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云南省玉溪一中2019届高三上学期第四次月考数学(理)试卷(含答案)

玉溪一中 2019 届高三第四次调研考试
理科数学

全卷满分 150 分

考试用时 120 分钟

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求)

1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x x ? 2} ,则 A B ? (

)

A. (1,3)

B. (1,3]

C.[?1, 2)

D. (?1, 2)

2.已知实数 a, b 满足1 ? 2a ? 2b ,则下列不等式正确的是( )

A. 1 ? 1 ab

B. log2 a ? log2 b

C. a ? b

D. cos a ? cosb

3.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 满足 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? 3 sin Asin B ,则角 C 为( )

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

? ? 4.设 Sn 为等比数列

an

的前 n 项和, a5 =-8 ,则 S5 = (

a2

S2

)

A.11

B. 5

C. -11

D. -8

5.已知命题 p: ?x ? R, ax2 ? x ?1 ? 0 ,若命题 p 是假命题,则 a 的取值范围为( )

A. a ? 1 4

B. a ? 1 4

C. a ? 1 4

D. a ? 1 或a ? 0 4

6.函数 f (x) ? ln(x2 ? 4x ? 3) 的单调递增区间是( )

A. (??,1)

B. (??, 2)

C. (2, ??)

D. (3, ??)

7.已知角? 的终边经过 P?1, 2? ,则 sin(? ? 2? ) 等于(

)

2

A. ? 3 5

B. 1 5

C. 5 5

D. 3 5

? ? ? ? 8.数列 an 满足 an ? an?1 ? (?1)n n ,则数列 an 的前 20 项的和 S20 =(

)

A. ?100

B.100

C. -110

D.110

9.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画的是某几何体

的三视图,则该几何体最长棱的长度为( )

A.4

B. 3 2

C. 2 2

D. 2 3

10.在 ?ABC 中, | AB ? AC |?| AB ? AC | , AB ? 2, AC ? 1, E, F 为

BC 的三等分点,则 AE ? AF = ( )

A. 8 9

B. 10 9

C. 25 9

D. 26 9

11.已知函数 f (x) ?| lg x |, a ? b ? 0, f (a) ? f (b) ,则 a2 +b2 的最小值等于( ) a?b

A. 2 2

B. 5

C. 2 ? 3

D. 2 3

12.函数

f

?x?

?

2 sin ??x

? ? ? ??

?

0, 0

??

??

?,

f

?? ?? 8

? ??

?

2



f

? ??

? 2

? ??

?

0

,且

f

?x?在

?0,? ? 上单调,则下列说法正确的是( )

A.? ? 1 2

C.函数

f

? x? 在 ?????

,?

? 2

? ??

上单调递增

B.

f

? ??

?

? 8

? ??

?

6? 2

2

D.函数

y

?

f

?

x?

的图象关于点

? ??

3? 4

,

0

? ??

对称

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?2x ? y ?1? 0

13.若实数

x



y

满足

? ?

x? y ?0

,则 z ? x ? y 的最大值是



?? x ? 0

14.非零向量 m,n 满足 3|m|=2|n|, 且 n ? (2m+n),则 m,n 夹角的余弦值为



15.函数 f ? x? ? ex ? e?x ,则使得 f ?2x ?1? ? f (1) 成立的 x 的取值范围是



16.已知函数

f

(x)

?

??x, x ? 0 ???x2 ? 2x, x

?

0

,若方程

f

2 (x)

?

bf

(x) ?

1 4

?

0 有六个相异实根,则实

数 b 的取值范围是



三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极

?

坐标系,曲线

C

的极坐标方程为

ρ

?

2a cosθ sin2 θ

(a

?

0)

,直线

l

的参数方程为

??x

?

? ??

y

? ?

?1 ? ?2 ?

2t 2 , t 为参 2t 2

数.

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程. (2)若点 P(?1, ? 2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点且 | PA |,| AB |,| PB | 成等比数列,求 a 值.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x ?1 ? 2x ?1 . (1)解不等式 f (x) ? x ? 3 ; (2)若 g(x) ? 3x ? 2m ? 3x ? 2 ,对 ?x1 ? R, ?x2 ? R ,使 f (x1) ? g(x2 ) 成立,求实数 m
取值范围.

? ? 19.(本小题满分 12 分)已知 an 是正项等比数列, bn ? log2 an 且 b1 ? 2, b2 ? b4 ? 8 .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)设 cn

?

???an , ??bn ,

n是正奇数 n是正偶数

,求数列

?cn

?

的前

2n

项和

T2n

.

20.(本小题满分 12 分)如图四边形 OACB 中, a,b, c 分别为△ABC 的

内角 A,B,C 的对边,且满足 sin B ? sin C ? 2 ? cos B ? cos C .

sin A

cos A

(1)证明: b ? c ? 2a .

(2)若 b ? c,设?AOB ?? ?0 ?? ? ? ?,OA ? 2OB ? 2 ,求四边形OACB 面积的最大值.

21.(本小题满分

12

分)已知数列{an} 前

n

项的和为 Sn



a1

? 1, an

?

2Sn2 (n 2Sn ?1

?

2)

.

(1)求证:数列

? ? ?

1 Sn

? ? ?

是等差数列;

(2)证明:当

n≥

2

时,

S1

?

1 2

S2

?

1 3

S3

?

???

?

1 n

Sn

?

3 2

?

1 2n

.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? ex ? ax ? ln(x ?1) ?1 . (1)求 f ? x? 在 x ? 0 处的切线方程; (2)若 x ? 0 时, f ? x? ? 0恒成立,求实数 a 的取值范围;
(3)求证: e2? e ? 3 . 2

参考答案

一.CBACB,DAADB,AC

二. 0,- 3,(0,1), (? 5 , ?1)

4

4

三.17.(1) C : y2 ? 2ax(a ? 0) l : y ? 2 ? (x ?1) 即: l : x ? y ?1 ? 0

? ?x ? ?1 ? ?

2t 2

?Δ=8(a ? 2)2 ?16(a ? 2) ? 0

(2)联立

?? ?

y

?

?2

?

2t

? t2 ?2

?

2

? y2 ? 2ax(a ? 0)

2(a ? 2)t ? 4a ? 8 ? 0 得 ???t1 ? t2 ? 2 2(a ? 2)
???t1t2 ? 4(a ? 2)

?

??

由 | PA |,| AB |,| PB | 等比数列,则 | AB |2 ?| PA || PB | 即: | t1 ? t2 |2 ?| t1t2 |

得|

t1 +t2

|2 ?

5 | t1t2

|

即 8(a

?

2)2

?

20(a+2)

解得

a

?

1 2

,经检验满足 Δ

?

0.

18.(1)解:不等式等价于:

???1 ?

?

x

?

1 2

,

或???x

?

1 2

??? x ? 2 ? x ? 3 ??3x ? x ? 2

所以 ? 1 ? x ? 1 或 1 ? x ? 1,所以 ? 1 ? x ? 1

2

22

2

(2)求得

f

( x) m in

?

f

(1) ? 2

3 2

, g(x) ?

(3x ? 2m) ? (3x ? 2)

?

2m ? 2



所以

2m

?

2

?

3 2

,所以

m

?

?1 ?? 4

,

7? 4 ??

19.(1)

???bb12

? ?

log2 b4 ?

a1 ? log2

2 a2

?

log2

a4

?

8

?

??? aa13

?4 ? 16

? a1 ? 4, q ? 2, an ? 2n?1 。

(2) bn

?

n

?1, cn

?

?2n?1, ? ?n ?1,

n ? 2k ?1 n ? 2k

k ?N*

T2n

?

4(1? 4n ) 1? 4

?

n(3 ? 2n 2

?1)

?

4n?1 ? 4 3

?

n2

?

2n

20. (1)证明:由 sin B ?sin C ?2 ?cos B ?cos C

sin A

cos A

sin Bcos A?sinC cos A ? 2sin A?sin Acos B ?sin AcosC

?cos Asin B ?sin Acos B ? cos AsinC ?sin AcosC ? 2sin A

?sin(A ? B) ? sin(A ? C) ? 2sin A

?sinC ? sin B ? 2sin A,正弦定理得b ?c ? 2a (2)解:b ?c ? 2a ,b ? c ,??ABC 为等边三角形

SOACB

?

S?AOB

? S?ABC

?

1 OAgOB sin? 2

?

3 AB2 ? sin? ? 4

3 (OA2 ? OB2 ? 2OAgOB cos? ) 4

= sin? ?

3 cos?

?

53 4

? 2sin(?

??)? 3

53 4

,?

?

5? 6

时, SOACB

取最大值 2 ? 5 3 4

.

21.解:(1)当

n

?

2 时,

Sn

?

Sn?1

?

2Sn2 2Sn ?

1



Sn

?1

?

Sn

?

2Sn Sn?1

1 Sn

?

1 Sn?1

?

2

,从而

? ? ?

1 Sn

? ?

构成以

?

1

为首项,2

为公差的等差数列.

(2)由(1)可知, 1 Sn

?

1 S1

? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1,?Sn

?

1 2n ?1

?当 n

?

2 时,

1 n

Sn

?

1 n(2n ?1)

?

1 n(2n ? 2)

?

1 2

?

1 n(n ?1)

?

1 2

(1 ? n ?1

1) n

从而

S1

?

1 2

S2

?

1 3

S3

?

????

1 n

Sn

?

1?

1 2

(1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

???

?

1 n ?1

?

1) n

?

3 2

?

1 2n

22.(1) l : y ? (a ? 2)x

(2)若 x ? 0 时, 则 f ?? x? ? ex ? 1 ? a
x ?1

f

??? x?

?

ex

?

1
? x ?1?2



f

??? x?

?

ex

?

?x

1
?1?2

在 ?0,+??

上单调递增,

f

??? x?

?

f

???0?=0

则 f ?? x? 在?0,+?? 上单调递增, f ?? x? ? f ??0?=a ? 2

① 当 a ? 2 ? 0,即 a ? -2时, f ?? x? ? 0 ,则 f ? x? 在?0,+?? 上单调递增

此时 f ?x? ? f ?0?=0 ,满足题意

②若 a ? ?2,由 f ?? x? 在?0,+?? 上单调递增

由于 f ??0? ? 2 ? a ? 0, x ? ??, f ?(x) ? 0

故 ?x0 ??0,??? ,使得 f ?? x0 ? ? 0 . 则当 0 ? x ? x0 时, f ?? x? ? f ?? x0 ? ? 0 ∴函数 f ? x? 在 ?0, x0 ? 上单调递减. ∴ f ? x0 ? ? f ?0? ? 0,不恒成立.舍去
综上所述,实数 a 的取值范围是??2, ??? .

(2)证明:由(Ⅰ)知,当 a ? ?2 时, f ? x? ? ex ? 2x ? ln ? x ?1? ?1 在?0, ??? 上单调递增.



f

?1? ?? 2 ??

?

f

1
?0? ,即 e2

?1?

ln

? ??

1 2

?1???

?1

?

0

.

∴ ln 3 ? 2 ? e . ∴ 3 ? e2? e ,

2

2

即 e2? e ? 3 2

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