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【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习:专题三第1讲三角函数的图象与性质.doc


第1讲

三角函数的图象与性质

π 2x- ?的图象, 1. (2016· 四川改编)为了得到函数 y=sin? 只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有 3? ? 的点向______平行移动________个单位长度. 答案 右 π 6

π π π 2x- ?=sin?2?x- ??,则只需把 y=sin 2x 的图象向右平移 个 解析 由题意可知,y=sin? 3? ? ? ? 6?? 6 单位. π 2.(2016· 课标全国甲改编)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图 12 象的对称轴为______________. kπ π 答案 x= + (k∈Z) 2 6 π 解析 由题意将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数的解析式为 y= 12 π? π π kπ π 2sin? ?2x+6?,由 2x+6=kπ+2,k∈Z,得函数的对称轴为 x= 2 +6(k∈Z). π? π 3.(2016· 课标全国乙改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|≤2?,x=-4为 f(x)的零点,x π 5π? π = 为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在? ?18,36?上单调,则 ω 的最大值为________. 4 答案 9 π T π π π π - ?= +kT, 解析 因为 x=- 为 f(x)的零点, x= 为 f(x)的图象的对称轴, 所以 -? 即 = 4 ? ? 4 4 4 4 2 4k+1 4k+1 2π π 5π? 5π π π T T= · , 所以 ω=4k+1(k∈N), 又因为 f(x)在? 所以 - = ≤ ?18,36?上单调, 4 4 ω 36 18 12 2 = 2π ,即 ω≤12,由此得 ω 的最大值为 9. 2ω

4.(2016· 江苏)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象的交点个数是 ________. 答案 7 解析 在区间[0,3π]上分别作出 y=sin 2x 和 y=cos x 的简图如下:

由图象可得两图象有 7 个交点.

1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、 三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点.

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1.三角函数:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α=y,cos α= y x,tan α= .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. x sin α 2.同角关系:sin2α+cos2α=1, =tan α. cos α kπ 3.诱导公式:在 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. 2 例1 (1)角 α 终边经过点(-sin 20° ,cos 20° ),则角 α 的最小正角是______.

2 (2)已知 θ 是第三象限角,且 sin θ-2cos θ=- ,则 sin θ+cos θ=________. 5 31 答案 (1)110° (2)- 25 解析 (1)由题意知,角 α 是第二象限角,x=-sin 20° =-cos 70° =cos 110° ,y=cos 20° = sin 70° =sin 110° , 所以 α=110° . 2 2 8 21 (2)由 sin θ-2cos θ=- 及 sin2θ+cos2θ=1 得,(2cos θ- )2+cos2θ=1? 5cos2θ- cos θ- 5 5 5 25 3 7 7 24 =0? cos θ= 或 cos θ=- ,因为 θ 是第三象限角,所以 cos θ=- ,从而 sin θ=- , 5 25 25 25 31 sin θ+cos θ=- . 25 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角 函数的定义求解. 应用定义时, 注意三角函数值仅与终边位置有关, 与终边上点的位置无关.

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过 程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 跟踪演练 1 (1)已知锐角 α 的终边上一点 P(1+sin 50° ,cos 50° ),则 α=________. (2)如图,以 Ox 为始边作角 α (0<α<π),终边与单位圆相交于点 P, 3 4? sin 2α+cos 2α+1 已知点 P 的坐标为? =________. ?-5,5?,则 1+tan α 18 答案 (1)20° (2) 25 解析 (1)由任意角的三角函数的定义可得 x= 1+ sin 50° ,y= cos

y cos 50° sin 40° 50° ,tan α= = = x 1+sin 50° 1+cos 40° 2sin 20° cos 20° = =tan 20° .由 α 为锐角,得 α=20° . 2 2cos 20° 3 4 (2)由三角函数定义,得 cos α=- ,sin α= , 5 5 2sin αcos α+2cos2α 2cos α(sin α+cos α) ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α

?-3?2=18. =2cos2α=2× ? 5? 25
热点二 三角函数的图象及应用 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图: π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点、连线可得. 2 2 (2)图象变换: 向左(φ>0)或向右(φ<0) y=sin x ――――――――→ y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位 1 横坐标变为原来的 (ω>0)倍 ω ―――――――――――→ y=sin(ωx+φ) 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A(A>0)倍 ―――――――――――→ y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变 π π 例 2 (1)函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )的图象向左平移 个单位长度后所得图象对应的函数是 2 6 π 奇函数,则函数 f(x)在[0, ]上的最小值为________. 2 (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)

π 的图象如图所示,则 f( )的值为__________. 3 答案 (1)- 3 (2)1 2

π π 解析 (1)把函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin(2x+ +φ)的图 6 3 象. π 因为函数 y=sin(2x+ +φ)为奇函数, 3 π 所以 +φ=kπ,k∈Z. 3 π π 因为|φ|< ,所以 φ 的最小值是- . 2 3 π 所以函数 f(x)=sin(2x- ). 3 π π π 2π 当 x∈[0, ]时,2x- ∈[- , ], 2 3 3 3 所以当 x=0 时,函数 f(x)取得最小值- 3 . 2

3T 11π π 2π π (2)根据图象可知,A=2, = - ,所以周期 T=π,由 ω= =2,又函数过点( ,2), 4 12 6 T 6 π 所以有 sin(2× +φ)=1,而 0<φ<π, 6 π π 所以 φ= ,则 f(x)=2sin(2x+ ), 6 6 π 2π π 因此 f( )=2sin( + )=1. 3 3 6 思维升华 (1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法, 由图中的最高点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点法”中的 五个点求解, 其中一般把第一个零点作为突破口, 可以从图象的升降找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自 变量 x 而言的, 如果 x 的系数不是 1, 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 1 跟踪演练 2 (1)已知函数 f(x)=sin x(x∈[0,π])和函数 g(x)= tan x 的图象交于 A,B,C 三 2 点,则△ ABC 的面积为________. (2)(2015· 陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线 π ? 近似满足函数 y=3sin? ?6x+φ?+k,据此函数可知,这段时间水 深(单位:m)的最大值为________. 答案 (1) 3 π (2)8 4

解析 (1)由题意得 1 1 sin x= tan x? sin x=0 或 cos x= , 2 2 π π 3 因为 x∈[0,π],所以 x=0,x=π,x= ,三点为(0,0),(π,0),( , ),因此△ ABC 的面 3 3 2 1 3 3 积为 ×π× = π. 2 2 4 (2)由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5. ∴ymax=k+3=8.

热点三 三角函数的性质 1.三角函数的单调区间: π π π 3π y=sin x 的单调递增区间是[2kπ- , 2kπ+ ](k∈Z), 单调递减区间是[2kπ+ , 2kπ+ ](k∈Z); 2 2 2 2 y=cos x 的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); π π y=tan x 的递增区间是(kπ- ,kπ+ )(k∈Z). 2 2 2.y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数; π π 当 φ=kπ+ (k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求得. 2 2 π y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+ (k∈Z)时为奇函数; 2 当 φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数. π π 例 3 已知函数 f(x)=2 3sin(x+ )cos(x+ )+sin 2x+a 的最大值为 1. 4 4 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; π π (2)将 f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,若方程 g(x)=m 在 x∈[0, ] 6 2 上有解,求实数 m 的取值范围. π 解 (1)∵f(x)= 3sin(2x+ )+sin 2x+a 2 π = 3cos 2x+sin 2x+a=2sin(2x+ )+a, 3 ∴2+a=1,∴a=-1. π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 2 5π π 解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 12 12 ∴函数 f(x)的单调递增区间是

5π π [- +kπ, +kπ],k∈Z. 12 12 π (2)∵将 f(x)的图象向左平移 个单位长度, 6 得到函数 g(x)的图象, π π π 即 g(x)=f(x+ )=2sin[2(x+ )+ ]-1 6 6 3 2π =2sin(2x+ )-1. 3 π 2π 2π 5π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 2 3 3 3 2π 2π 2π 3 ∴当 2x+ = 时,sin(2x+ )= , 3 3 3 2 g(x)取得最大值 3-1; 2π 3π 2π 当 2x+ = 时,sin(2x+ )=-1, 3 2 3 g(x)取得最小值-3. ∴实数 m 的取值范围为-3≤m≤ 3-1. 思维升华 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形 式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+B 的单调性及奇 偶性、最值、对称性等问题. 跟踪演练 3 设函数 f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称轴方程. 6 π 解 (1)f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a= 2sin(2x+ )+1+a, 4 2π 则 f(x)的最小正周期 T= =π, 2 π π π 且当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,f(x)单调递增. 8 8 3π π 所以[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. 8 8 π π π 7π (2)当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , 6 4 4 12

π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,sin(2x+ )=1. 4 2 8 4 所以 f(x)max= 2+1+a=2? a=1- 2. π π kπ π 由 2x+ =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 kπ π 故 y=f(x)的对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 8

π? π 1.已知函数 f(x)=sin? ?ωx+5?(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2.为了得到 函数 g(x)=cos ωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象向________平移________个单位长度. 押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式,然后考查图象的平移,很有代表性, 考生应熟练掌握图象平移规则,防止出错. 答案 左 3π (答案不唯一) 20

解析 先求出周期确定 ω,求出两个函数解析式,然后结合平移法则求解. π 由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,则其最小正周期 T=π, 2 π? 2π 所以 ω= =2,即 f(x)=sin? ?2x+5?,g(x)=cos 2x. T π? 3π π 把 g(x)=cos 2x 变形得 g(x)=sin? ?2x+2?=sin[2(x+20)+5],所以要得到函数 g(x)的图象,只 3π 要将 f(x)的图象向左平移 个单位长度. 20 π 2.如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|≤ )与坐标轴的三个交点 P、Q、R 满 2 π 足 P(2,0),∠PQR= ,M 为 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为________. 4

押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点,本题结合平面几何知识求 A,考查了 数形结合思想. 答案 16 3 3

解析 由题意设 Q(a,0),R(0,-a)(a>0). a a 则 M( ,- ),由两点间距离公式得, 2 2 PM= a a T (2- )2+( )2=2 5,解得 a1=8,a2=-4(舍去), 由此得, =8-2=6,即 T=12, 2 2 2

π 故 ω= , 6 π 由 P(2,0)得 φ=- ,代入 f(x)=Asin(ωx+φ)得, 3 π π f(x)=Asin( x- ), 6 3 π 16 从而 f(0)=Asin(- )=-8,得 A= 3. 3 3 3.已知函数 f(x)=2asin ωx· cos ωx+2 3cos2ωx- 3 (a>0,ω>0)的最大值为 2,x1,x2 是集 合 M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为 6. (1)求函数 f(x)的解析式及其图象的对称轴方程; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y=g(x)的图象,当 x∈(-1,2]时,求 函数 h(x)=f(x)· g(x)的值域. 押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或 对称中心)等,这些都可以由三角函数解析式直接得到,因此此类命题的基本方式是利用三 角恒等变换得到函数的解析式.第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值),特别是指定 区间上的值域(或最值),是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式. 解 (1)f(x)=2asin ωx· cos ωx+2 3cos2ωx- 3 =asin 2ωx+ 3cos 2ωx. 由题意知 f(x)的最小正周期为 12, 则 2π π =12,得 ω= . 2ω 12

由 f(x)的最大值为 2,得 a2+3=2, 又 a>0,所以 a=1. 于是所求函数的解析式为 f(x)=sin π π? π π x+ 3cos x=2sin? ?6x+3?, 6 6

π π π 令 x+ = +kπ(k∈Z), 6 3 2 解得 x=1+6k(k∈Z), 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=1+6k(k∈Z). π π π (2)由题意可得 g(x)=2sin[ (x-2)+ ]=2sin x, 6 3 6

所以 h(x)=f(x)· g(x) π π? π =4sin? sin x ?6x+3?· 6 π π π =2sin2 x+2 3sin x· cos x 6 6 6 π π =1-cos x+ 3sin x 3 3 π π? =1+2sin? ?3x-6?. π π π π 当 x∈(-1,2]时, x- ∈(- , ], 3 6 2 2 π π? 所以 sin? ?3x-6?∈(-1,1], π π? 即 1+2sin? ?3x-6?∈(-1,3], 于是函数 h(x)的值域为(-1,3].

A 组 专题通关 1.若 0≤sin α≤ 2 ,且 α∈[-2π,0],则 α 的取值范围是______________. 2

7π? ? 5π ? 答案 ? ?-2π,- 4 ?∪?- 4 ,-π? 解析 根据题意并结合正弦线可知, π? α 满足? ?2kπ,2kπ+4?∪

?2kπ+3π,2kπ+π?(k∈Z), 4 ? ?
∵α∈[-2π,0], 7π? ? 5π ? ∴α 的取值范围是? ?-2π,- 4 ?∪?- 4 ,-π?. π? π 2 . 函 数 f(x) = cos ? ?3x-3? 的 图 象 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 后 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 为 ________________. 2π 3x+ ? 答案 y=cos? 3? ? π π 3x- ?的图象向左平移 个单位长度后所得图象的解析式为 y=cos[3(x 解析 函数 f(x)=cos? 3? ? 3 π π 2π + )- ]=cos(3x+ ). 3 3 3

πx π 3.函数 y=2sin( - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________. 6 3 答案 2+ 3 π πx π 7π 解析 因为 0≤x≤9,所以- ≤ - ≤ , 3 6 3 6 πx π π 因此当 - = 时, 6 3 2 πx π 函数 y=2sin( - )取得最大值, 6 3 即 ymax=2× 1=2. πx π π πx π 当 - =- 时,函数 y=2sin( - )取得最小值, 6 3 3 6 3 π 即 ymin=2sin(- )=- 3, 3 πx π 因此 y=2sin( - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2+ 3. 6 3 1 4. 已知角 α 的终边经过点 A(- 3, a), 若点 A 在抛物线 y=- x2 的准线上, 则 sin α=________. 4 答案 1 2

1 解析 由条件,得抛物线的准线方程为 y=1,因为点 A(- 3,a)在抛物线 y=- x2 的准线 4 上,所以 a=1,所以点 A(- 3,1),所以 sin α= 1 1 = . 3+1 2

5.函数 f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2) +f(3)+…+f(2 015)的值为________. 答案 0 2π π 解析 由图可得,A=2,T=8, =8,ω= , ω 4 π ∴f(x)=2sin x, 4 ∴f(1)= 2,f(2)=2,f(3)= 2,f(4)=0,f(5)=- 2, f(6)=-2,f(7)=- 2,f(8)=0,而 2 015=8× 251+7, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0. 7 π 6.已知 sin α+cos α=- ,α∈(- ,0),则 tan α=________. 13 2 12 答案 - 5 7 49 解析 由 sin α+cos α=- 得(sin α+cos α)2= , 13 169

60 所以 sin αcos α=- , 169 π 因为 α∈(- ,0),所以 sin α<0,cos α>0, 2

?sin α+cos α=-13, 由? 60 ?sin αcos α=-169, ?sin α=-13, 得? 5 ?cos α=13,
sin α 12 所以 tan α= =- . cos α 5 π 7.已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若 6 π x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 3 答案 [- ,3] 2 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω=2,所以 π π π π 5π f(x)=3sin(2x- ),那么当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤ , 6 2 6 6 6 1 π 3 所以- ≤sin(2x- )≤1,故 f(x)∈[- ,3]. 2 6 2 8.如图,已知 A,B 分别是函数 f(x)= 3sin ωx(ω>0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和 π 第一个最低点,且∠AOB= ,则该函数的周期是______. 2 12

7

答案 4 π 3π π π 3π 解析 由题意可设 A( , 3),B( ,- 3),又∠AOB= ,所以 × + 3(- 3)=0? 2ω 2ω 2 2ω 2ω π 2π ω= ? T= =4. 2 ω π x- ?. 9.已知函数 f(x)=cos? ? 4? π 3 π 3π α- ?的值; (1)若 f(α)= ,其中 <α< ,求 sin? ? 4? 5 4 4

π? ? π π? (2)设 g(x)=f(x)· f? ?x+2?,求函数 g(x)在区间?-6,3?上的最大值和最小值. π? 3 解 (1)因为 f(α)=cos? ?α-4?=5, π? 4 π π 且 0<α- < ,所以 sin? ?α-4?=5. 4 2 π? (2)g(x)=f(x)· f? ?x+2? π ? π? =cos? cos? ?4-x?· ?x+4? π ? π? 1 =sin? cos? ?4+x?· ?x+4?=2cos 2x. π π? ? π 2π? x∈? ?-6,3?时,2x∈?-3, 3 ?. 1 则当 x=0 时,g(x)的最大值为 ; 2 π 1 当 x= 时,g(x)的最小值为- . 3 4 π? ? π? 10.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. π? π ?π 7π? 解 (1)∵x∈? ?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. π? ? 1 ? ∴sin? ?2x+6?∈?-2,1?, π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π 2x+ ?-1, (2)由(1)得,f(x)=-4sin? 6? ? π 7π x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 g(x)=f? 6? ? 2? ? π 2x+ ?-1, =4sin? 6? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ∴4sin? ?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6

π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 2 π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 π? ∴g(x)的单调增区间为? ?kπ,kπ+6?,k∈Z. π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z, 6 3 π π? ∴g(x)的单调减区间为? ?kπ+6,kπ+3?,k∈Z.

B 组 能力提高 π π 2x+ ?,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数 g(x) 11.已知函数 f(x)=2sin? 6? ? 6 的图象.关于函数 g(x),给出以下四个命题,其中正确的是________. π π? ①在? ?4,2?上是增函数; π ②其图象关于直线 x=- 对称; 4 ③函数 g(x)是奇函数; π 2π? ④当 x∈? ?6, 3 ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1]. 答案 ④ π? π ? π? 解析 因为 f(x)=2sin? ?2x+6?,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移6个单位,得 g(x)=f?x+6? π π π =2sin[2(x+ )+ ]=2sin(2x+ )=2cos 2x. 6 6 2 画出 g(x)的部分图象,如图所示.

π π? 由图可知,函数 g(x)在? ?4,2?上是减函数,①错误; π 其图象的一个对称中心为(- ,0),②错误; 4 函数 g(x)为偶函数,③错误; π? ?2×π?=1, 又 g? = 2cos ?6? ? 6?

2π? ? 2π? g? ? 3 ?=2cos?2×3 ?=-1, π? ? π? g? ?2?=2cos?2×2?=-2, π 2π? 所以当 x∈? ?6, 3 ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1], ④正确. 12.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (0<φ<π)的图象如图所示,若 f(x0)=3, π 5π x0∈( , ),则 sin x0 的值为______. 3 6 答案 3 3+4 10

1 2π 4π π 解析 由函数的图象,得 A=5,且 · = - , 2 ω 3 3 π π π 解得 ω=1.由五点法作图,得 +φ= ,解得 φ= , 3 2 6 π 故函数的解析式为 f(x)=5sin(x+ ). 6 π 5π 由 f(x0)=3,x0∈( , ),得 3 6 π 5sin(x0+ )=3, 6 π 3 即 sin(x0+ )= , 6 5 π 4 所以 cos(x0+ )=- . 6 5 π π π π π π 3 3 4 1 3 3+4 sin x0=sin[(x0+ )- ]=sin(x0+ )· cos -cos(x0+ )sin = × -(- × )= . 6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 10 13. 函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示, 点 A, B 是最高点, 点 C 是最低点, 若△ ABC 1 是直角三角形,则 f( )=________. 2

答案

2 2

1 解析 由已知得△ ABC 是等腰直角三角形,且∠ACB=90° ,所以 AB=f(x)max-f(x)min=1- 2 (-1)=2, 2π π 即 AB=4,而 T=AB= =4,解得 ω= . ω 2

πx 所以 f(x)=sin , 2 1 π 2 所以 f( )=sin = . 2 4 2 π 14.已知函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0),g(x)=tan x,它们的最小正周期之积为 2π2,f(x) 4 17π 的最大值为 2g( ). 4 (1)求 f(x)的单调递增区间; 3 π (2)设 h(x)= f2(x)+2 3cos2x,当 x∈[a, )时,h(x)有最小值为 3,求 a 的值. 2 3 2π 解 (1)由题意,得 ·π=2π2, ω 所以 ω=1. 17π 17 π 又 A=2g( )=2tan π=2tan =2, 4 4 4 π 所以 f(x)=2sin(x+ ). 4 π π π 令 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3π π 得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 3π π 故 f(x)的单调递增区间为[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 3 (2)因为 h(x)= f2(x)+2 3cos2x 2 3 π = × 4× sin2(x+ )+2 3cos2x 2 4 =3(sin x+cos x)2+2 3cos2x =3+3sin 2x+ 3(cos 2x+1) π =3+ 3+2 3sin(2x+ ), 6 又 h(x)有最小值为 3, π 所以有 3+ 3+2 3sin(2x+ )=3, 6 π 1 即 sin(2x+ )=- . 6 2 π 因为 x∈[a, ), 3 π π 5π 所以 2x+ ∈[2a+ , ), 6 6 6

π π π 所以 2a+ =- ,即 a=- . 6 6 6


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