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2008-2009学年度山东省临沂第一中学高二数学上学期学业水平测试2-1

山东省临沂第一中学高二数学上学期学业水平测试 高二数学试题(文理合一)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分;第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为填空题和解答题,总分 150 分;考试时间 120 分钟.本试卷考查内容:必修⑤+选修 2-1,1-1 前两章.

第Ⅰ卷(共 60 分)
洼意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目,用 2B 铅笔涂写在答题卡 上. 2.每小题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号 A、B、C、D 涂 黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净.再选涂其它答案,不能答在试卷上.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. ) 1.设 a ? R ,则 a ? 1 是 1 ? 1 的(
a

) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件 学号

2.已知两点 F1 ( ? 1, 0 ) 、 F 2 (1, 0 ) ,且 F1 F 2 是 P F1 与 P F 2 的等差中项,则动点 P 的轨迹 方程是(
2

)
9
2
2 y ?1 B. x ? 2

2 y ?1 A. x ?

16

16

12

C. x ?
4

2

y

2

3

?1

D. x ?
3

2

y

2

4

?1

3.不等式 ax A.14 姓名

? bx ? 2 ? 0 的解集是
B.-14
2 2

? x | ? 1 ? x ? 1 ? ,则 a ? b 的值为( 2 3
D.-10
2 2

)

C.10

4. 已知双曲线 y ? x ? 1的 离 心 率 为 e, 且 抛 物 线 y ? 2 p x的 焦 点 坐 标 为 ( e , 0 ) ,则 p 的 值为( A.-2
b 7 ? a 7 , 则 b 6 b8 ? (

) B.-4
2

C.2

D.4

5.公差不为 0 的等差数列 { a n }中 , 2 a 3 ? a 7 ? 2 a 11 ? 0 , 数列 { b n } 是等比数列,且 ) B.4 C.8 D.16 ) A.2 班级

6.数列{an}前 n 项和是 S n ,如果 S n ? 3 ? 2 a n (n∈N*),则这个数列是( A.等比数列 C.除去第一项是等比数列 7.下列函数中,最小值为 2 的是( B.等差数列 D.除去最后一项为等差数列 )

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A. y ?

x ?2 ?
2

1 x ?2
2

B. y ? x ? 1
2

x

C. y ? x ( 2 2 ? x ), (0 ? x ? 2 2 )

D. y ? x ? 2
2 2

x ?1

8.在 △ A B C 中,若 sin A ? sin B ? sin C 且 ( b ? c ? a )( b ? c ? a ) ? 3 b c ,则该三角形的形
2

状是(

) B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
a?b , 2

A.直角三角形

2 9.在 a ? 0, b ? 0 的条件下,四个结论: ① ( a ? b )

2

≥ ab

, ② 2ab

a?b



③a?b
2



a ?b 2
2

2

,④ b ? a
a

2

2

b



a ? b ;其中正确的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

10.有关命题的说法错误的是( ) .. 2 2 A.命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 , 则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ” B. x ? 1 ”是“ x “
2

? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2
2

C.对于命题 p : ? x 0 ? R ,x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 . 则 ? p : ? x ? R , x ? x ? 1 ≥ 0 D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 11.(理)若方程 a x ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根,则 a 的取值范围是(
2

)

A. a ≤ 1 A.a < 0 或 a ≥ 3
2

B. a ? 1

C. 0 ? a ≤ 1 或 a ≥ 3 C.a < 0 或 a >3
2

D. 0 ? a ≤ 1 或 a ? 0 )

(文)命题“ax2-2ax + 3 > 0 恒成立”是假命题, 则实数 a 的取值范围是( B. a
≤ 0

D.0<a<3

2 2 y y 12.双曲线 x 2 ? 2 ? 1 和椭圆 x 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , m ? b ? 0 ) 的离心率互为倒数,那么以

a

b

m

b

a , b , m 为边长的三角形是(

) C.直角三角形 D.等腰三角形

A.锐角三角形

B.钝角三角形

二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡上.)
13.在 ? ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ? ABC 的形状是______________________.
?2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ? 14.不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内的整点坐标是 ?y ? 0 ?
2 2

.

15.(理)若关于 x 的不等式 x ? 2 x ? 3 ≤ a ? 2 a ? 1 在 R 上的解集为 ? ,则 a 的取值范围为

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_____________. (文)若命题 p : 对 ? x ? R , x ? 4 cx ? c ? 0 为真命题,则实数 c 的取值范围是
2

.

2 y 2 ,1) ,则 m 的取值范围为_____________. ? 1 的离心率 e ? [ 16.椭圆 x ?

2

4

m

2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. a,b,c 为△ ABC 的三边,其面积 S △ A B C =12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a.

18.已知命题 p:关于 x 的方程 x 2 ? m x ? 1 ? 0 有两个不相等的负根. 命题 q:关于 x 的方程 ..
4 x ? 4( m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围.
2

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19.设 { a n } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 { a n } 的前 n 项和.已知 S 3 ? 7 ,且
a 1 ? 3, 3 a 2, a 3 ? 4 构成等差数列.

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)令 b n ?
1 ? a 2 n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . n ( n ? 1)

20. 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A 、 B ,该 所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安 排.通过调查,有关数据如下表: 产品 A(件) 研制成本、搭载费用之和(万元) 产品重量(千克) 预计收益(万元) 20 10 80 产品 B(件) 30 5 60 计划最大资金额 300 万元 最大搭载重量 110 千克

如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?

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21.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求证:OA⊥OB; (Ⅱ)当△ OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值.

22.双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F (

2 3 , 0 ) ,渐近线方程为 y ? ? 3 x . 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,问: 当 k 为何值时,以 AB 为直径的圆过原点;

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水平测试·参考答案
一、选择题 题号 1 答案 A 2 C 3 B
2

4 D

5 D
1 x ?2
2

6 A


7 D ;B :

8 D

9 C

10 D

11 A

12 C

7.D【解析】 A : y ?

x ?2 ?

3 2 2

x ? 1 ? ( ? ? ? 2 ] ? [ 2, ? ? ); x

C : x(2

2 ? x) ≤ (

x?2 2

2 ? x

) ? 2; D : y ?
2

x ?1 ?
2

1 x ?1
2

≥ 2 ( x ? 0 ).

故只有

选项 D 正确.
11. (理) A 【解析 1】 a ? 0 时, 方程 2 x ? 1 ? 0 的根为 x 2 ? ? 1 ,符合题意.所以排除 C, D; 当
2

当 a ? 1 时, 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的根为 x1 ? x 2 ? ? 1 ,符合题意. 所以排除 B.
2

故只有选项 A 正确. 【解析 2】(1)当 a

? 0 时, 方程 2 x ? 1 ? 0 的根为 x 2 ? ? 1 ,符合题 2

? ?? 1 ? 0 或?? 意.(2) 当 a ≠0 时, 方程有一负一正根或两负根, 所以有 ? a ?1 ? ?a
a ? 0, 或 0 ? a ≤ 1 . 综上有 a ≤ 1 . 故选项

? 4 ? 4a ≥ 0 2 ? 0 ,解之,得 a ? 0

A 正确.

二、填空题

13

等腰或直角三角形

14. ( ? 1,1), ( ? 2,1)

15

(理) (文) 0 ? c ? 1

4

16 ? 0 , 2 ? ? ? 8, ? ? ?

15.(理) ? 1 ? a ? 3 【解析】? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ≥ 2 ,? a ? 2 a ? 1 ? 2 ,解之,得
2 2
2

?1 ? a ? 3 .

16 . ? 0 , 2 ? ? ? 8, ? ? ? 【 解 析 】 (1) m ? 4 时 , e ?
0 ? 4 ≤ 1 , ? m ≥ 8. (2) 0 ? m ? 4 时 , e ? m 2

2 1? 4 ? ≤ m 2 2 1? m , ? ≤ 4 2

1? 4 ? 1 ,化简,得 m 1? m ? 1 ,化简,得 4

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0 ? m ≤ 1 ,? 0 ? m ≤ 2 . ? m ? ? 0, 2 ? ? ? 8, ? ? ? . 4 2

三、解答题
17.解:由 S △ A B C ? 1 b c s in A , 得 12 3 = 1 ? 4 8 s in A ,
2 2
? sin A ? 3 . ∴A=60° A=120° 或 . 2

由 bc=48,b-c=2 得, b ? 8, c ? 6 .
2 2 2 当 A=60° 时, a ? 8 ? 6 ? 2 ? 8 ? 6 ? 1 ? 5 2, ? a ? 2 1 3 .

2

2 2 2 当 A=120° 时, a ? 8 ? 6 ? 2 ? 8 ? 6 ? ( ? 1 ) ? 1 4 8, ? a ? 2 3 7 .

2

18. 解:由 x ? m x ? 1 ? 0 有两个不相等的负根,则 ?
2

? m ? 4 ? 0,
2

??m ? 0

, 解之得 m ? 2 .

即命题 p : m ? 2 . 由 4 x ? 4( m ? 2) ? 1 ? 0 无实根, 则 1 6 ( m ? 2 ) ? 1 6 ? 0 , 解之得 1 ? m ? 3 .
2 2

即命题 q: 1 ? m ? 3 .
∵ p ? q 为假, p ? q 为真,则 p 与 q 一真一假.
? m ? 2, ? m ≥ 3, 或 m ≤ 1,

若 p 真 q 假, 则 ?

所以 m ≥ 3 .

若 p 假 q 真, 则 ?

? m ≤ 2, ? 1 ? m ? 3,

所以 1 ? m

≤ 2.

所以 m 取值范围为 ? m |1 ? m ≤ 2, 或 m ≥ 3? .
? a 1 ? a 2 ? a 3 ? 7, ? 19.解: (1)由已知得 ? ( a 1 ? 3) ? ( a 3 ? 4 ) 解得 a 2 ? 2 . ? 3a2. ? ? 2

设数列 { a n } 的公比为 q ,由 a 2 ? 2 ,可得 a 1 ? 2 , a 3 ? 2 q .
q

又 S 3 ? 7 ,可知 2 ? 2 ? 2 q ? 7 ,
q
2 即 2 q ? 5 q ? 2 ? 0 ,解得 q 1 ? 2, q 2 ? 1 .

2

? q ? 1, q ? 2 . ?

? a1 ? 1 .

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故数列 { a n } 的通项为 a n ? 2

n ?1



( 2 ) ? bn ?

2 n ?1 1 ? a2n ? 1 ? 1 ? 2 , n ( n ? 1) n n ?1

3 5 2 n ?1 ? T n ? [(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )] ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 2 3 n n ?1

? (1 ? ? 2

1 ) ? 2 (1 ? 4 ) n ?1 1? 4
n

2 n ?1

3

? 1? 1 . 3 n ?1

20.解:设搭载产品 A x 件,产品 B y 件, 则预计收益 z ? 8 0 x ? 6 0 y .
? 20 x ? 30 y ≤ 300 ? ?10 x ? 5 y ≤ 110 则? 作出可行域,如图; x ≥ 0, ? ? y ≥ 0, ?
y 20 0 10 0 M 2x+3y=30 20 x 10 2x+y=22

作出直线 l 0 : 4 x ? 3 y ? 0 并平移. 由图象得,当直线经过 M 点时, z 能取得最大值,
? 2 x ? 3 y ? 30 ?x ? 9 , 解得 ? , 即 M (9 , 4 ) . ? ? 2 x ? y ? 22 ?y ? 4

o

所以 z=80× 9+60× 4=960(万元). 答:应搭载产品 A 9 件,产品 B 4 件,可使得利润最多达到 960 万元. 21.解: (Ⅰ)由方程组 ?
? y 2 ? ? x, ? y ? k ( x ? 1),

消去 x 后,并整理得 ky2 + y- k =0.

因为直线与抛物线交于两点,所以 k ? 0 ,且 ? ? 1 ? 4 k ? 0 ,即 k ? 0 .
2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由韦达定理得 y 1 ? y 2 ? ? 1 , y 1 ? y 2 ? ? 1 .
k

∵A,B 在抛物线 y2=-x 上, ∴ y 1 ? ? x1 , y 2 ? ? x 2 , ∴ y 1 ? y 2 ? x1 x 2 , ∴ x 1 x 2 ? 1 .
2 2 2 2

??? ??? ? ? ? O A ? O B ? ( x1 , y 1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? 1 ? 1 ? 0,

∴OA⊥OB. (Ⅱ)设直线 y=k(x+1) 与 x 轴交于点 N,令 y = 0, 因为 k ? 0 ,所以 x=-1, 即 N (-1, 0), ∵ S ? O A B ? S ? O A N ? S ? O B N ? 1 | O N | ? | y1 | ? 1 | O N | ? | y 2 |? 1 | O N | ? | y1 ? y 2 | ,
2 2 2
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∴ S ?OAB ? 1 ? 1 ?
2

2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 1 2

1 ?4 , 2 k

∵ S ? OAB ? ∴ 10 ? 1

10 ,

2

1 ? 4 ,解得 k ? ? 1 . 2 6 k
2

2 y 22.解: (Ⅰ)设双曲线的方程是 x 2 - 2 ? 1 ? a ? 0 , b ? 0 ? ,则 a b

c ?

2 3 ,b ? 3 a

3.

2 2 2 2 2 又? c ? a ? b , ? b ? 1 , a ? 1 .

3

所以双曲线的方程是 3 x ? y
2

2

? 1.

(Ⅱ)① 由 ?

? y ? k x ? 1, ? 3 x ? y ? 1,
2 2

得 (3 ? k ) x ? 2 kx ? 2 ? 0 ,
2 2

由 ? ? 0, 且 3 ? k

2

? 0 ,得 ?

6 ? k ?

6, 且 k ? ? 3 .

设 A ? x 1 , y 1 ? 、 B ? x 2 , y 2 ? ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB , 所以 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 又 x1 ? x 2 ?
?2k k ?3
2

, x1 x 2 ?

2 k ?3
2


2

所以 y 1 y 2 ? ( kx1 ? 1)( kx 2 ? 1) ? k x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 1 , 所以
2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ? 1 . 2 k ?3

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