考♂资♀源 网 ☆ 【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:

①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A84 种;

②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 A83 方法,所以共

有 3A83 ;

③若乙参加而甲不参加同理也有 3A83 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方

法,然后再安排其余 8 人到另两个城市有 A82 种,共有 7 A82 方法.所以共有不同的派遣

方法总数为 A84 ? 3A83 ? 3A83 ? 7 A82 ? 4088 种
【例 10】 四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有 多少种?

【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C42 种,再排:在四个

盒中每次排 3 个有 A43 种,故共有 C42 A43 ? 144 种.
七.相同元素的分配问题隔板法: 【例 1】:把 20 个相同的球全放入编号分别为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒子中
的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法? 【解析】:向 1,2,3 号三个盒子中分别放入 0,1,2 个球后还余下 17 个球,然后再把
这 17

个球分成 3 份,每份至少一球,运用隔板法,共有 C162 ? 120 种。高☆考♂资♀源
网☆ 【例 2】 10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分 配方案 【解析】:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,
每堆 至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配
方案,

故共有不同的分配方案为 C96 ? 84 种.高☆考

变式 1:7 个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有



变式 2:马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 盏路灯,为节约用电,可

以把其

中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满

足条件

的关灯办法有



【例 3】:将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中

的3个

中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?高☆考♂资♀源 网 ☆
【解析】: 1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有 C43 种方法。
2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全, 可以在 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球所产生的 3 个、4 个 5 个空
挡中分别插入两个板。各有 C32 、 C42 、 C52 种方法。

3、由分步计数原理可得 C43 C32 C42 C52 =720 种
八.多面手问题( 分类法---选定标准) 【例 1】: 有 11 名外语翻译人员,其中 5 名是英语译员,4 名是日语译员,另外两名
是英、日语均精通,从中找出 8 人,使他们可以组成翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的 8 人名单可以开出几张?

C54C44

?

C53C

21C

4 4

?

C54C

21C

3 4

?

C52C

4 4

?

C54

C

2 4

?

C53C

21C11C

3 4

变式:. 有 11 名外语翻译人员,其中有 5 名会英语,4 名会日语,另外两名英,日语都精 通,从中选出 8 人,组成两个翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日语,问共有多少 不同的选派方式? 答案 :185 高☆考♂资♀源网 ☆ 九.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合) 【例 1】 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻 楼层之间有 16 级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
【解析】 :插空法解题:考虑走 3 级台阶的次数: 1)有 0 次走 3 级台阶(即全走 2 级),那么有 1 种走法;高☆考♂资♀源网 2)有 1 次走三级台阶。(不可能完成任务); 3)有两次走 3 级台阶,则有 5 次走 2 级台阶:
(a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成

的空中,有 C61 ? 6 种
(b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成

的空中,有 C62 ? 15 种走法。
4)有 3 次(不可能)高☆考♂资♀源网 ☆ 5)有 4 次走 3 级台阶,则有 2 次走两级台阶,互换角色,想成把两个 2 级台阶放到 3

级台阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种 C51 ? C52 ? 15 走法;

6)有 5 次(不可能)

故总共有:1+6+15+15=37 种。

变式:欲登上第 10 级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有( )

(A)34 种

(B)55 种

(C)89 种

(D)144 种 答案:

(C)

十.排数问题(注意数字“0”)高☆考♂资♀源网 ☆

【例 1】(1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小

于十位数字的共有( )

A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种

【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A55 个,

A41 A31 A33 , A31 A31 A33 , A21 A31 A33 , A31 A33 个,合并总计 300 个,选 B .
(2)从 1,2,3,…,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计 顺序)有多少种?
? ? 【解析】 :将 I ? 1, 2, 3 ,100 分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集

A ? ?4,8,12, 100? ;能被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9, ? 97 ,能被 4 除余 2

的数集 C ? ?2, 6, ,98?,能被 4 除余 3 的数集 D ? ?3,7,11, ? 99 ,易见这四
个集合中每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也
符合要求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要 求的取法共有 C225 ? C215C215 ? C225 种.
十一.染色问题:涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论; (2)根据相对区域是否同色分类讨论;高☆考♂资♀源网 ☆ (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
【例 1】 将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端
点异色,如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任
选两种涂 A、B、C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C51 A42 ? 60 种方
法。 (2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四
种颜色中任选两种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A42 种染法;再从余下的两
种颜色中任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即
可,故有 C51 A42C21C21 ? 240 种方法。
(3)若恰用五种颜色染色,有 A55 ? 120 种染色法高☆考♂资♀综上所知,满足题意的
染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420.
【解析二】设想染色按 S—A—B—C—D 的顺序进行,对 S、A、B 染色,有 5? 4?3 ? 60
种染色方法。

由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故分类

讨论:

C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一),D 应与 A(C)、S 不同色,有 3 种选

择;

C 与 A 不同色时,C 有 2 种选择的颜色,D 也有 2 种颜色可供选择,从而对 C、D 染

色有1?3? 2?2 ? 7 种染色方法。

由乘法原理,总的染色方法是 60?7 ? 420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,

对这五个区域用 5 种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?

总体实施分步完成,可分为四大步:

①给 S 涂色有 5 种方法;

②给 A 涂色有 4 种方法(与 S 不同色);

③给 B 涂色有 3 种方法(与 A,S 不同色);

④给 C,D 涂色.当 C 与 A 异色时,C,D 都有 2 种涂色方法; 当 C 与 A 同色时,C 有一

种涂色方法(与 A 同色),D 有 3 种涂色方法.给 C,D 涂色共有 2×2+3=7 种方法.

由分步计数原理共有 5×4×3×7=420 种方法

[规律小结] 涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;(2)

根据相对区域是否同色分类讨论;(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。

十二.“至多”“至少”问题用间接法或分类:

十三. 几何中的排列组合问题:

【例 1】 已知直线 x ? y ? 1( a,b 是非零常数)与圆 x2 ? y2 ? 100 有公共点, ab

且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有



一.基本原理

1.加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列,所 有排列的个数记为 Anm .

1. 公 式 : 1.

Anm

?

n?n

? 1??n

?

2?……?n

?

m

?1? ?

?n

n!
? m?!

2.

规定:0! ? 1

(1)

n! ? n? (n ?1)!, (n ?1)? n!? (n ?1)!

(2)

n? n! ? [(n ?1) ?1]? n!? (n ?1)? n!? n!? (n ?1)!? n!;

(3) n ? n ?1?1 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 (n ?1)! (n ?1)! (n ?1)! (n ? 1)! n! (n ? 1)!

三.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不同的 m

元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

1.







C

m n

?

A

m n

A

m m

?

n?n ? 1?……?n ? m ? 1?
m!

?

n!
m!?n ? m?!

规定:

C

0 n

?1

2.组合数性质:

Cnm

?

Cnn?m,Cnm

?

C m?1 n

?

Cnm?1,Cn0

?

C

1 n

?

……

?

C

n n

?

2n



;②

;③

;④

【解析】: 圆上的整点有: ( ? 6, ? 8) ,( ? 8, ? 6),( ?10,0),(0 ?10)

12 个

注:Crr

?

Cr r ?1

?

Cr r?2

?

Cr n?1

?

Cnr

?

C r?1 r ?1

?

Cr r ?1

?

Cr r?2

?

C122 =66

其中关于注原:点对C称rr ?的C有rr?41 条? C不rr?满2 则? 条件Cnr?切1 ?线C有nrC?112C=1rr??211 ? ,C其rr?中1 平? Crr?2 ?

Cr n?1

?

Cnr

?

C r ?1 r?2

?

Cr r?2

?

Cr n?1

?

Cnr

?

C r ?1 n?1

行于坐标轴的有 14 条 不满则条件

66-4+12-14=60



C m1 n

?

C m2 n

则m1

=m2或m1

+m2

?n

四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题)

答案:60

序 ③分步还是分类。

Cr n?1

?

Cnr

?

C r ?1 r?2

?

Cr r?2

?

②有序还是无

2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这
是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由
分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其 原则是先分类,后分步。 (4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、
特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元 素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采
用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元 素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进 行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素 的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的 几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有 1 种排法; 若不要求,则有 2 种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元 素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被 2 整除的数的特征:末位数是偶数;不能被 2 整除的数的特征:末位数是奇数。 ②能被 3 整除的数的特征:各位数字之和是 3 的倍数; ③能被 9 整除的数的特征:各位数字之和是 9 的倍数④能被 4 整除的数的特征:末两位 是 4 的倍数。 ⑤能被 5 整除的数的特征:末位数是 0 或 5。 ⑥能被 25 整除的数的特征:末两位数是 25,50,75。 ⑦能被 6 整除的数的特征: 各位数字之和是 3 的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”

与“不含” 用间接排除法或分类法:

3.分组问题:

均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。

非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。

混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。

4.分配问题:

定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分

堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5.隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题

例 1.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,

要求首尾必须播放公益广告,则共有

种不同的播放方式(结果用数值表

示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A22 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A44 种, 从而应当填 A22·A44=48. 从而应填 48. 例 3.6 人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?

解一:间接法:即 A66 ? A55 ? A55 ? A44 ? 720 ? 2 ?120 ? 24 ? 504
解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.

(1) 甲排在最右端时,有 A55 种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则

甲有 A41 种排法,乙有 A41 种排法,其他人有 A44 种排法,共有 A41 A41 A44 种排法,分类

相加得共有 A55 + A41 A41 A44 =504 种排法
例.有 4 个男生,3 个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生

从矮到高排列,有多少种排法?

分析一:先在

7

个位置上任取

4

个位置排男生,有

A

4 7

种排法.剩余的

3

个位置排女生,

因要求“从矮到高”,只有

1

种排法,故共有

A

4 7

·1=840

种.

1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则

不同的取法共有

解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视

机,故不同的取法共有 C93 ? C43 ? C53 ? 70 种,选. C
解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型 1 台乙型 2 台;甲型 2

台乙型 1 台;故不同的取法有 C52C41 ? C51C42 ? 70 台,选 C .
2.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛新疆(1)如果 4 人中男生和女生各 王新敞 奎屯
选 2 人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法;

(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法; (4)如果 4 人中

必须既有男生又有女生,有

种选法 新疆 王新敞 奎屯

分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,

所以是组合问题.

解:(1)先从男生中选

2

人,有

C52

种选法,再从女生中选

2

人,有

C

2 4

种选法,所以

共有 C52C42 =60(种);

(2)除去甲、乙之外,其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择,所以共有 C22C72 =21
(种);

(3)在 9 人选 4 人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数:

C94 ? C74 =91(种);
直接法,则可分为 3 类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙,得到符合条件的方法数

C11C73 ? C11C73 ? C22C72 ? C73 ? C73 ? C72 =91(种).
(4)在 9 人选 4 人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数

C94 ? C54 ? C44 =120(种).
直接法:分别按照含男生 1、2、3 人分类,得到符合条件的选法为

C51C43 ? C52C42 ? C53C41 =120(种).

1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( )

A.40

B.50

C.60

D.70

[解析] 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C26=15 种不同的分法;两组各 3 人共有 CA3622=10 种不同的分法,所以乘车方法数为 25×2=50,故选 B.

2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A.36 种

B.48 种 C.72 种

D.96 种

[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,

然后插空,从而共 A33A24=72 种排法,故选 C.

3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不

能相邻出现,这样的四位数有( )

A.6 个

B.9 个

C.18 个

D.36 个

[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相

邻,选四个数字共有 C13=3(种)选法,即 1231,1232,1233,而每种选择有 A22×C23=6(种)

排法,所以共有 3×6=18(种)情况,即这样的四位数有 18 个.

4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,

其中女生有( )

A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人

[解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 C2nC18-n=30,解得 n=5 或 n

=6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若

规定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( )

A.45 种

B.36 种 C.28 种

D.25 种

[解析] 因为 10÷8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶

的有 2 步,那么共有 C28=28 种走法.

6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人

员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分

配方案共有( )

A.24 种

B.36 种 C.38 种

D.108 种

[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,

共有 2 种方法,第二步将 3 名电脑编程人员分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C13种 分法,然后再分到两部门去共有 C13A22种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一组 1

人另一组 2 人即可,由于是每个部门各 4 人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第

三步共有 C13种方法,由分步乘法计数原理共有 2C13A22C13=36(种). 7.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间

直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )

A.33

B.34

C.35

D.36

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C12·A33=12 个; ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C12·A33+A33=18 个; ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C13=3 个.

故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A.

8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )

A.72

B.96 C.108

D.144

[解析] 分两类:若 1 与 3 相邻,有 A22·C13A22A23=72(个),若 1 与 3 不相邻有 A33·A33=

36(个)

故共有 72+36=108 个.

9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一

所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有

()

A.50 种

B.60 种 C.120 种

D.210 种

[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、

(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 C16,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地 安排其余两所学校参观,安排方法有 A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排 方法 C16·A25=120 种,故选 C.

10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都

不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)

[解析] 先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A25=20(种)排法,其余 5 人再进行排列, 有 A55=120(种)排法,所以共有 20×120=2400(种)安排方法.

11.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有

________种不同的排法.(用数字作答)

[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C49·C25·C33

=1260(种)排法.

12.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个

不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).

[解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有CA62C22 24种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆

去,共有 A44种分法,故所有分配方案有:C26·A22 C42·A44=1 080 种.

13.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种

入 4 种颜色不同

的花,要求相邻区域不同色,有________

种不同的种法(用

数字作答).

[解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4

有 2 种种法.若 1、

3 同色,2 有 2 种种法,若 1、3 不同色,2

有 1 种种法,∴有

4×3×2×(1×2+1×1)=72 种.

14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡

片放入 3 个不同

的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为

1,2 的卡片放入

同一信封,则不同的方法共有

(A)12 种

(B)18 种

(C)36 种

(D)54 种

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个

信封两个有

种方法,共有

种,故选 B.

15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位

员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安

排方案共有

A. 504 种

B.

960 种 C.

1008 种

D. 1108 种

解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A22 A41 A44 种方法 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A22 ( A44 ? A31 A31 A33 ) 种方法
故共有 1008 种不同的排法


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