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安徽省合肥市2016届高三第二次教学质量检测(理)Word版


安徽省合肥市 2016 届高三第二次教学质量检测

9.在三棱锥 P - ABC 中, PA ^ 平面ABC , ? BAC =60 , AB 的表面积为( ) A. 20p B. 24p C. 28p D. 32p

?

AC =2 3, PA = 2 ,则三棱锥 P - ABC 的外接球

数学理试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1.若集合 M ? {x ? R | A. M 统 x x

x?2 ? 0} ,N 为自然数集,则下列选项正确的是( ) x ?1

ì x - y +1 ? 0 ? ? 10.已知实数 x, y 满足 í x - 3 y - 1 ? 0 ,若 z = kx - y 的最小值为-5,则实数 k 的值为( ) ? ? ? x?1
A.-3 B.3 或-5 C.-3 或-5 D. ± 3

{

1}

B. M ? x x

{

- 2}

C. M ? N = {0}

D. M ? N = N

11.某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生 A 和 B 都不是第一个出场, B 不是 最后一个出场”的前提下,学生 C 第一个出场的概率为( A. )

2.若 i 是虚数单位,复数 z 满足 1 - i z = 1 ,则 2 z - 3 = ( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7

(

)

1 3

B.

1 5

C.

1 9

D.

3 20

3.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a9 = 1, S18 =0 ,当 S n 取最大值时 n 的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

12.定义在 R 上的偶函数 f x 的导函数为 f ? x ,若对任意的实数 x ,都有 2 f x + xf ? x < 2 恒成立,则使

( )

( )

( )

( )

x 2 f ( x) - f ( 1) < x 2 - 1 成立的实数 x 的取值范围为(
A. x x 贡 1



骣 b 4.若 a, b 都是正数,则 琪 1+ 琪 桫 a
A.7 B.8
2

骣 4a 的最小值为( ) 琪 1+ 琪 桫 b
D.10

{

}

B. - ? , 1 ? 1, +?

(

) (

)

C. - 1,1

(

)

D. - 1, 0 ? 0,1

(

) ( )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.命题“ " x > 0, x 2 + x > 1 ”的否定是
2

C.9

5.已知抛物线 y = 2 px p > 0 上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2 p ,则直线 MF 的斜率为( )

(

)



A. ± 3

B. ± 1

C. ±

3 4

D. ±

3 3

14.双曲线 M : x -

6.点 G 为△ABC 的重心(三角形三边中线的交点) ,设 BG ? a, GC ? b ,则

??? ?

? ??? ?

?

y2 = 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,记 F1 F2 =2c ,以坐标原点 O 为圆心, c 为半径的圆与双曲 b2
. . .





线 M 在第一象限的交点为 P ,若 PF1 =c + 2 ,则 P 点的横坐标为

2 15.已知各项均为正数的数列 {an } 前 n 项和为 S n ,若 S1 =2, 3S n 2 - 2an +1S n = an +1 ,则 an =

7.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.14 B.

16.若函数 f x = x 2 x - 2

( )

(

)

2

- a x - 1 + a 有 4 个零点,则 a 的取值范围为

21 3 2

C.22

D.

27 3 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知函数 f x = sin 2 x + B + 3 cos 2 x + B 为偶函 17.在 D
数, b = f 琪 琪 (1)求 b ;

( )

(

)

(

)

8.执行下面的程序框图,则输出的 n 的值为( )

骣 p 12 桫

ABC 的面积 S 。 (2)若 a = 3 ,求 D
A.10 B.11 C.1024 D.2048

18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型, 并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间 ( x 个月) 和市场占有率 ( y% ) 的几组相关对应数据;

21.已知函数 g x = ax + x + x ( a 为实数) (1)试讨论函数 g x 的单调性;

( )
(

3

2

( )

x
y

1 0.02

2 0.05

3 0.1

4 0.15

5 0.18

(2)若对 " x ? 0, ?

) 恒有 g ( x) ? ln x

1 ,求实数 a 的取值范围。 x

(1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型 市场占有率能超过 0.5% (精确到月)

?= 附: b

?

n

i =1 n

xi yi - nx ? y xi - nx
2 2

?

? ? = y - bx ,a
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.如图, PA 为四边形 ABCD 外接圆的切线, CB 的延长线交 PA 于点 P , AC 与 BD 相交于点 M , PA ? BD (1)求证: ? ACB

i =1

? ACD ;

19.如图,六面体 ABCDHEFG 中,四边形 ABCD 为菱形, AE , BF , CG , DH 都垂直于平面 ABCD ,若

(2)若 PA = 3, PC = 6, AM = 1 ,求 AB 的长。

DA = DH = DB = 4, AE = CG = 3
(1)求证: EG ^ DF ; (2)求 BE 与平面 EFGH 所成角的正弦值。 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : í 系中,直线 l : r sin q + r cos q = m (1)若 m = 0 ,判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (2)若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为

ì ? x = 2 cos a +1 ( a 为参数) ,在以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标 ? y = 2 sin a + 1 ?

20.已知椭圆 E :

x y 2 + 2 = 1( a > b > 0) 经过点 2 2, 2 ,且离心率为 , F1 , F2 是椭圆 E 的左,右焦点 2 a b 2

2

2

(

)

2 ,求实数 m 的取值范围 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 A, B 是椭圆上 E 关于 y 轴对称两点( A, B 不是长轴的端点) ,点 P 是椭圆 E 上异于 A, B 的一点,且直线 24.已知函数 f x = x - 4 + x - a ( a ? R )的最小值为 a (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f x ? 5

( )

PA, PB 分别交 y 轴于点 M , N ,求证:直线 MF1 与直线 NF2 的交点 G 在定圆上。

( )

合肥市 2016 届高三第二次教学质量检测 数学试题(理)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. $ x0 > 0, x0 2 + x0 ? 1 14. 1 C 2 B 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 C 9 A 10 D 11 A 12 B

所以 EG ^ BD, EG ^ BF ,因为 BD ? BF = B , 所以 EG ^ 平面BDHF ,又 DF ? 平面BDHF ,\ EG ^ DF ?????5 分

(2)设 AC ? BD = O, EG ? HF = P ,由已知可得: 平面ADHE ? 平面BCGF ,所以 EH ? FG , 同理可得: EH ? HG ,所以 EFGH 为平行四边形,所以 P 为 EG 的中点, O 为 AC 的中点,所以

OP ? AE , AE = OP ,从而 OP ^ 平面ABCD ,又 OA ^ OB ,所以 OA, OB, OP 两两垂直,由平几知识,得 BF = 2

3 +1 2

如图,建立空间直角坐标系 O - xyz ,则 B 0, 2, 0 , E 2 3, 0,3 , F 0, 2, 2 , P 0, 0,3

(

)

(

)

(

) (

)

ì ? 2, n = 1 15. an = í n - 1 ? ? 2 ,n ? 2
三、解答题

禳 32 镲 16. 睚 a a =或 - 1 < a < 0或a > 0 27 镲 铪

??? ? ??? ? ??? ? \ BE = 2 3, - 2,3 , PE = 2 3, 0, 0 , PF = ( 0, 2, - 1)

(

)

(

)

设平面 EFGH 的一个法向量为 n = x, y , z ,

?

(

)

17.解: (1) f x = sin 2 x + B + 3 cos 2 x + B = 2sin 琪 2x + B + 琪

( )

(

)

(

)

骣 桫

p 3

??? ? ? ì ? ì x =0 ? ? PE ?n 0 由 í ??? 可得: í ,令 y = 1 ,则 z = 2 \ n = ( 0,1, 2) ? ? ? ? ? 2y - z = 0 ? PF ?n 0
设 BE 与平面 EFGH 所成角为 q ,则

p p p 由 f ( x) 为偶函数可知 B + = + kp , k ? Z ,所以 B = + kp , k ? Z 3 2 6 p 又 0 < B < p ,故 B = 6
所以 f x = 2sin 琪 琪 2x +

??? ? ? BE ×n 4 5 sin q = ??? ? ? = 25 BE × n

?????12 分

( )

骣 桫

骣 p p 琪 = 3 =2 cos 2 x, b = f 琪 2 12 桫

?????6 分

3 3 2p ABC 的面积 S = 当A= 时, D 4 3

20.解: (1)由条件得 a = 4, b = c = 2 2 ,所以椭圆 C 的方程 ?????12 分 (2)解设 B x0 , y0 , P x1 , y1 ,则 A - x0 , y0 直线 PA 的方程为 y - y1 =

x2 y 2 + =1 16 8

?????5 分

? = 0.042, a ? = - 0.026 ,所以线性回归方程为 y ? =0.042 x - 0.026 ;?????6 分 18.解: (1)经计算 b
(2)由上面的回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加 1 个月,市场占有率都增加 0.042 个百分点;

(

) (

)

(

)

y1 - y0 x y +x y x - x1 ) ,令 x = 0 ,得 y = 1 0 0 1 ( x1 + x0 x1 + x0

? =0.042 x - 0.026 > 0.5 ,解得 x ? 13 由y
预计上市 13 个月时,市场占有率能超过 0.5% ?????12 分

0, 故M 琪 琪

骣 x y +x y 骣 xy -x y 1 0 0 1 0, 1 0 0 1 ,同理可得 N 琪 琪 x + x 1 0 桫 桫 x1 - x0

19.解: (1) 连接 AC , 由 AE ? CG , AE = CG 可得 AEGC 为平行四边形, 所以 EG ? AC , 而 AC ^ BD, AC ^ BF ,

????? 骣 ? 骣 x1 y0 + x0 y1 ???? x1 y0 - x0 y1 琪 F1M = 琪 2 2, , F N = 2 2, 2 琪 琪 x1 + x0 x1 - x0 桫 桫

????? ???? ? 骣 x1 y0 + x0 y1 骣 x1 y0 - x0 y1 x12 y0 2 - x0 2 y12 琪 琪 2 2, ?琪2 2, = -8+ 所以, F1M ? F2 N 琪 x1 + x0 x1 - x0 x1 - x0 桫 桫
骣 x0 2 骣 x12 2 琪 x12 ? 8 琪 1 x ? 8 1 0 琪 琪 16 16 桫 桫 = -8+ = - 8 +8 = 0 2 2 x1 - x0
所以, F1M ^ F2 N ,所以直线 F1M 与直线 F2 N 交于点 G 在以 F1 F2 为直径的圆上 ?????12 分

22.解: (1)? PA 为切线,\ ? PAB

? ACB

? PA ? BD, \ ? PAB ? ABD ? ACD

\ ? ACB ? ACD
(2)已知 PA = 3, PC = 6, AM = 1 ,由切割线定理 PA2 = PB ? PC

?????5 分

21.解: (1) g ? x = 3ax + 2 x +1

( )

2

3 9 AM PB , B C = ,? PA ? BD ,得 = , \ MC = 3 2 2 MC BC AB AC 又知 D AMB ? D ABC ,所以 = AM AB
得: PB = 所以 AB 2 = AM ? AC

4 ,所以 AB = 2

?????10 分

1)当 a = 0 时, g x 在 琪 -? , 琪

( )

骣 桫

骣1 1 单调减和 琪 - , +? 琪 2 桫2

单调增; 23.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为: x - 1 直线 l 的直角坐标方程为: x + y = 0 圆心 C 到直线 l 的距离 d =

2)当 a ? 当a ?

0 时, D=4 - 12a

(

) +( y - 1)

2

2

= 2 ,是一个圆;

1 2 时, g ?( x) = 3ax + 2 x +1 ? 0 恒成立,此时 g ( x) 在 R 单调增; 3

- 1 - 1 - 3a - 1 + 1 - 3a 1 2 当 0 < a < 时,由 g ?( x) = 3ax + 2 x +1=0 得, x1 = , , x2 = 3a 3a 3

1 +1 12 +12

= 2 = r ,所以直线 l 与圆 C 相切 1 +1 - m 1 +1
2 2

?????5 分

g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 单调减,在 ( - ? , x1 ) 和( x2 , ?

) 单调增; ) ( ) 单调减,
?????5 分

(2)由已知可得:圆心 C 到直线 l 的距离 d =

?

3 2 2
?????10 分

当 a < 0 时, g x 在 x2 , x1 单调增,在 - ? , x2 和 x1 , ? (2)令 f x = ln x +

( ) (

)

(

m 解得 - 1 #

5

( )

1 1 1 ,则 f ?( x) = - 2 x x x

因此, f x 在 0,1 单调减,在 1, +?

( ) ( ) ()

(

) 单调增\ )

f min ( x) = f ( 1) = 1

24.解: (1) f x = x - 4 + x - a ? 4 a = a ,从而解得 a = 2

( )

?????5 分

当 a > - 1 时, g 1 = a + 2 > 1 = f 1 ,显然,对 " x ? 0, ? 当 a ? 1 时,由(1)知, g x 在 0, x1 单调增,在 x1 , +?

()

(

)

不恒有 f x ? g x ;

( )

( )

( ) (

(

) 单调减

ì - 2x +6 ? ? (2)由(1)知, f ( x) = x - 4 + x - 2 = í 2 ? ? ? 2x - 6
x 综合函数 y = f x 的图象知,解集为 睚

( x ? 2) ( 2 < x ? 4) ( x > 4)
?????10 分

3ax12 + 2 x1 +1=0 ,即 ax12 = 所以,在 0, +?

1 ( 2 x1 +1) 3
1 3 1

( )

禳 11 镲1 #x 2 镲 铪 2

(

) 上, g ( x) = g ( x ) = ax
max

1 2 1 1 2 + x12 + x1 = x12 + x1 = ( x1 +1) 3 3 3 3

又 x1 =

- 1 - 1 - 3a 1 = ? ( 0,1] 3a 1 - 3a - 1

所以 g max x =

( )

1 1 2 x1 +1) - ? 1=f min ( x) , ( 3 3

即满足对 " x ? 0, ? 综上,实数 a ?

(

)

恒有 f x ? g x

( )

( )
?????12 分

(

? , 1]


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