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指数函数的图像及其性质


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精锐教育学科辅导讲义
学员编号: 学员姓名:YYY 年 级:高一 辅导科目:数学 课 时 数: 2 学科教师: XX

授课类型 授课日期及时段

T 指数函数概念及其性质

C

T

教学内容

前面我们学习了正整数指数函数、指数的扩充及运算性质,这节我们将在此基础上 学习另一重要的函数——指数函数

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1

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引导回顾
这一周,你在学校学习了哪些知识点呢?我们一起来回顾一下吧!

本周知识点 1. 正整数指数函数的概念 1.

本周解题方法 正整数指数函数图像的画法

2.

了解分数指数幂

2.

分数指数幂运算

3.

指数的运算性质

3.

能熟练的进行指数运算

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

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同步讲解

探究一:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2x?2 (6) y ? 4 x
2

(2) y ? (?2) x (7) y ? x
x

(3) y ? ?2x (8) y ? (a ?1)
x

(5) y ? x2 ( a >1,且 a ? 2 )

1.指数函数的定义 一般地,函数 叫做指数函数(其中 ) x 是自变量,函数的定义域为 ,

准确理解指数函数的概念要注意以下几点: ⑴指数函数解析式 y ? a ( a >0 且 a ≠1)的结构特征:
x

①底数:

②指数:

③系数:

⑵为什么规定底数 a 大于零且不等于 1 ① 若a ? 0, ?

?当x ? 0时,a x等于0 ? x ?当x ? 0时,a 无意义 ?
x

②若 a <0,如 y ? (?2) , 先时,对于x= , x ?
x

1 6

1 等等,在实数范围内的函数值不存在. 8

③若 a =1, y ? 1 ? 1, 是一个常量,没有研究的意义, 只有满足 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的形式才能称为指数函数,而象 a为常数,象y=2-3 ,y=2 , y ? x , y ? 3
x

x

1 x

x

x ?5

,不符 , y ? 3x ? 1等等,

合的 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的形式,
x

所以不是指数函数。

探究二:指数函数 y=2 和 y= ? ? 的图象和性质
x

?1? ?2?

x

研究方法: 画出函数图象, 结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.

?1? 1、观察下图在同一坐标系画出的 y=2 和 y= ? ? 的图象,体会指数函数图象的特征. ?2?
x

x

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1

1 -1

2

3

讨论:

?1? ?1? x (1)函数 y=2 和 y= ? ? 的图象有何关系?如何由 y=2 的图象画出 y= ? ? ?2? ?2?
x

x

x

的图象?

(2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为 3 和 后呢?(研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)

1 3

(3)y=2 和 y= ? ? 的图象关于
x

?1? ?2?

x

轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?

试试: y ? a

x ?2

? 2(a ? 0, a ? 1) 必过定点


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f ( x) ? (a ? 2) x 满足 f (? ) ? f (3) ,则 a 的取值范围是

二.题型归纳
题型 1:指数函数的定义 例 1:函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,求 a 的值

例 2:已知指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) ,求
x

f (0), f (1), f (?3)的值.

?1? 题型 2:指数函数 y=2 和 y= ? ? 的图象及其性质应用 ?2?
x

x

例 3:求下列函数的定义域与值域: (1) y ? 2 x ?4
4

(2) y ? ( )

2 3

| x|

例 4: 当 x ?[?1,1]时,函数f ( x) ? 3 ? 2的值域是多少?
x

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中国领先的个性化教育品牌 例 5:已知函数 y ?

2 x ? 2? x 2

求函数的定义域、值域

(时间 20 分钟,共 9 个题,满分 30 分,填空每题 3 分、选择每题 2 分、解答题 7 分) 1.判断下列函数是否是指数函数

1 ?. y ? 4 x 3 ?. y ? 2 ? 3 x 5 ?. y ? x 3

2 ?. y ? ?? 4? 4 ?. y ? ? x 6 ?. y ? ?3x

x

2.函数 y ? 2

x

的定义域和值域依次分别是





A.{ x | x ? 0 }和{ y | y ? 0 } C.{ x | x ≥ 0 }和{ y | y ? 0 } 3. 函数 y ? a A.(0,1)
x ?2

B.{ x | x ? 0 }和{ y | y ≥1 } D.{ x | x ≥ 0 }和{ y | y ≥1 } ( )

?3

?a ? 0且a ? 1?的图像必经过点
C.(2,3)
+

B.(1,1)

D.(2,4)

4.下列函数中,值域为 R 的是(
1

) C、y= ( ) ? 1
x

A、y=5 2 ? x

B、y=(

1 1-x ) 3

1 2

D、y= 1? 2 x )

5.在某种细菌培养过程中,每 30 分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,经过 4 个小时,这种细菌由一个可繁殖成( A、8 B、16
x

C、256

D、32

6. 若函数 f ( x ) ? 1 ?

m 是奇函数,则 m 为__________. a ?1
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x 7、 函数y?32?的定义域是_________。

8. .已知 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围。

9.

求函数 y=

2x ?1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ?1

我的得分

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