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3.1不等关系与不等式_图文

3.1

不等关系与不等式

主要内容
1. 不等关系 2.不等式的性质及其证明

3.比较代数式大小的方法
4.不等式的应用实例

1. 不等关系

最高限速 120km 最低限速 60km

小汽车限速范围 60km?v?120km/h 最低限速50km/h

v?50km/h

问题1
设点A与平面M的距离为d, B为平面M上的任意一点,则

A

d?|AB| B
M

d

问题2
某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本. 据市场调查,若单价每提高0.1元, 销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂 志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的 总收入不低于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售的总收入 为 (8 ? x ? 2.5 ? 0.2) x 万元. 那么不等关系“销售
0.1

的总收入不低于20万元”可以表示为不等式
(8 ? x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

问题3
某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和 600mm两种.按照生产的要求,600mm钢管的数量不能 超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等 关系的不等式呢?

分析:假设截得500mm钢管x根,截得600mm的钢 管y根. 由题意,应有以下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.

要同时满足上述三个不等关系,可以用下面 的不等式组来表示:

?500x ? 600y ? 4000 ?3 x ? y ? ? ? x ? 0, y ? 0, ? ?x ? N , y ? N

2.不等式的性质及其证明

回忆两个实数的大小是如何确定的?
事实上,实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数 比左边的点表示的实数大.

b
B

a
A

譬如图中,设点A 表示实数a,点B 表示实 数b,点A 在点B 右边,那么a>b.

基本事实

a ? b ? a ? b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0.
作差比较法

从上面的性质可知,要比较两个实数的大小, 只要考察它们的差就可以了,这也是我们研究不等 关系的一个出发点.

1.不等式的性质
性质1 如果a>b,那么b<a; 证明:由于a>b, 可得a-b>0 如果b<a,那么a>b

所以 -(a-b)<0
即b-a<0

所以 b<a.
同理可证得:如果b<a,那么a>b

说明:此性质可称为不等式的自反性

性质2

如果a>b, b>c, 那么a>c.

证明:由于a>b, 得a-b>0;又b>c,得b-c>0;

所以a-c=(a-b)+(b-c)>0
即a-c>0

所以 a>c. 说明:此性质可称为不等式的传递性。

性质3

如果a>b, 那么a+c>b+c

证明:由于a>b, 得a-b>0; 所以(a+c)-(b+c)=a-b>0

即(a+c)-(b+c)>0
所以 a+c>b+c.

说明:此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性, 即不等式的两边同时加上同一个常数,不等号的方向 不变.

性质4

如果a>b, c>0,那么ac>bc; 如果a>b, c<0,那么ac<bc.

证明:由于a>b, 得a-b>0;
当c>0时 当c<0时 ac-bc=c(a-b)>0 所以 ac>bc. ac-bc=c(a-b)<0 所以 ac<bc.

说明:此性质可称为不等式的乘法性质,也叫伸缩 性:即不等式的两边同时乘上同一个正数,不等号 方向不变,不等式的两边同时乘上同一个负数,不 等号的方向改变.

性质5

如果a>b, c>d,那么a+c>b+d;

证明:由于a>b, 得a-b>0又c>d,得c-d>0;
所以(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0 所以 a+c<b+d.

说明:此性质可称为不等式的叠加性:两个同 向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.

性质6

如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd;

证明:由于a>b, 得a-b>0,又c>d,得c-d>0 ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d)+d(a-b) 由题意知a>0,d>0, 且c-d>0,a-b>0 所以 ac-bd>0 即 ac>bd.

说明:此性质可称为不等式的叠乘性:两边都是 正数的同向不等式相乘,所得不等式与原不等式 同向.

性质7

如果a>b>0, 那么an>bn(n?N,n?2);

证明:由于a>b>0, 根据性质6,自乘得;
a?a>b?b 即 a2>b2.

显然 a2>b2>0, 继续用性质6,可得 a3>b3. 继续下去可得an>bn(n?N,n?2);

说明:此性质可称为不等式的乘方的性质:当不等 式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的 不等式和原不等式同向.

性质8
n

如果a>b>0, 那么 n a ? n b (n?N,n?2); 证明:用反证法证明,假设结论不成立则;

a ? n b 或n a ? n b
则得a=b,与已知a>b矛盾 则由性质7,两边n次幂得a<b, 与已知a>b矛盾.

若 n a ?n b 若 n a ?n b

所以假设不成立,原结论成立 n a ? n b (n?N,n?2). 说明:此性质可称为不等式的开方的性质:当不等 式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得的 不等式和原不等式同向.

证明命题的方法简介
在数学学科中,根据是否由论据直接过渡到论 题,我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证 明.
直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明. 其特点是:从论题出发,为论题的真实性直接提供证明理由. 直接证明是最常见的证明方法. 间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实 性的证明,就是说,用这种证明方法证明的论题不是由论据 按照推理规则直接推得,而是通过间接的方法得到证明的. 间接证明分为反证法和选言证法.

直接证明是相对于间接证明说的,综合法和分 析法是两种常见的直接证明.

综合法: 一般地,利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 (或顺推证法、由因导果法).
分析法: 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻 求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.

反证法简介
反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的 角度思考问题的证明方法,即肯定题设而否定结论, 从而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛 (Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理 的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.具体地讲, 反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论 的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理, 使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已 经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成 立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明.

反证法的证题模式
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定 →推理→否定”.即从否定结论开始,经过正确无 误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为 反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证 法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.

反证法证明命题的一般步骤: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过 一系列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原 命题成立.

反证法的类型
归谬法和穷举法
用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情 况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以, 这种反证法又叫“归谬法”;
如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有 的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种 反证法又叫“穷举法”

反证法的适用范围
在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过: “反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲, 反证法常用来证明的题型有:
1. 命题的结论以“否定形式”、“至少”或 “至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或 者否定结论更明显. 2. 具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的 命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考, 问题可能解决得十分干脆.

不等式的常见证明方法 1. 直接证法
1)比较法(作差、或作商)

2) 综合法
3) 分析法

4) 其它换元法、放缩法等
2. 间接证法

反证法

c c ? 例1. 如果a>b>0, c<0,求证 a b

c c cb ? ca c(b ? a) c ( a ? b) 证明: 作差 ? ? ? ?? a b ab ab ab

由已知 a>b>0, 得a-b>0,ab>0, 又c<0,所以

c c c ( a ? b) ? ?? ? 0, a b ab

c c 即 ? . a b

练习1
1 1 写出 a>b 与 a ? b

同时成立的充要条件

解答: ab<0
1 1 b?a a ?b ? 一方面,若ab<0,则 ? ? a b ab ? ab
所以 a ? b与 1 1 ? 能同时成立 a b 1 1 b?a 即 ? ? ? 0 又a ? b, a b ab

另一方面

1 1 ? a b

所以ab ? 0

例2 已知a>0,b>0,求证:a3+b3≥a2b+ab2

证明一:比较法(作差)
(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a3- a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0, ∴a+b>0,而( a-b)2≥0.

∴( a-b)2(a+b)≥0.
故(a3+b3)-(a2b+ab2)≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.

证明二:比较法(作商)

∵a2+b2≥2ab,
2 2 ( a ? b )( a ? b ? ab) ∴ a ?b ? 2 2 ab(a ? b) a b ? ab

3

3

a 2 ? b 2 ? ab 2ab ? ab ? ?1 ? ab ab
又a>0,b>0,所以ab>0, 故a3+b3≥a2b+ab2.

证明三:分析法 欲证a3+b3≥a2b+ab2, 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 由于a>0,b>0, 所以a+b>0, 故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。 即证明a2+b2≥2ab. 而a2+b2≥2ab 显然是成立的 所以有a3+b3≥a2b+ab2.

证明四:综合法 ∵a2+b2≥2ab, 又∵a>0,b>0, ∴a2+b2-ab≥ab. ∴a+b>0,

故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).

即a3+b3≥a2b+ab2.

3.比较代数式大小的方法

2.比较代数式大小的方法
例3.比较 x ? x ? 1与 ( x ? 1) 的大小.
4 2
2 2

分析:此题属于两个代数式比较大小,可以作差, 判断差值正负,从而得出两个代数式的大小.

解 : ( x 2 ? 1) 2 ? ( x 4 ? x 2 ? 1)

? x 4 ? 2x 2 ? 1 ? x 4 ? x 2 ? 1 ? x2 , 当 x ? 0 时, x 2 ? 0 ,所以 ( x2 ? 1)2 ? x4 ? x2 ? 1.
2 x 当 x ? 0 时, ? 0 ,所以 ( x 2 ? 1) 2 ? x 4 ? x 2 ? 1.

例4.已知 a ? 0 ,比较 (a 2 ? 2a ? 1)( a 2 ? 2a ? 1)

与(a 2 ? a ? 1)( a 2 ? a ? 1) 的大小. 解:作差比较

(a2 ? 2a ?1)(a2 ? 2a ?1) ? (a2 ? a ?1)(a2 ? a ?1)

? (a2 ? 1)2 ? 2a2 ? [(a2 ? 1)2 ? a2 ]

? ?a2
因为a?0, 所以-a2<0
(a2 ? 2a ? 1)(a2 ? 2a ? 1) ? (a2 ? a ?1)(a2 ? a ? 1)

练习2

比较 (a ? 3)( a ? 5)与 (a ? 2)( a ? 4)的大小. 解: (a ? 3)( a ? 5) ? (a ? 2)( a ? 4)

? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8)

? ?7 ? 0, 所以(a ? 3)( a ? 5) ? (a ? 2)( a ? 4).

练习3
1).如果a<b<0,则下列不等式中不成立的是(B)
1 1 (A) > a b 1 1 (B) > a?b a

(C)|a|>|b|

(D)a2>b2 (D )

2).a、b是任意实数,且a>b,则 a 2 2 ?1 (A) a >b (B )
b
a

(C)lg(a-b)>0

1 ?< ? 1 ? (D ) ? ? ? ? ? ?2? ?2?

b

3.a、b、c、d是任意实数,且a>b,c>d,则下 列结论正确的是 ( A )
(A)a+c>b+d (C)ac>bd (B)a-c>b-d
a b (D) ? d c

4.不等式的应用实例

例5.某夏令营有48人,出发前要从A、B两种型 号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶. 若只选A型号的,每顶帐篷住4人,则帐篷不够;每 顶帐篷住5人,则有一定帐篷没有住满.若只选B型号 的,每顶帐篷住3人,则帐篷不够;每顶帐篷住4人, 则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶,用不等式将题 目中的不等关系表示出来.

解:设A型号帐篷有x个,则B型号帐篷有(x+5) 个,则有如下不等关系:

?x ? 0 ?x ? 5 ? 0 ? ? ?4 x ? 48 ? ?0 ? 5 x ? 48 ? 5 ?3( x ? 5) ? 48 ? ? ?4( x ? 4) ? 48

练习:旅行社为了吸引更多的游客加入, 各自推 出了独特的营销策略,实行团体优惠是司空见惯的.甲、 乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是: 甲旅行社 称凡全家旅游,其中一人交全费的,其余的人可享受 半价优惠;乙旅行社称全家旅游,所有人均按原价的 六折优惠.若甲、乙两家旅行社原价相同,问: 1. 一个三口之家应选择哪家旅行社为好? 2. 现有两个三口之家准备结伴旅游,可以分别登记, 也可以一个家庭为单位合并登记,应如何选择? 3. 试就家庭成员的多少分析哪家旅行社更优惠?

小结
1.不等关系 2. 不等式的性质及其证明

不等式证明的方法
3.比较代数式大小的方法

4.不等式的简单的应用实例

作业
练习P74.1,2,3 习题P75A组,B组


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