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对数函数的图像及其性质_图文

对数函数的图像及其性质

一、对数函数的概念

一般地,函数y = loga x (a>0,且 a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是( 0 , +∞)值域R
求下列函数的定义域:
(1) y = log a x 2
1 (3) y = log 7 x- 1

(2) y = log a (4 - x)

1 (4) y = log 3 x

(1){x|x≠0}(2){x|x<4} (3){x|x>1} (4){x|x>0且x≠1}

二、对数函数的图象
用描点法画出对数函数

y = log 2 x和y = log 1 x的图象。
2

作图步骤:

①列表, ②描点, ③连线。

作y

? log2 x
X y=log2x

图象
1/4 1/2 -2 -1 1 0 2 1 4 2 … …

列 表 描 点 连 线

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

在同一坐标系画出

y ? log1 x
2

图像

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log x …
1 2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …

2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

探索发现:认真观察函 y 2 数y=log2x 的图象填写下表 1
1 1 4 2

图象特征
图象位于y轴右方

0 -1 -2

1 2 3

4

x

代数表述
定点(1,0)
值 域 :

定义域 : ( 0,+∞)

与 x 轴的交点(1,0)
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升

R

增函数 在(0,+∞)上是:

探索发现:认真观察 x 函数 y ? log1
2

y 2
1 11
4 2

的图象填写下表

0 -1 -2

1 2 3 4

x

图象特征
图象位于y轴右方 与 x 轴的交点(1,0) 图象向上、向下无限延伸

代数表述
定义域 : ( 0,+∞)

定点(1,0)
值 域 : R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

探索研究:
y 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (1) y ? log x

..........

2

(2)y (3) y (4) y

? log 1 x

y ? log3 x

y ? log2 x

? log3 x
? log1 x
3

2

...........
o

x

y ? log1 x
2

y ? log1 x
3

2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数 y=logax(0<a≠1)的图象关于直线y=x

对称.

Y 5

Y=
● ●

2

x

Y=X

4
3 2 ● 1● ● ● ● 1




Y=log2x


2 3 4 5 6 7 X

-1 O -1

-2

函数 :

y ? log a , y ? log b ,
x x

y ? log c , y ? log d
x

x

的图象如下,则a,b,c,d的大小关系为 ___________

Y

b>a>d>c

Y=logax Y=logb x

O

1 Y=logdx

y ? logc X
规律:底大对数小

X

一、对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

非奇非偶函数

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

例1:求下列函数的定义域:

(1) y=logax2

(2) y=loga(4-x)

(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=?log0.5(4x-3)
2>0,所以x≠?,即函数y=log x2的定义域为 (1) 因为 x a 解:

?-???? ? (0,+?? (-??4)

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为

(3)
因为

3-x>0 x-1>0 x-1≠?

所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)??????

(4)因为

4x-3>0

x>3/4
4x-3≤?

log0.5(4x-3)?0 定义域为 (3/4,1]